Nieuwe pagina 1

Blokkendoos.

Op de foto zie je een blokkendoos gevuld met houten blokken. De blokkendoos bevat onder andere vier cilinders met een diameter van 5 cm en een hoogte van 10 cm. Deze vier cilinders zijn op de foto aangegeven met de letter c. In deze opgave verwaarlozen we de ruimte tussen de blokken, en gaan we er dus van uit dat de blokken strak in de doos passen, en dat alle blokken precies tot de bovenrand van de doos reiken.

Hoewel alle blokken strak tegen elkaar liggen, blijft er vanwege de vier cilinders toch nog ruimte in de doos over. De doos is dus niet geheel gevuld met het hout van de blokken. De binnenafmetingen van deze doos zijn 30 bij 25 bij 5 cm.

4p.	1.	Bereken hoeveel procent van de doos gevuld is met het hout van de blokken. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.

Op de foto zijn twee blokken genummerd. Deze blokken worden op elkaar gelegd. Zie de figuur hiernaast. Het vooraanzicht van het bouwwerk in deze figuur is symmetrisch. Het bouwwerk bestaat uit:
-	blok 1: een prisma met hoogte 5 cm en met als grondvlak een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 5 cm;
-	blok 2: een blok in de vorm van een brug met buitenafmetingen 5 bij 5 bij 10 cm.

3p.	2.	Teken op ware grootte het bovenaanzicht van dit bouwwerk. Licht je werkwijze toe.

Blok 2, het blok in de vorm van een brug, is een balk van 5 bij 5 bij 10 cm met daaruit weggelaten de helft van een cilinder met diameter 7 cm en hoogte 5 cm.

5p.	3.	Bereken de totale oppervlakte van dit blok. Geef je antwoord in hele cm² nauwkeurig.

Een wortelfunctie.

De functie f is gegeven door f (x) = √(−3x + 6) . Lijn k heeft vergelijking y = -⁷/₄ • x + ⁷/₂ In onderstaande figuur zie je de grafiek van f en lijn k.



Lijn k gaat door het gemeenschappelijk punt van de grafiek van f met de x-as.

3p.	4.	Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Lijn k en de grafiek van f hebben nog een ander punt gemeenschappelijk.

3p.	5.	Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van dit punt.

De verticale lijn met vergelijking x = p snijdt k in punt A en de grafiek van f in punt B. De y-coördinaat van B is groter dan de y-coördinaat van A. Zie de volgende figuur.



Er is een waarde van p waarvoor de afstand tussen A en B maximaal is.

6p.	6.	Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van p.

Schijngestalten van de maan.

Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule: P = 50 + 50sin (0,212769t - 1,042563) Hierin is P het percentage van de maan dat zichtbaar is en t is de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

3p.	7.	Bereken de periode van P in hele minuten nauwkeurig.

De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.



De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.

3p.	8.	Bereken met behulp van de formule voor P op welke datum in 2017 het voor het eerst nieuwe maan zal zijn.

4p.	9.	Onderzoek met behulp van de formule voor P tussen welke twee opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden

Gebroken functie en raaklijn.

De functie f is gegeven door f (x) = ¹²/_{(x - 3)} + 4. Lijn l raakt in de oorsprong aan de grafiek van f . Zie de figuur.



De richtingscoëfficiënt van l is -⁴/₃.

3p.	10.	Toon met behulp van differentiëren aan dat de richtingscoëfficiënt van l inderdaad -⁴/₃ is.

Op de grafiek van f ligt punt B met x-coördinaat 2. Punt A ligt op de y-as en heeft dezelfde y-coördinaat als B. Punt C ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als B. Lijn l snijdt zijde BC van rechthoek OABC in punt D. Zie onderstaande figuur.



Lijn l verdeelt rechthoek OABC in twee delen: driehoek ODC en trapezium OABD.

6p.	11.	Bereken exact hoeveel keer zo groot de oppervlakte van trapezium OABD is in vergelijking met de oppervlakte van driehoek ODC.

Karpers.

In het begin van hun leven ontwikkelen karpers zich van larve tot klein visje. Aan het einde van deze ontwikkeling heeft het visje een lengte van ongeveer 1,9 cm. De lengte van de karperlarve in centimeter noemen we L. Het gewicht van de karperlarve in gram noemen we G. In de figuur is het verband tussen log(L) en log(G) weergegeven.



4p.	12.	Bepaal met behulp van de figuur het gewicht van een karperlarve met een lengte van 0,8 cm. Geef je antwoord in hele milligrammen nauwkeurig.

Het verband tussen de lengte van karperlarven en hun gewicht kan beschreven worden met een formule van de vorm: G = 0,014 • L^b met 0,2 ≤ L ≤ 1,9 Hierin is L de lengte in centimeter, G het gewicht in gram en b een constante. Een karperlarve van 1,9 cm weegt ongeveer 0,25 g.

3p.	13.	Bereken b met behulp van deze gegevens. Rond je antwoord af op één decimaal.

Voor volwassen karpers geldt de formule: G = 0,014 • L^3,13 met 10 ≤ L ≤ 94 Hierin is L weer de lengte in centimeter en G het gewicht in gram.

3p.	14.	Bereken hoeveel keer zo zwaar een volwassen karper van 94 cm is in vergelijking met een volwassen karper van 10 cm. Rond je antwoord af op honderdtallen.

De formule G = 0,014 • L^3,13 is te herleiden tot een formule van de vorm log(G) = p + q • log(L) .

4p.	15.	Bereken de waarden van p en q. Geef beide waarden in twee decimalen nauwkeurig.

Lichaam PSC.QRF

Gegeven is het prisma ABC.DEF. Hierbij is ABC een gelijkbenige driehoek met basis AB = 6 cm en bijbehorende hoogte 8 cm. Bovendien geldt AD = 9 cm. De punten P en Q liggen op de ribbe AD zodanig dat AP = PQ = QD = 3 cm. De punten R en S liggen op de ribbe BE zodanig dat BS = SR = RE = 3 cm. Deze opgave gaat over het lichaam PSC.QRF. Zie de figuur.



4p.	16.	Bereken in cm³ de inhoud van lichaam PSC.QRF.

Lichaam PSC.QRF wordt op een hoogte van 2 cm doorsneden met een vlak dat evenwijdig is met het vlak PQRS.

5p.	17.	Teken deze doorsnede op ware grootte. Licht je werkwijze toe.

Exponentiële functie.

De functie f is gegeven door f (x) = 3^{x −1} − 2 . Zie de figuur.



3p.	18.	Bereken exact de waarde van x waarvoor geldt: f (x) = 241

De functie g is gegeven door g(x) = 3^x. Op de grafiek van g worden de volgende transformaties uitgevoerd: eerst de verschuiving 6 omlaag, gevolgd door de vermenigvuldiging met ¹/₃ ten opzichte van de x-as. Op deze manier ontstaat de grafiek van de functie h.

4p.	19.	Toon op algebraïsche wijze aan dat h dezelfde functie is als f.

De grafiek van g wordt met a vermenigvuldigd ten opzichte van de y-as. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie k. Het punt P(−20, 81) ligt op de grafiek van k. Zie onderstaande figuur.



4p.	20.	Bereken exact de waarde van a.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Een cilinder heeft inhoud πr² • h = π • 2,5² • 10 = 62,5π een balk eromheen heeft inhoud 5 • 5 • 10 = 250 De lege ruimte rondom een cilinder is dus 250 - 62,5π Voor 4 cilinders geeft dat 4 • (250 - 62,5π) = 1000 - 250p = 214,60... De inhoud van de hele doos is 30 • 25 • 5 = 3750 De lege ruimte is ^214,60../₃₇₅₀ • 100% = 5,72% De blokken zijn dus ongeveer 94 % van de hele doos.

2.	Zonder berekeningen kan het zó:



	Het bovenaanzicht is zwart, de grijze lijnen zijn hulplijnen Teken een rechthoek van 10 bij 5. M is het midden van de langste zijde. De twee grijze diagonalen snijden elkaar in S. Teken een cirkel met middelpunt M en straal MS en snij die met de bovenzijde van de rechthoek. P en Q zijn dan de gezocht punten, want nu is PQ de lengte van de schuine zijde van de gele rechthoekige driehoek. Je kunt natuurlijk ook gewoon PQ berekenen: 5 - 5 - 5√2 = 7,07.... Dus MQ = MP = 3,5355... Maar ja, dat tekent minder nauwkeurig.

3.	voor + achter: rechthoek van 10 • 5 = 50 met daaruit weggelaten een halve cirkel met straal 3,5. Dus oppervlakte 50 - 0,5 • π • 3,5² = 30,7577..... voor en achter samen hebben dus oppervlakte 61,515... boven: rechthoek van 10 • 5 = 50 links en rechts twee vierkanten van 5 • 5 = 25 dus samen 50 onder: twee rechthoeken van 5 • 1,5 = 7,5 zijn samen 15 gebogen onderkant is een rechthoek met breedte 5 en lengte de helft van de omtrek van de cirkel. Dat is 0,2 • 2 • π • 3,5 = 10,99 dus oppervlakte 10,99 • 5 = 54,977... samen dus 15 + 54,977... = 69,977... totale oppervlakte: 61.515... + 50 + 50 + 69.977 = 231 cm²

4.	y = 0 geeft -⁷/₄x + ⁷/₂ = 0 -7x + 14 = 0 x = 2 invullen in f y = √(-3 • 2 + 6) = 0 dus dat is inderdaad ook het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.

5.	√(-3x + 6) = -⁷/₄x + ⁷/₂ vermenigvuldig met 4: 4√(-3x + 6) = -7x + 14 kwadrateren: 16(-3x + 6) = (-7x + 14)² -48x + 96 = 49x² - 196x + 196 0 = 49x² -148x + 100 ABC-formule: x = ^(148 ±^√²³⁰⁴⁾/₉₈ ⇒ x = 2 of x = 1,02 De tweede oplossing is x = 1,02

6.	De afstand tussen A en B is L = y_B - y_A = (√(-3x + 6) - (⁷/₄x + ⁷/₂) = (-3x + 6)^0,5 - ⁷/₄x - ⁷/₂ Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is: L' = 0,5 • (-3x + 6)^-0,5 • -3 - ⁷/₄ = 0 (die -3 komt natuurlijk van de kettingregel) 0,5 • (-3x + 6)^-0,5 • -3 = ⁷/₄ 1,5 • (-3x + 6)^-0,5 = ⁷/₄ (-3x + 6)^-0,5 = ⁷/₆ (-3x + 6)^0,5 = ⁶/₇ -3x + 6 = ³⁶/₄₉ -3x = -²⁵⁸/₄₉ x = ⁸⁶/₄₉ ≈ 1,755...

7.	de periode is ²^π/_0,212769 = 29,53054866... dagen Een dag is 24 • 69 = 1440 minuten Dat is dus 29,53.... 1440 = 42524 minuten

8.	P = 0 geeft 0 = 50 + 50sin(blablabla) Dus sin(blablabla) = -1 0,212769t - 1,042563 = 1,5π + k2π 0,212769t = 5,754952 + k2π t = 27,04789 + k • 29,53 Dat is voor het eerst op 28 januari 2017

9.	22 februari ligt tussen t = 52 en t = 53 Dan is (invullen) P = 22 en P = 14 Dat is dus tussen nieuwe maan en eerste kwartier OF tussen laatste kwartier en nieuwe maan. Maar omdat P van t = 52 naar t = 53 afgenomen is (van 22 naar 14) is het tussen laatste kwartier en nieuwe maan.

10.	f(x) = 12(x - 3)^-1 + 4 f '(x) = -1 • 12 • (x - 3)^-2 f '(0) = -12 • (-3)^-2 = -12 • ¹/_3² = -¹²/₉ = -⁴/₃

11.	x = 2 geeft y = ¹²/_-1 + 4 = -8 dus B = (2, -8) A = (0, -8) De raaklijn is de lijn y = -⁴/₃x Dus y_D = -⁴/₃ • 2 = -8/2 dus D = (2, -⁸/₃) OABC heeft oppervlakte 8 • 2 = 16 OCD heeft oppervlakte 0,5 • 2 • ⁸/₃ = ⁸/₃ OABD heeft oppervlakte 16 - ⁸/₃ = ⁴⁰/₃ Dat is dus 5 keer zo groot

12.	log(0,8) = -0,09 aflezen: log(L) = -0,09 geeft log(G) = -2,3 G = 10^-2,3 = 0,005 dus dat is 5 mg

13.	0,25 = 0,014 • 1,9^b 17,857... = 1,9^b b = ^{log(17,857...)}/_log(1,9) ≈ 4,5

14.	L = 94 geeft G = 0,014 • 94^3,13 = 20990,27.... g L = 10 geeft G = 0,014 • 10^3,13 = 18,885... g Dat is ^20990,27/_18.885 = 1111,45 keer zo zwaar afgerond op honderdtallen: 1100 keer zo zwaar.

15.	G = 0,014 • L^3,13 log(G) = log(0,014 • L^3,13) log(G) = log(0,014) + log(L^3,13) log(G) = -1,8538.. + 3,13 • log(L) p = -1,85 en q = 3,13

16.	Het hele prisma heeft inhoud G • h = (0,5 • 6 • 8) • 9 = 216 Daar moeten twee piramides af. De inhoud van zo'n piramide is ¹/₃ • G • h = ¹/₃ • 3 • 6 • 8 = 48 Dus blijft over 216 - 2 • 48 = 120 cm³

17.	Het ziet er zó uit:


	Vlak KLMN ligt op ¹/₄ deel van de hoogte over de hele hoogte (van CF naar PQ) is er afname van 9 naar 3 dus afname 6 over ³/₄ van de hoogte is de afname dan ³/₄ • 6 = 4,5 dus KL = 9 - 4,5 = 4,5 over de hele hoogte (van F naar QR) is de toename van 0 naar 6 dus toename 6 over ³/₄ van de hoogte is de toename dan ³/₄ • 6 = 4,5. Dus LM = 4,5 KLMN is een vierkant van 4,5 bij 4,5. Teken het zelf maar, dat zal je wel lukken

18.	3^{x - 1} - 2 = 241 3^{x - 1} = 243 x - 1 = 5 x = 6

19.	3^x verschuiving 6 omlaag geeft 3^x - 6 3^x - 6 vermenigvuldiging met ¹/₃ tov x-as geeft ¹/₃(3^x - 6) ¹/₃(3^x - 6) = ¹/₃• 3^x - 2 = 3^-1 • 3^x - 2 = 3^-1+x- 2 en dat is inderdaad f.

20.	y = 3^x vermenigvuldigen met factor a tov y-as geeft y = 3^x/a (-20, 81) ligt daarop dus 81 = 3^-20/a -²⁰/_a = 4 a = -5

HAVO WB, 2016 - I