Nieuwe pagina 1

HAVO WB, 2015 - I ^PILOT

Hangar.

Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor de bouw van hangars, dat zijn loodsen voor bijvoorbeeld vliegtuigen. Zie de foto.



De hangar op de foto is 175 meter lang. De opening in het vooraanzicht van de hangar heeft de vorm van een parabool.
In de figuur hiernaast zie je deze parabool in een assenstelsel waarvan de x-as op de grond gekozen is en de y-as door de top gaat. Voor de coördinaten van de punten van deze parabool geldt bij benadering de volgende formule: y = -0,0306x² + 56,6 Hierbij zijn x en y in meter. Op de grond is de breedte van de opening van de hangar ongeveer 86,0 meter.

3p.	1.	Laat met behulp van een berekening zien dat ook uit de formule volgt dat deze breedte ongeveer 86,0 meter is.

De inhoud van de hangar op de foto kan berekend worden met behulp van de formule : Inhoud = oppervlakte opening × lengte hangar. Voor de oppervlakte van het vlakdeel dat door de parabool en de x-as wordt ingesloten geldt dat deze gelijk is aan twee derde deel van de oppervlakte van de rechthoek die hier precies omheen past. Zie de figuur hiernaast.

3p.	2.	Bereken de inhoud van de hangar met behulp van de gegeven formule. Geef je antwoord in duizenden m³ nauwkeurig.

De hangar op de foto is zo groot dat zelfs een Boeing 747, lange tijd het grootste passagiersvliegtuig ter wereld, er met gemak in past. In 2012 was de Airbus A380 het grootste passagiersvliegtuig ter wereld. De lengte van de Airbus A380 is 72,8 meter. De maximale breedte – van het ene vleugeluiteinde naar het andere – van de Airbus A380 is 79,8 meter. De hoogte boven de grond van de vleugeluiteinden is 11,0 meter.

4p.	3.	Onderzoek of de Airbus A380 in de lengterichting in de hangar past.

Functie met sinus.

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x)) Op het gegeven domein heeft de grafiek van f de punten O, A, B, C en D gemeenschappelijk met de x-as. Zie de figuur.



BC is bijna twee keer zo lang als AB.

4p.	4.	Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoeveel keer zo lang BC is als AB.

De grafiek van f is te beschrijven met een formule van de vorm f(x) = psin(q(x - r) + s

8p.	5.	Bepaal mogelijke positieve waarden van p, q, r en s. Licht je werkwijze toe. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.

Geluidsbox
Op de foto is een bolvormige geluidsbox te zien. We gaan ervan uit dat deze geluidsbox in alle richtingen evenveel geluid produceert. Hierbij neemt de zogeheten geluidsintensiteit af naarmate men verder van het middelpunt van de geluidsbox verwijderd is. In deze opgave gaan we uit van een geluidsbox die in een open ruimte staat. Voor de geluidsintensiteit I in watt per m² geldt de volgende formule: I = ^P/₍₄_π_r²) Hierin is r de afstand in meter tot het middelpunt van de geluidsbox en P is het vermogen van het door de geluidsbox geproduceerde geluid in watt. Op 5 meter van het middelpunt van de geluidsbox wordt een geluidsintensiteit van 10^-7 watt per m² gemeten.

4p	10.	Bereken de geluidsintensiteit op 1 meter van het middelpunt van de geluidsbox.

Men gebruikt ook vaak het geluidsniveau L in plaats van de geluidsintensiteit I in watt per m². Het geluidsniveau L wordt uitgedrukt in decibel. Het verband tussen I en L wordt gegeven door de formule: L = 10 • log(10¹² • I)
Als de geluidsintensiteit tweemaal zo groot wordt, dan stijgt het geluidsniveau met een vast aantal decibel.

4p.	11.	Bereken dit vaste aantal decibel. Rond je antwoord af op een geheel getal.

Een bolvormige geluidsbox produceert geluid met een vermogen van 30 watt. Bij een geluidsniveau van 80 decibel of meer kan er schade aan het gehoor ontstaan.

6p.	12.	Bereken op algebraïsche wijze tot welke afstand vanaf het middelpunt van de geluidsbox er schade aan het gehoor kan ontstaan. Rond je antwoord af op een geheel aantal meters.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Voor de nulpunten geldt y = 0 dus -0,0306x² + 56,6 = 0 Dat mag met de GR (intersect) worden opgelost, maar laten we het maar algebraïsch doen: 0,0306x² = 56,6 x² = 1849,673 x = √1849,673 of x = - √1849,673 De afstand daartussen is 2 • √1849,673 = 86,0 m

2.	Het hoogste punt van de hangar vind je bij x = 0 y = -0,0306 • 0² = 56,6 = 56,6 meter De rechthoek eromheen is dus 56,6 bij 86,0 meter en heeft oppervlakte 56,6 • 86,0 = 4867,6 m² ²/₃ deel daarvan is 3245,066... m² De inhoud is dan 3245,066... • 175 = 567886,66... m³ Dat is ongeveer 568000 m³

3.	Laten we berekenen hoe breed de hangar op hoogte 11 is. 11 = -0,0306x² + 56,6 45,6 = 0,0306x² x² = 1490,196... x = √1490,196... of x = -√1490,196... (dit mocht uiteraard ook via intersect van de GR) Dat is ongeveer 38,60 meter De hangar is dus 2 • 38,60 = 77,2 meter breed. Het vliegtuig is breder (79,8m) dus het past er NIET in.

4.	Y1= sin(X) • (sin(X) + 2cos(X)) zorg dat de GR op Radialen staat! calc - zero geeft de coördinaten van A, B, C en D x_A = 2,034 en x_B = 3,142 (zal wel p zijn) en x_C = 5,176 AB = 1,108 en BC = 2,034 Dat is ^2,034/_1,108 = 1,84 keer zo lang.

5.	Voer de formule in bij Y1 en bereken de coördinaten van een maximum en een minimum. Dat geeft bijv. maximum (1.017, 1.618) en minimum (2.588, -0,618) De evenwichtslijn ligt midden tussen de y-waarden in en is dus ^{(1,618 + -0,618)}/₂ = 0,50 = s De amplitude is de afstand van maximum tot evenwichtslijn en is dus 1,618 - 0,50 = 1,12 = p De horizontale afstand tussen max en min is 2,588 - 1,017 = 1,571 en dat is de helft van de periode. De periode is dus 3,142 dus q = ²^π/_3,142 = 2,00 = q Het beginpunt ligt een kwart periode voor het maximum, dus bij x = 1,017 - 0,25 • 3,142 = 0,23 = r

6.	AB heeft helling ^{(1 - -1)}/_{(7 - 5)} = 1 Dus BP heeft helling -1 l is de lijn y = -x + b en daar ligt (7, 1) op dus b = 8 l is de lijn y = -x + 8 Die snijdt de x-as in P = (8, 0) M = (4, 2) dus MP = √((8 - 4)² + (0 - 2)² ) = √20 De straal van de cirkel is MB = √((7 - 4)² + (1 - 2)²) = √10 De afstand van P tot de cirkel is dan √20 - √10

7.	MA heeft helling (2 - -1)/(4 - 5) = -3 De hoek die MA met de x-as maakt is dan tan^-1(-3) = -71,565º (GR op degrees!) De hoek die MS met de x-as maakt is dan 180 - 71,565 - 60 = 48,435º De helling van MS is dan tan(48,435º) = 1,13

8.	Noem de lijn van A loodrecht op l lijn m l heeft helling -³/₄ dus m heeft helling ⁴/₃ m gaat door (⁵/₃ , 1) dus is de lijn y = ⁴/₃x - ¹¹/₉ snijden met l: ⁴/₃x - ¹¹/₉ = -³/₄x + ⁹/₂ ²⁵/₁₂x = ¹⁰³/₁₈ x = ²⁰⁶/₇₅ Het snijpunt is punt S(²⁰⁶/₇₅, ⁶¹/₂₅) De afstand AS is √((²⁰⁶/₇₅ - ⁵/₃)² + (⁶¹/₂₅ - 1)²) = ⁹/₅

9.	De helling moet -³/₄ zijn, dus f '(x) = -³/₄ f (x) = 4(3x - 1)^-1 f '= -4(3x - 1)^-2 • 3 = -12(3x - 1)^-2 -12(3x - 1)^-2 = -³/₄ (3x - 1)^-2 = ¹/₁₆ (3x - 1)² = 16 3x - 1 = 4 ∨ 3x - 1 = -4 3x = 5 ∨ 3x = -3 x = ⁵/₃ ∨ x = -1 x_B = -1

10.	r = 5 geeft 10^-7 = ^P/_4p5² P = 10^-7 • 4π • 5² = 3,1415 • 10^-5 bij r = 1 geldt dan : I = 3,1415 • 10^-5 /(4π1²) = 2,5 • 10^-6 watt/m²

11.	Kies gewoon wat voor I: I = 1 geeft L = 10 • log(10¹² • 1) = 120 verdubbelen: I = 2 geeft L = 10 • log(10¹² • 2) = 123,0103 De toename is dan 123,0103 - 120 ≈ 3 dB

12.	10 • log(10¹² • 1) = 80 log(10¹² • I) = 8 10¹² • I = 10⁸ I = 10⁸/10¹² = 10^-4 10^-4 = ³⁰/₄_π_r² 4πr² = ³⁰/₁₀-4 = 300000 r² = ³⁰⁰⁰⁰⁰/₍₄_π₎ = 23873,241.. r = √(23873,241...) = 154,5 meter (de oplossing -154,5 meter voldoet niet) Afgerond geeft dat r » 155m

13.	∠BCQ = 180 - 50 - 105 = 25º sinusregel in driehoek BQC: ²/_sin25 = ^CQ/_sin50 CQ = ²/_sin25 • sin50 = 3,625... ∠QCA = 40 - 25 = 15º cosinusregel in driehoek CQA: 3² = AC² + 3,625...² - 2 • AC • 3,625... • cos15º 9 = AC² + 13,142... - 7,003 • AC AC² - 7,003 • AC + 4,142...= 0 ABC-formule geeft dan AC = ^{(7,003 + 5,698)}/₂ = 6,35 of 0,65 De goede oplossing is AC = 6,35

14.	16 = 2^{0,5x² - x}0,5x² - x = 4 0,5x² - x - 4 = 0 x² - 2x - 8 = 0 (x - 4)(x + 2) = 0 x = 4 ∨ x = -2 (Het mag uiteraard ook via de optie calc - intersect van de GR)

15.	De exponent is het gedeelte in de lucht, en dat moet minimaal zijn. Dus 0,5x²- x is minimaal. Dan is de afgeleide ervan nul. x - 1 = 0 x = 1 Het minimum is dan f(1) = 2^{0,5 • 1² - 1} = 2^-0,5

16.	x² + y² - 2x + 4y = 3. x² - 2x + 1 - 1 + y² + 4y + 4 - 4 = 3 (x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 = 3 (x - 1)² + (y + 2)² = 7 Het middelpunt is het punt (1, -2) p gaat door (-1, 0) en (3, 0) dus de vergelijking is y = a • (x + 1)(x - 3) (1, -2) invullen: -2 = a • 2 • -2 = -4a a = ¹/₂ f(x) = ¹/₂(x + 1)(x - 3)

Punt, afstand, hoek en cirkel.

Gegeven is cirkel c met middelpunt M(4, 2) . Op c liggen de punten A(5, -1) en B(7,1) . Lijn l gaat door B en staat loodrecht op lijnstuk AB. Punt P is het snijpunt van l met de x-as. Zie de figuur.



6p.	6.	Bereken exact de afstand van P tot c.

Op c ligt links van A het punt S zodanig dat ∠AMS = 60º . Zie de volgende figuur.



4p.	7.	Bereken in twee decimalen nauwkeurig de helling van lijnstuk MS.

Grafiek met lijn.

De functie f is gegeven door f (x) = ⁴/_{(3x - 1)} Bovendien is gegeven de lijn l met vergelijking y = -^3/₄• x + ^9/₂Zie de figuur.



Op de grafiek van f ligt het punt A(⁵/₃, 1)

6p.	8.	Bereken exact de afstand van A tot l.

In A is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan l. Het punt B is het andere punt op de grafiek van f waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan l.

8p.	9.	Bereken exact de x-coördinaat van B.

Zijde AC.

Gegeven is driehoek ABC met punt Q binnen de driehoek. Er geldt: - AQ = 3 - BQ = 2 - ∠CQB =105º - ∠QBC = 50º - ∠ACB = 40º Zie de figuur.

7p	13.	Bereken de lengte van zijde AC. Rond je antwoord af op twee decimalen.

(G)een exponentiële functie

De functie f is gegeven door f(x) = 2^{0,5x² - x}. Verder is gegeven de lijn l met vergelijking y = 16. Zie de figuur.



De grafiek van f heeft twee snijpunten met l.

3p.	14.	Bereken de x-coördinaten van deze punten.

De functie f heeft een minimum. Als de exponent van 2 in de uitdrukking 2^{0,5x² -}^xminimaal is, dan is ook f(x) minimaal.

3p.	15.	Bereken exact het minimum van f.

Parabool en cirkel.

Cirkel c met middelpunt M is gegeven door x² + y² - 2x + 4y = 3. De punten A(-1, 0) en B(3, 0) zijn de snijpunten van c met de x-as. Parabool p heeft de top in M en snijdt de x-as in A en B. Zie de figuur.



Parabool p is de grafiek van de functie f.

3p.	16.	Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift van f op.