HAVO WB12, 2008 - II
Koffiekan.

Bij het zetten van koffie wordt soms een koffiezetapparaat gebruikt. Deze opgave gaat over een koffiezetapparaat waarbij de koffiekan, zonder het handvat en de bovenrand, de vorm heeft van een aan twee kanten afgeknotte bol.
De hoogte
h (in cm) van de vloeistofspiegel in de koffiekan wordt gemeten ten opzichte van de onderkant van de koffiekan. Zie de volgende figuur
.

V(h) is het volume (in cm3) van de vloeistof (koffie) in de koffiekan als de hoogte van de vloeistofspiegel h cm is.
Er geldt:   V(h) = 33πh + 4πh2 - 1/3πh3

In deze opgave gaan we ervan uit dat de hete koffie vanaf het begin met constante snelheid de koffiekan in stroomt. Na precies 8 minuten staat de vloeistofspiegel op 9,2 cm hoogte. Hieruit kun je afleiden dat er 2,5 cm3 koffie per seconde in de koffiekan stroomt.

3p. 1. Toon dit met een berekening aan.
3p. 2.

Bereken na hoeveel seconden de vloeistofspiegel in de koffiekan op 3,0 cm hoogte staat. Rond je antwoord af op een geheel getal.

In één kopje gaat 120 ml (120 cm3) koffie. Op de koffiekan staan streepjes die horen bij het vloeistofniveau voor 2, 3, 4, ..., 10 kopjes. In de figuur hieronder zijn deze streepjes voor 2 en 10 kopjes al aangegeven. De schaal van deze figuur is 1 : 2.

4p. 3.

Teken in de figuur het streepje dat hoort bij 6 kopjes. Licht je werkwijze toe.

Nadat er koffie is gezet, wordt het koffiezetapparaat uitgeschakeld. De koffie in de kan koelt vervolgens af. Bij het uitschakelen heeft de koffie een temperatuur van 80 °C. In de volgende tabel is het temperatuurverloop van de koffie te zien. Je ziet dat de tijd t is gemeten in minuten, waarbij t = 0 het moment van uitschakelen is. De temperatuur T is gemeten in °C.

t (in minuten) 0 10 20 30 40 50 60
T(in ºC) 80 59 50 44 40 37 35

De temperatuur in de keuken waar het koffiezetapparaat staat, is 23 °C.
Een formule die het temperatuurverloop van de koffie redelijk benadert, is van
de vorm T = 23 + b • gt .
Je kunt de waarden van
b en g berekenen door gebruik te maken van het eerste en het laatste meetpunt. Met de gegevens van het eerste meetpunt, t = 0 en T = 80 , kun je de waarde van b berekenen. Daarna kun je met behulp van de gegevens van het laatste meetpunt, t = 60 en T = 35 , de waarde van g berekenen.

6p. 4.

Bereken op algebraïsche wijze de waarden van b en g. Rond daarna de waarde van g af op twee decimalen.

Een formule gebaseerd op alle meetgegevens uit de tabel is: T = 23 + 49 • 0,975t  met t in minuten en T in °C.
Met behulp van deze laatste formule kan berekend
worden voor welke waarde van t de koffie afkoelt met een snelheid van 1,0 °C per minuut.

5p. 5.

Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van t. Rond je antwoord af op één decimaal.

 

Balk en Piramide.

Gegeven is een balk ABCD.EFGH. Het grondvlak ABCD is een rechthoek met zijden AB = 5 en BC = 4. De hoogte AE is gelijk aan 6.
Op
AB ligt punt R zodat AR = 2. Het punt Q is het midden van CG. Zie de figuur hierboven.

5p. 6.

Teken in de figuur hiernaast de doorsnede van het vlak door de punten H, R en Q met de balk ABCD.EFGH.

De punten D, H, Q en R zijn de hoekpunten van een piramide met grondvlak DHQ en top R.

5p. 7. Bereken de inhoud van deze piramide.

Van de piramide DHQ.R kan een uitslag getekend worden. Hieronder is hiermee een begin gemaakt. Daar is HD als een lijnstuk van 6 cm getekend.

5p. 8.

Teken van deze uitslag het deel dat bestaat uit de vlakken DHQ en DRQ. Licht je werkwijze toe.

6p. 9. Bereken de hoek tussen het vlak DRQ en het grondvlak ABCD.

 

Een symmetrische grafiek.

De grafiek in de bovenste figuur hiernaast hoort bij de functie f die gegeven is door 

Deze grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as en heeft de x-as als horizontale asymptoot.
Er zijn punten op de grafiek waarvoor geldt
  f(x) = 1/2.

4p. 10.

Bereken algebraïsch de exacte waarden van de x-coördinaten van deze punten.

Op de grafiek van f worden twee transformaties na elkaar toegepast. Eerst wordt de afstand van de punten van de grafiek tot de x-as twee maal zo groot gemaakt en daarna wordt de afstand tot de y-as gehalveerd. Zie de onderste figuur hiernaast.

4p. 11.

Geef een functievoorschrift dat past bij de nieuwe grafiek. Leg uit hoe je aan je antwoord gekomen bent

 

Droogrek.

Hierboven staat een droogrek afgebeeld. In de linkerfiguur daaronder is het vooraanzicht getekend van een model van het droogrek met slechts één hanggedeelte. In dit vooraanzicht geldt:
- driehoek ABT is gelijkzijdig,
- het hanggedeelte EG is 85 cm lang en is draaibaar om het punt E,
- de steun CF is draaibaar om het punt C,
-

het eindpunt F blijkt op 10 verschillende plekken op EG vastgezet te kunnen worden,

- de aangegeven afmetingen zijn in centimeter.
 
Het hanggedeelte EG maakt een hoek met EB. De grootte van deze hoek noemen we α. Zie de rechterfiguur . De grootte van α hangt af van de plaats waar punt F wordt vastgezet. Wanneer het hanggedeelte in de laagste stand wordt gezet, geldt EF = 85 . De punten F en G vallen dan samen.
4p. 12. Bereken α in deze situatie in hele graden nauwkeurig.
De afstand van het punt E tot de grond is ongeveer 95 cm.
3p. 13. Toon dit met een berekening aan.

De hoogte h boven de grond van het punt G is afhankelijk van α. 
Er geldt:
h = 95 + 85 • sin(α − 60°) , met h in cm en α in graden.

4p. 14. Toon de juistheid van deze formule aan.

Men vraagt zich af wat de maximale lengte van een rechthoekige lap stof is die over het droogrek te drogen kan worden gehangen zonder dat de uiteinden de grond raken. Beide hanggedeelten, EG en KM, worden daarbij steeds in dezelfde positie geplaatst. In de figuur hieronder is van deze situatie een vooraanzicht getekend.

Het punt F kan slechts op 10 verschillende standen worden vastgezet. In de volgende tabel staat weergegeven hoe groot α is bij 9 verschillende lengten van EF. (In de tabel ontbreekt de tiende lengte, EF = 85. Deze is niet van belang voor het beantwoorden van vraag 15.)

EF (cm) a (graden)
17,5 144
25 115
32,5 100
40 90
47,5 81
55 73
62,5 66
70 58
77,5 51
6p. 15.

Onderzoek met behulp van deze tabel hoe groot de maximale lengte van de lap stof is. Rond je antwoord af op hele centimeters.

Halve cirkel en derdegraadsfunctie.
De functies f en g zijn gegeven door:   f(x) = √(1 - x2 )  en  g(x) = -1/30x3 + x2 - 1,9x + 1,58.
De grafieken van f en g lijken elkaar te raken. Zie de volgende figuur.

De grafieken van f en g raken elkaar echter niet. De vergelijking f (x) = g(x) heeft twee oplossingen.

5p. 16.

Los op voor welke x geldt f (x) < g(x). Rond de grenswaarden van x af op twee decimalen.

De grafiek van f is een halve cirkel. 
Van het vierkant
ABCD liggen de hoekpunten A en D op de x-as zodat OA = OD. De hoekpunten B en C liggen op de halve cirkel.
Om de oppervlakte van vierkant ABCD uit te rekenen, moet eerst de lengte van
een zijde worden bepaald. We stellen daartoe OA = p. Hieruit volgt AD = 2p.
Met behulp van f (x) =
(1−x2)vinden we nu AB = (1− p2 ).

5p. 17. Bereken op algebraïsche wijze de exacte oppervlakte van het vierkant.
Het punt T in de figuur is een top van de grafiek van de functie g.
4p. 18. Bereken op algebraïsche wijze de x-coördinaat van het punt T .

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. V(9,2) = 33π 9,2 + 4π9,22 - 1/3π • 9,23 = 1202 cm3 
1202 cm3 in 8 • 60 = 480 seconden  betekent  1202/480 =
2,504  cm3/sec en dat is inderdaad ongeveer 2,5. 
2. V(3,0) = 396 cm3 
Bij een snelheid van 2,5 cm3/sec duurt dat dan  396/2,5
158 sec.
3.
6 kopjes is  6 • 120 = 720 cm3 
720 = 33
πh + 4πh2 - 1/3πh3 
Y1 = 720
Y2 = 33
πX + 4πX2 - 1/3πX3  
intersect geeft X = h = 5,122 cm.
Op schaal betekent dat
2,56 cm vanaf de bodem.

Zie hiernaast...

4. t = 0 geeft  80 = 23 + bg0    80 = 23 + b • 1    b = 80 - 23 = 57
t = 60 geeft dan   35 = 23 + 57 • g60 
  12 = 57 • g60    12/57 = g60     g = (12/57)1/60 0,97
5. T' = 49 • 0,975t • ln(0,975)
afkoelen betekent dat T afneemt, dus dat de helling negatief is:
T' = -1,0 
  -1,0 = 49  • 0,975t • ln(0,975)    0,975t = -1/(49 • ln(0,975)) 0,806  
  t = e0,806 2,2 minuten  
6. Teken een lijn door R evenwijdig aan HQ: dat geeft S1 op AE.
S1H tekenen
Teken een lijn door Q evenwijdig aan S1H; dat geeft S2 op BC.
De doorsnede is 
HQS2RS1.

 

7. Het grondvlak van de piramide is HDQ.
HD = 6, HQ = DQ =
(32 + 52) = 34
Kies als basis HD, dan is de hoogte 5 (gelijk aan HG) dus de oppervlakte 0,5 • 6 • 5 = 15

De hoogte van de piramide is de afstand van R loodrecht naar vlak HDQ en dat is de afstand van R tot HDCG en dat is 4.

De inhoud is dan 1/3 • 15 • 4 = 20 

8.

HQD is makkelijk te tekenen: teken een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 6 en 3 vanaf H.
De lengte van DR vind je door een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 4 en 2 vanaf D te tekenen.
R ligt dan ergens op de cirkel met middelpunt D en straal DR.

QB = 5 (3-4-5 driehoek) dus de lengte QR kun je vinden door een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 5 en 3 vanaf Q te tekenen. R ligt dan ergens op de cirkel met middelpunt Q en straal QR.

R is dus het snijpunt van deze twee cirkels.

(je kunt overigens ook al deze zijden gewoon berekenen:
DR =
(42 + 22 ) 4,47 en  QR = (32 + 42 + 32 ) 5,83)

9. De snijlijn van beide vlakken is DR.
We zoeken nu twee lijnen (in elk valk één) die loodrecht op DR staan.
In QDR is QD  = QR  dus de lijn van Q naar het midden M van DR staat loodrecht op DR.
In CDR is  CR = CD dus de lijn van C naar het midden M van DR staat ook loodrecht op DR.
De gevraagde hoek is daarom hoek QMC.
sin(QMC) = QC/QM = 3/QM.
Nu nog QM berekenen:
   DR =
(22 + 42)= Ö20
   QM2 = QD2 - (0,5DR)2 = 32 + 52 - (0,5
20)2 = 9 + 25 - 5 = 29    QM = 29

dus sin(QMC) = 3/
29    QMC 33,85º
10. e-0,5x² = 0,5  ⇒  -0,5x2 = ln(0,5)  ⇒  x2 = -2ln(0,5)  ⇒  x = ± (-2ln(0,5))
Dat kun je nog mooier schrijven als je je bedenkt dat ln0,5 = -ln2, dan staat er 
x = ±
√(2ln2)
11. afstand tot de x-as tweemaal zo groot:  hele formule  •2, dus  y = 2 • e-0,5x²

afstand tot de y-as halveren:  x vervangen door 2x. Dan wordt de macht -0,5(2x)2 = -0,5 • 4x2 = -2x2
De hele formule is dan 
y = 2 • e -2x²

12. We hebben dan een driehoek met zijden van  85 en 60 en 45.
De cosinusregel geeft:  602 = 852 + 452 - 2 • 85 • 45 • cos
α
⇒  3600 = 7225 + 2025 - 7650 • cos
α
⇒  -5650 = -7650 • cos
α
⇒  0,738 ≈ cos
α
  α 42º.
13. Noem E' en  T'  de projecties van E en T op de grond.
Dan is driehoek EE'B gelijkvormig met TT'B.
EB = 11/12•TB dus ook  EE'= 11/12•TT'
(TT')2 = 1202 - 602 = 10800 
  TT'= 10800    EE'= 11/1210800 95,263 en dat is inderdaad ongeveer 95 cm.
14. ÐBER = ÐABE (Z-hoeken) dus ÐBER = 60º  (want driehoek ABT is gelijkzijdig)
Dus ÐGER =
α - 60
sin(GER) = GR/EG = GR /85  ⇒  GR = 85 • sin(GER) = 85 • sin(
α - 60)
GQ = h = RQ + GR = 95 + 85 • sin(
α - 60) 
15. De lengte van de lap stof is  2 • h + GM
net als inde vorige opgave:
cos(
α - 60) = ER/EG = ER/85  ⇒  ER = 85 • cos(α - 60)
EK = 10 want driehoek TKE is gelijkzijdig en TE = 10
Dus MG = EK + 2ER = 10 + 2 • 85 • cos(
α - 60)
de hele lap is dan  MG + 2ER = 10 + 2 • 85 • cos(
α - 60) + 2 • (95 + 85 • sin(α - 60))
invullen in de GR bij Y1 en dan in de tabel kijken geeft:
EF a lengte lap
17,5 144 386,83
25 115 436,76
32,5 100 439,50
40 90 432,22
47,5 81 419,63
55 73 403,88
62,5 66 386,84
70 58 363,96
77,5 51 341,31
De maximale lengte is kennelijk ongeveer 440 cm.
16. Y1 = Ö(1 - X^2)  en  Y2 = -1/30X^3 + X^2 - 1,9X + 1,58.
intersect geeft  X = 0,53  en   X = 0,66
f < g geldt dan voor  X < 0,53  of  X > 0,66  (lees maar af uit de grafiek: aan de zijkanten ligt f onder g)
Maar het domein van f is  [-1,1]  dus blijft over  
-1 ≤ x < 0,53  en  0,66 < x ≤ 1
17. 2p = √(1 - p2)
kwadrateren:  4p2 = 1 - p2
⇒  5p2 = 1  ⇒  p2 = 1/5  ⇒  p = √(1/5)     (of  p = -√(1/5) maar die valt af)
oppervlakte is   2p • √(1 - p2) = 2 • √(1/5) • √(1 - 1/5)  = 2 • √(1/5) • √(4/5) = 2 • √
(4/25) = 2 • 2/5 = 4/5
18. Op de top is de afgeleide nul:
g' = -3 • 1/30x2 + 2x - 1,9 = -0,1x2 + 2x - 1,9
De ABC-formule geeft  x = (-2 ±
(3,24))/-0,2 = (-2 ± 1,8)/-0,2 = 1  of  19 
De gevraagde oplossing is
x = 1   (x = 19 is een maximum)