Nieuwe pagina 1

Verkeersdichtheid.

We gaan uit van de volgende (denkbeeldige) situatie (zie onderstaande figuur).
Op een weg rijden auto's met een snelheid van 80 kilometer per uur. De auto's houden een onderlinge afstand van 45 meter. De lengte van een auto is 4 meter. Per auto is dus 49 meter snelweg nodig.

Langs deze weg staan borden met daarop de tekst: "Houd 2 seconden afstand".

Onderzoek of in de gegeven situatie de auto's hieraan voldoen.

De volgende vragen gaan over wegen met veel verkeer.
Als het drukker wordt op de weg gaan de auto's langzamer rijden en ook dichter op elkaar. De verkeersdichtheid, dat is het aantal auto's per kilometer weg, neemt dus toe. Voor het verband tussen de snelheid van het verkeer en de verkeersdichtheid stelde de Amerikaanse deskundige dr. Bruce Greenshields in 1935 de volgende formule op:

Hierbij is:

de snelheid van het verkeer in kilometer per uur.

v_max

de snelheid van het verkeer in kilometer per uur als men niet door andere automobilisten in zijn snelheid belemmerd wordt.

de verkeersdichtheid, en

k_max

het maximale aantal auto's per kilometer weg.

Bij een gegeven snelheid is de doorstroming q het aantal auto's dat per uur een bepaald punt passeert als ze zo dicht mogelijk op elkaar rijden. Zo dicht mogelijk betekent hier dat de bestuurders de kleinste onderlinge afstand kiezen die nog voldoende verkeersveiligheid garandeert.
Voor q geldt: q = v • k

We gaan uit van de volgende situatie:
Op een weg is v_max gelijk aan 88. Het verkeer rijdt achter elkaar met een snelheid van 72 kilometer per uur. Alle auto's zijn 4 meter lang. Er passen dus maximaal 250 auto's op een kilometer; in dit geval is k_max gelijk aan 250.

Bereken de doorstroming q van deze weg.

De volgende vragen gaan over een snelweg met in beide richtingen twee rijstroken. Op elke rijstrook is k_max gelijk aan 250 en v_max gelijk aan 160.
Met behulp van de gegeven formules k = k_max•(1 - ^v/_v_max) en q = v • k kan afgeleid worden dat voor elke rijstrook van deze weg geldt: q = 250v - 1,5625v² .

Toon aan dat deze laatste formule uit de twee andere formules afgeleid kan worden.

De doorstroming q van een rijstrook hangt dus af van de snelheid waarmee gereden wordt.

Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid q het grootst is.

Windsnelheid en hoogte

Op een bepaalde dag is in Vlaardingen op verschillende hoogtes de windsnelheid gemeten. Uit de meetresultaten blijkt dat er bij benadering een lineair verband bestaat tussen de windsnelheid W in m/s en de hoogte h in meter voor hoogten tussen 10 en 80 meter (zie onderstaande tabel). De formule W = a • h + b geeft dit lineaire verband.

h	10	20	30	40	50	60	70	80
W	1,2	1,6	2,1	2,5	3,0	3,4	3,9	4,3

Bereken a en b met behulp van de gegevens uit deze tabel. Rond a af op drie decimalen en b op twee decimalen.

Onderzoek door weerkundigen naar windsnelheden op verschillende hoogtes en onder verschillende omstandigheden heeft opgeleverd dat het verband tussen windsnelheid en hoogte in het algemeen niet lineair is. Een betere formule is:

W = 5,76 • m • log(^h/_r)

Hierin is:

•

W de windsnelheid (in m/s);

•

h de hoogte in meter waarop de windsnelheid wordt gemeten;

•

m een constante die afhangt van de wrijving tussen de luchtlagen;

•

r een constante die afhangt van de ruwheid van het terrein (hoge bomen beïnvloeden de windsnelheid anders dan grasland)

De formule is geldig tot hoogtes van ongeveer 100 meter

In de praktijk wordt de windsnelheid op een hoogte van 10 meter gemeten. De waarde van r op de meetplek is bekend zodat het getal m met behulp van de formule berekend kan worden. Vervolgens kan met de gegeven formule de windsnelheid op andere hoogtes berekend worden.

Boven open bouwland met r = 0,12 wordt de windsnelheid gemeten. Op 10 meter hoogte is deze windsnelheid 6,0 m/s.

Bereken in deze situatie de windsnelheid op een hoogte van 60 meter.

Boven een bepaald terrein en met m = 0,45 geldt het volgende:
de windsnelheid is op 60 meter hoogte 1,3 keer zo groot als op 20 meter hoogte.

Bereken de waarde van r van dit terrein.

Op grotere hoogte geldt het volgende: bij toenemende hoogte neemt de windsnelheid vrijwel niet toe. Met behulp van de helling van de grafiek van W is deze eigenschap te controleren.
Neem in de volgende vraag r = 1 en m = 1.

Toon met behulp van differentiëren aan dat op hoogtes groter dan 90 m de helling van de grafiek van W kleiner is dan 0,028.

In de gegeven formule is de logaritme met grondtal 10 gebruikt. Soms wordt ook wel de natuurlijke logaritme ln gebruikt.
De formule W = 5,76 • log(^h/_r) kan omgewerkt worden naar een formule van de vorm W = a • m • ln(^h/_r).

Bereken de waarde van a in deze formule.

Vouwpiramide

Driehoek TAB is een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Driehoek TAB heeft dus de vorm van een geodriehoek.

∠A = 90º en AT = AB = 10 cm.
Punt D ligt op AB zo, dat lijn TD hoek ATB in twee gelijke hoeken van 22,5º verdeelt. DC staat loodrecht op TB.

In de figuur hiernaast is AD dus even lang als DC.

10.

Toon aan dat BC ook even lang is als DC.

Van een stuk karton met de afmetingen van de driehoek uit deze figuur wordt een ruimtelijke figuur gevouwen. De vouwen lopen langs de lijnen TD en CD. Hieronder zie je hoe uiteindelijk een deel van de piramide T.ABCD ontstaat.

In de laatste figuur zijn de lijnstukken AB en TB erbij getekend. Het grondvlak ABCD is een vierkant. Top T ligt recht boven punt B. Zo ontstaat een piramide T.ABCD.

De oppervlakte van driehoek TAB uit de eerste figuur is 50 cm². Iemand beweert dat de oppervlakte van de uitslag van de complete piramide het dubbele daarvan is.

11.

Onderzoek of deze bewering juist is.

12.

Bereken de hoek tussen de vlakken TCD en ABCD.

13.

Bereken de inhoud van de complete piramide T.ABCD.

Het punt M is het midden van ribbe AT. Tussen M en B wordt een elastiekje gespannen. Als het stuk karton wordt teruggevouwen tot de driehoek van de eerste figuur, wordt het elastiekje uitgerekt.

14.

Bereken met welk percentage het elastiekje in de platte toestand (zie eerste figuur) is uitgerekt ten opzichte van de gevouwen situatie van piramide T.ABCD (zie laatste figuur)

Sinus en cosinus

Gegeven is de functie f(x) = -2sin(x + ¹/₃π) In onderstaande figuur zijn de grafiek van f en de grafiek van y = cos(x) getekend op het interval [0, 2π].



De grafiek van f kan ontstaan uit de grafiek van y = cos(x) door hierop een verschuiving en een vermenigvuldiging toe te passen.

3p	15.	Schrijf op welke deze verschuiving en vermenigvuldiging kunnen zijn.

Verder is gegeven de functie g(x) = sin(x) - cos(x)

5p	16.	Bereken voor welke waarden van x op het interval [0, 2π] geldt dat f(x) < g(x). Rond de getallen in je antwoord af op twee decimalen.

De grafiek van g is een sinusoïde. Het functievoorschrift van g is te schrijven als g(x) = a • sin(x - b)

4p	17.	Zoek met behulp van je grafische rekenmachine een waarde van a en een waarde van b waarvoor dit geldt. Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.

Kubuswoning

Gegeven is een kubus ABCD.EFGH. In de bovenste figuur hiernaast zijn in deze kubus driehoek ACF en lichaamsdiagonaal HB getekend. De lengte van AF is 9,80 m. Hieruit volgt dat de ribbe van de kubus ongeveer 6,93 m is.

3p	18.	Toon dit met een berekening aan.

Van de kubus in de bovenste figuur hiernaast zijn de ribben AE, BF, CG en DH verticaal. De kubus wordt vanuit deze stand gekanteld naar de stand in de onderste figuur. De lichaamsdiagonaal HB komt daardoor verticaal te staan

3p	19.	Bereken de hoek waarover de kubus gekanteld is.

Driehoek ACF snijdt lichaamsdiagonaal HB loodrecht en ligt in de stand van de onderste figuur dus horizontaal. De kubus in deze stand is een model voor een zogeheten kubuswoning. Driehoek AFC stelt een vloer in deze woning voor. De oppervlakte van deze vloer is ongeveer 42 m² .

4p	20.	Toon dit met een berekening aan.

OPLOSSING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.


1.	80 km/uur is ⁸⁰/_3,6 = 22,22 m/s dus in 2 seconden 44,44 meter. 45 meter is meer dus ze houden zich wel aan de afstand. of: 80 km/uur = 22,22 m/s dus over 45 m doen ze ⁴⁵/_22,22 = 2,02... seconden en dat is meer dan 2.

2.	k = 250 • (1 - ⁷²/₈₈) ≈ 45,4545... q = v • k = 72 • 45,4545 ≈ 3272,7 (3272 of 3273 is ook goed als je per se een geheel getal wilt; dat hoeft niet want q is een soort gemiddelde)

3.	q = v • k = v • 250 • (1 - ^v/₁₆₀) = 250 • v • 1 - 250 • v • ^v/₁₆₀ = 250v - ²⁵⁰/₁₆₀v² = 250v - 1,5625v²

4.	q'= 250 - 2 • 1,5625v = 250 - 3,125v q'= 0 ⇒ 250 - 3,125v = 0 ⇒ v = ²⁵⁰/_3,125 = 80 km/u omdat de grafiek van q een bergparabool is (-1,5625 < 0), is dit inderdaad de maximale v.

5.	Neem twee punten, bijv. (10, 1.2) en (80, 4.3) a = ^Δ^y/_Δ_x = ^{(4,3 - 1,2)}/_{(80 - 10)} = 0,044 = a Vul bijv. (10, 1.2) in in y = 0,044x + b: 1,2 = 0,044 • 10 + b ⇒ b = 0,76

6.	6,0 = 5,76 • m • log(¹⁰/_0,12) = 11,06m ⇒ m ≈ 0,5423 W(60) = 5,76 • 0,5432 • log(⁶⁰/_0,12) = 8,43 m/s

7.	Dan moet gelden: 1,3 • W(20) = W(60) dus 1,3 • 5,76 • 0,45 • log(²⁰/_r) = 5,76 • 0,45 • log(⁶⁰/_r) Vul nu in Y1 = 1,3 • 5,76 • 0,45 • log(²⁰/_X) en Y2 = 5,76 • 0,45 • log(⁶⁰/_X) window bijv. Xmin = 0, Xmax = 1, Ymin = 4, Ymax = 6 intersect levert r ≈ 0,51

8.	W = 5,76logh dus W ' = 5,76 • ¹/_(hln10) en W'(90) = 0,02779 Omdat de grafiek van W' daalt (net als y = ¹/_x) zal de helling boven de 90 m kleiner worden, dus zeker kleiner zijn dan 0,028.

9.	dus a = ^5,76/_ln10 ≈ 2,5

10.	Omdat ∠DBC = 45º en ∠BCD = 90º geldt dat ∠BDC = 45º Dus is driehoek BCD ook gelijkbenig, dus is BC = CD.

11.	BAD en BDC zijn gelijk. Het gaat er dus om of ook ADT (en CDT) gelijk is aan ABT (en BCT) ADT en ABT hebben gelijk basis (AB = AD) Maar de hoogte van ADT (=AT) is groter dan de hoogte van ABT (=BT) want AT is de schuine zijde in een driehoek waarin BT een rechthoekszijde is. Dus ADT > ABT en ook DCT > BCT De complete piramide zal minder groot zijn dan het dubbele van de oorspronkelijke TAB.

12.	Het is hoek BCT want BC en CT staan beiden loodrecht op snijlijn CD. In de oorspronkelijke ABT geldt: tan 22,5 = ^AD/₁₀ ⇒ AD = 10 • tan 22,5 ≈ 4,142 Dus is ook BC ≈ 4,142 (zie vraag 10) in driehoek BCT: cos ∠BCT = ^BC/_CT = ^4,142/₁₀ ⇒ ∠BCT = 65,53 º

13.	BC ≈ 4,142 (vraag 12) BT² = CT² - BC² = 100 - 4,142² ⇒ BT ≈ 9,10 inhoud = ¹/₃ • BC² • BT = ¹/₃ • 4,142² • 9,10 ≈ 52,05 cm³

14.	Als je een rechthoek om driehoek BAT tekent, dan zie je dat M het snijpunt van de diagonalen is, dus is BM = ¹/₂AT = 5 In de oorspronkelijke driehoek in driehoek ABM: BM² = 10² + 5² ⇒ BM = √125 ≈ 11,18 De uitrekking is dus 6,18 en dat is ^6,18/₅ • 100% ≈ 124%

15.	De grafiek van f gaat door de evenwichtslijn (de x-as) omlaag (is gespiegeld) bij x = -¹/₃π (en dus ook bij 1²/₃π) De grafiek van g gaat door de x-as omlaag bij x = ¹/₂π De verschuiving is dus 1²/₃π - ¹/₂π = 1¹/₆π naar rechts De amplitude van f is dubbel zo groot als die van g dus de vermenigvuldigingsfactor is 2 (t.o.v. x-as)

16.	Y1 = sin x - cos x en Y2 = -2sin(x + ¹/₃π) window bijv. Xmin = 0, Xmax = 2π, Ymin = -3, Ymax = 3 intersect levert x ≈ 2,79 of x ≈ 5,93 Uit de plot lees je af dat de grafiek van f onder die van g ligt voor: [0, 2.79〉 of 〈5.93, 2π]

17.	De toppen van g zijn ongeveer (2.36, 1.41) en (5.50, -1.41) De amplitude is dus ongeveer a = 1,41 de afstand tussen de toppen is 5,50 - 2,36 = 3,14 (π natuurlijk!) en de helft daarvan is 1,57. Het beginpunt ligt 1,57 links van 2,36 dus bij 2,36 - 1,57 = 0,79, dus b = 0,79

18.	Noem de ribbe x, dan is x² + x² = AF² = 9,80² = 96,04 Dus x² = 48,02 en x = √48,02 ≈ 6,93.

19.	Het is hoek HBF. In driehoek BHF: tan∠HBF = ^HF/_FB = ^9,80/_6,93 ⇒ ∠HBF ≈ 54,7º

20.	Driehoek ACF is gelijkzijdig met zijden 9,80. Voor de hoogtelijn met lengte h geldt dan h² = 9,80² - 4,90² ⇒ h ≈ 8,487 De oppervlakte is dan ¹/₂ • 9,80 • 8,487 ≈ 41,58 en dat is ongeveer 42.

21.	g 2 omhoog schuiven geeft y = 2 - Ö(x + 9) Y1 = 2 - Ö(X + 9) en Y2 = -¹/₃X window bijv. Xmin = -10, Xmax = 10, Ymin = -3, Ymax = 3 intersect levert X ≈ 5,37 en Y ≈ -1,79 Het snijpunt is ongeveer (5.37 , -1.79)

22.	h(x) = -¹/₃x • - √(x + 9) = ¹/₃x • √(x + 9) = ¹/₃x • (x + 9)^1/2 h' met de productregel: ¹/₃ • (x + 9)^1/2 + ¹/₃x • ¹/₂ • (x + 9)^-1/2 h'= 0 geeft: vermenigvuldig alle termen met √(x + 9): ¹/₃(x + 9) + ¹/₆x = 0 ⇒ ¹/₃x + 3 + ¹/₆x = 0 ⇒ ¹/₂x + 3 = 0 Þ x = -6 Dat geeft y = -¹/₃ • -6 = 2 Het minimum is het punt (-6, 2)

Lijn en wortelgrafiek

Hieronder zijn een lijn en de grafiek van een wortelfunctie getekend. De getekende lijn is de grafiek van de functie f (x) = -¹/₃x. De wortelfunctie is g(x) = -√(x + 9)



De grafiek van g wordt 2 eenheden omhoog geschoven. De lijn en de verschoven grafiek hebben een snijpunt.

4p	21.	Bereken de coördinaten van dit snijpunt.

De functie h wordt gegeven door het product van f en g: h(x) = f(x) • g(x). Deze functie heeft een maximum 0 voor x = -9. Verder heeft de functie h een minimum.

6p	22.	Bereken met behulp van differentiëren het minimum van h.

HAVO WB12, 2006 - I