HAVO B12,  2003 - II
Lichaam met zeven vlakken
In de figuur links hieronder is een balk ABCD.EFGH getekend. Het grondvlak ABCD is een vierkant met een zijde van 3 cm. De ribbe CG is 4 cm lang.
Door uit de balk de twee piramides B.EFG en D.EHG weg te halen ontstaat het in de rechterfiguur getekende lichaam ABCD.EG.
Hiernaast is een begin van de uitslag van dit lichaam ABCD.EG getekend.
4p 1. Maak de tekening van deze uitslag af.
De hoek die het vlak BEG met het grondvlak ABCD maakt is α.
5p 2. Bereken α in graden nauwkeurig.

 

Het lichaam wordt op halve hoogte evenwijdig aan het grondvlak doorgesneden. In de figuur hiernaast is deze horizontale doorsnede KLMNOP getekend.

Hieronder zie je het bovenaanzicht van het lichaam getekend.

4p 3. Teken in dit bovenaanzicht deze doorsnede. Zet de letters K, L, M, N, O en P erbij.
Door het lichaam op steeds grotere hoogten evenwijdig aan het grondvlak te doorsnijden ontstaan horizontale doorsneden waarvan de oppervlaktes steeds meer van de oppervlakte van het vierkant ABCD afwijken.
5p 4. Bereken op welke hoogte (gerekend vanaf het grondvlak ABCD) de oppervlakte van de horizontale doorsnede gelijk is aan 5 cm2.

Vierkant
Op het interval [0,1] is gegeven de functie  f(x) = 1 - x2

De grafiek van f snijdt de lijn  y = x in een punt T.

3p 5. Bereken de coördinaten van T. Rond deze  coördinaten af op drie decimalen.
Op het interval [0,1] is ook gegeven de functie  g(x) = 1 - x3. Een verticale lijn met vergelijking x = p snijdt de grafieken van f en g in twee punten Q en R. Zie de bovenste figuur hiernaast.
6p 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van p, met 0 < p < 1, de lengte van QR maximaal is.

 
Op het interval [0,1] is de functie h gegeven door:  h(x) = 1 - x10.
De grafiek van h snijdt de x-as in A(1,0) en de y-as in C(0,1).
De raaklijn aan de grafiek van h in het punt A snijdt de lijn y = 1 in het punt S. Zie de middelste figuur hiernaast.
4p 7. Bereken de coördinaten van S.
Op het interval [0,1] is de familie van functies  k(x) = 1 - xn gegeven. Hierin in n een positief geheel getal. De functies f, g, en h behoren tot deze familie.
Hoe groter de waarde van n, hoe meer de grafiek van k, aangevuld met de lijnstukken OA en OC, lijkt op een vierkant OABC.
In de onderste figuur hiernaast zijn voor enkele waarden van n de grafieken van k  met het vierkant OABC getekend.

Voor elke waarde van n snijdt de raaklijn in het punt A aan de grafiek van k de lijn y = 1  in een punt S. Hoe groter n is, hoe kleiner de afstand SB is.
5p 8. Bereken voor welke waarden van n de afstand SB kleiner is dan 0,001.

 
Voor elke waarde van n snijdt de grafiek van k het lijnstuk OB in een punt T. Hoe groter n is, hoe dichter T bij punt B ligt.
5p 9. Onderzoek voor welke waarden van n de x-coördinaat van T minder dan 0,1 verschilt van de x-coördinaat  van B.

 
Hartfrequentie
Een schaatser doet een hardlooptest op een loopband. Na elke 300 meter die de schaatser heeft afgelegd op de loopband wordt er overgeschakeld op een hogere snelheid. De eerste 300 meter loopt hij met een constante snelheid van 10,2 km per uur. Na elke 300 meter wordt deze snelheid met 0,4 km per uur verhoogd. Een hartslagmeter registreert na elke 300 meter de hertfrequentie van de schaatser. De hartfrequentie van een mens is het aantal slagen dat het hart per minuut maakt.

In de volgende figuur zijn de resultaten van de hardlooptest weergegeven. Hierin is te zien dat de eerste meetgegevens vrijwel op een rechte lijn liggen.
H is de hartfrequentie in slagen per minuut en V is de snelheid in km per uur.
Voor snelheden tussen 10 en 15 km per uur is het verband tussen V en H bijna lineair.
4p

10.

 Geef een formule van dit lineaire verband. Licht je werkwijze toe.

 
Een hardloper doet dezelfde test op de loopband. In de figuur hieronder zijn de resultaten weergegeven.
De hartfrequentie waarbij het lineaire verband verloren gaat heet het omslagpunt. Voor de hardloper van de figuur hier direct boven ligt het omslagpunt bij een hartfrequentie van ongeveer 190 slagen per minuut. Bij een grotere inspanning is het hart minder goed in staat om voldoende slagen te maken.
Het verband tussen V en H wordt voor de hardloper bij benadering gegeven door de volgende twee formules:
H = 76,8 + 6,6V voor  11 ≤ V ≤ 17
H = 200 - (0,0545V - 0,836)-1 voor  V ≥ 17

De grafiek van het verband tussen V en H bestaat voor de hardloper uit twee delen die in het omslagpunt op elkaar aansluiten: beide formules geven bij V = 17 bij benadering dezelfde waarde voor H.
5p

11.

 Onderzoek met behulp van differentiëren of de beide formules bij V = 17 ook ongeveer dezelfde helling geven.

 
Ieder mens heeft zijn eigen maximale hartfrequentie.
Voor volwassenen geldt de volgende vuistregel:  HMAX = 220 - 0,9L.
Hierin is HMAX de maximale hartfrequentie en L de leeftijd in jaren met L ³ 20

De maximale snelheid die de hardloper op de loopband nog net 300 meter lang kan volhouden is 20 km per uur. Bij deze maximale snelheid bereikt hij ook de maximale hartfrequentie.
4p

12.

 Onderzoek wat de leeftijd van deze hardloper is volgens de gegeven formules en de vuistregel.

 
Een logaritmische functie
Gegeven is de functie  f (x) = 2 ln(x + 1) + ln (2 - 2x)
3p

13.

 Bereken het domein van f .

 
De grafiek van f  heeft een top.
4p

14.

 Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de x-coördinaat van deze top.

 
Compactheid.
In de twee figuren hierboven zijn schematische voorstellingen van twee gebouwen A en B getekend.
Gebouw A heeft de vorm van een balk van 3 bij 3 bij 61/2: de oppervlakte van gebouw A (zijvlakken, grondvlak en bovenvlak) is 96 en de inhoud 58,5.
Gebouw B heeft de vorm van een piramide met de top midden boven het grondvlak; het grondvlak is 6 bij 6 en de hoogte is 4.
5p

15.

 Laat met een berekening zien dat gebouw B dezelfde oppervlakte (inclusief grondvlak) heeft als gebouw A, maar dat de inhoud van beide gebouwen verschilt.
Gebouw A is compacter gebouwd dan gebouw B: de verhouding tussen de inhoud en de oppervlakte van de buitenkant is bij gebouw A groter dan bij gebouw B.
Bij gebouw A is deze verhouding  I/O = 58,5/96 ≈ 0,609: bij gebouw B is de uitkomst kleiner.

Voor de compactheid van een gebouw vergelijkt men de oppervlakte (inclusief grondvlak) van de buitenkant van het gebouw met de oppervlakte van een bol met dezelfde inhoud.
In de bouw wordt de compactheid van een gebouw via de volgende vier stappen berekend:

I:    Van het gebouw worden de oppervlakte en de inhoud berekend.
II:   Van de bol die dezelfde inhoud heeft als het gebouw, wordt de straal berekend.
III:  Van deze bol wordt de oppervlakte berekend.
IV:  De compactheid C wordt tenslotte berekend met de formule:
Een bol met straal r  heeft inhoud  4/3πr3  en  oppervlakte  4πr2.
5p

16.

 Laat met een berekening via deze vier stappen zien dat voor gebouw A geldt:  C ≈ 0,759
De compactheid C kan ook direct uitgedrukt worden in de inhoud I en de oppervlakte O van het gebouw. Bij benadering geldt de formule:

Hierin is I de inhoud en O de oppervlakte van het gebouw.
5p

17.

 Toon met behulp van deze formule aan dat de compactheid van een kubus met ribbe k bij benadering gelijk is aan 0,81 voor elke positieve waarde van k.

 
In de figuur hiernaast is een huis getekend. Het heeft de vorm van een recht prisma. Het huis is 6 meter breed en 10 meter lang. De hoogte van de zolderverdieping is 4 meter. De nok ligt midden boven het grondvlak. De hoogte van de benedenverdieping is gelijk aan x meter.
De compactheid van dit huis hangt af van de waarde van x.
De oppervlakte (in m2) van dit huis is gelijk aan 184 + 32x
Ook de inhoud van dit huis kan uitgedrukt worden in x.
7p

18.

 Bereken met behulp van de formule voor C direct boven opgave 17 de maximale compactheid van het gebouw en de waarde van x waarvoor deze bereikt wordt. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Er ontbreken nog twee vlakken, nl. DEG en BEG.
Hoekpunt G kun je vinden door omcirkelen van BG om B en van EG = AC om E.
Hoekpunt G kun je ook vinden door omcirkelen van DG om D en van EG = AC om E
Dat geeft de volgende tekening:
   
2. Het is hoek MBD waarbij M het midden van BG is.
AC2 = AB2 + BC2 = 18  ⇒  AC = BD = √18
Laat een loodlijn van M op BD neer. Die snijdt BD in het midden S.
Dan geldt  tan α = MS/BS = 4/(0,5√18)
Daaruit volgt  α ≈ 62º
   
3. K valt samen met A en E  en  N valt samen met C en G.
OPLM zijn de middens van DC, DA, AB en BC
Dat geeft een zeshoek:
4. Van het vierkant worden twee rechthoekige driehoekjes afgesneden (POD en LMB in de figuur hier vlak boven)
Stel PD = x dan is de oppervlakte van de zeshoek  9 - x2
9 - x2 = 5  ⇒  x = 2
PD = 2  ⇒  PK = 2  (want DK = 4)
De driehoeken EAD en EKP zijn gelijkvormig
Omdat PK = 2/3AD is ook EK = 2/3EA = 2/3 • 4
De hoogte is dus  4 • 1/3 = 11/3
   
5. 1 - x2 = x  ⇒  x2 + x - 1 = 0  en de ABC formule levert  x ≈ 0,618  ∨  x ≈ -1,618
De laatste is onzin dus de oplossing is  x ≈ 0,618
T is dus het punt  (0.618 , 0.618)
   
6. QR = yR - yQ = (1 - p3) - (1 - p2) = p2 - p3
Dat is maximaal als de afgeleide nul is:  2p - 3p2 = 0  Þ  p • (2 - 3p) = 0  
 ⇒ p = 0  ∨  p = 2/3
p = 2/3 is het maximum
   
7. h'(x) = -10x9 dus  h'(1) = -10
de raaklijn is dus de lijn y = -10x + b en moet door (1,0) gaan. Daaruit volgt dat b = 10
-10x + 10 = 1  geeft  x = 0,9 dus het snijpunt S is  (0.9 , 1)
   
8. We doen de berekening van vraag 7 nog een keer, nu met n ipv 10:
k'(x) = -nxn-1  dus k '(1) = -n
de raaklijn is dus de lijn y = -nx + b en moet door (1,0) gaan. Daaruit volgt dat b = n
-nx + n = 1  geeft  x = (n - 1)/n = 1 - 1/n  dus  SB = 1/n
1/n < 0,001 geeft dan n > 1000
   
9. Het verschil is precies 0,1 als  1 - 0,9n = 0,9 want dan gaat de grafiek van k door (0.9 , 0.9)
Daaruit volgt  0,9n = 0,1  ⇒  n = log 0,1/log 0,9  = 21,8543...
De x-coördinaat verschilt minder dan 0,1 als  n ≥ 22
   
10. Lees twee punten van de lijn af, bijv.  (14, 150) en (19,190)
Het hellinggetal is dan  (190 - 150)/(19-14) = 8
De formule van de lijn wordt dan  H = 8V + b en die moet door (14,150) gaan.
Dat geeft 150 = 8 • 14 + b  ⇒  b = 38 en de formule H = 8V + 38
   
11. V ≤ 17 geeft  H ' = 6,6
V ≥ 17 geeft (met de kettingregel)   H ' = 1 • (0,0545V - 0,836)-2 • 0,0545
V = 17 invullen geeft  H ≈ 6,65 en de hellingen zijn dus ongeveer gelijk.
   
12 V = 20 geeft in de formule  H = 196,1
196,1 = 220 - 0,9L  Þ  0,9L = 23,9  Þ  L = 26,6
   
13. Het domein van ln x is  x > 0
dus moet gelden x + 1 > 0  en  2 - 2x > 0
dat geeft  x > -1  en  x < 1  dus het domein is  〈-1,1〉
   
14.
(de factoren 1 en -2 komen van de kettingregel)
f '(x) = 0  ⇒  2/(x + 1) = 2/(2 - 2x)  ⇒ (kruislings vermenigvuldigen) ⇒  2(x + 1) =2(2 - 2x)
 ⇒  2x + 2 = 4 - 4x  ⇒  6x = 2  ⇒  x = 1/3  
   
15. Noem de top T en M het midden van een zijde van het grondvlak
Dan geldt  TM2 = 32 + 42  ⇒  TM = 5
De piramide bestaat uit vier driehoeken en een vierkant.
De oppervlakte van een driehoek is  0,5 • 6 • 5 = 15
Samen geeft dat 4 • 15 + 36 = 96
De inhoud van de piramide is  1/3 • G • h = 1/3 • 36 • 4 = 48
   
16. De oppervlakte van A  is 4 • 3 • 6,5 + 2 • 3 • 3 = 96
De inhoud van A is  3 • 3 • 6,5 = 58,5
4/3πr3 = 58,5  ⇒  r3 = 14,037  ⇒  r = 2,40818...
4πr2 = 72,8765...
C = 72,8765/96 = 0,75913... en dat is ongeveer 0,759
   
17. Oppervlakte van een kubus is  6k2
Inhoud van een kubus is  k3
C = 4,84 • k²/6k² = 4,84/6 = 0,81
   
18. De inhoud van de benedenverdieping is  6 • 10 • x = 60x
De inhoud van de bovenverdieping is  0,5 • 6 • 4 • 10 = 120
De totale inhoud is dan  60x + 120

Plotten en het maximum bepalen geeft een maximum van C = 0,8 voor x ≈ 5,5