HAVO,  WB12  2001 -  II
       
Derdegraadsfunctie
       
In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie
 f (x) = (x2 - 1) · (x - 2)
     
3p 1. Toon langs algebraïsche weg aan dat voor de afgeleide functie f ' geldt:   f '(x) = 3x2 - 4x - 1
   

 
Lijn  l raakt de grafiek van  f in het punt  A(-3, -40)
     
4p 2. Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van lijn l.
   

 
Er is één horizontale lijn boven de x-as die met de grafiek van  f  precies twee punten gemeenschappelijk heeft. Die twee punten worden B en C genoemd.
       
7p 3. Bereken de lengte van BC. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
Windenergie
De laatste jaren wordt een steeds grotere hoeveelheid stroom opgewekt door wind.
Voor het omzetten van windenergie in elektriciteit gebruikt men windturbines. De energieproductie per tijdseenheid wordt het vermogen genoemd. De eenheid van vermogen is watt.
In de figuur hiernaast is een windturbine getekend. Het vermogen van een windturbine hangt hoofdzakelijk af van:
  • de ashoogte
  • de windsnelheid
  • de rotordiameter.
Uit metingen blijkt:  Een toename van de ashoogte met 1 meter levert 1% meer vermogen op.
3p 4. Laat met een berekening zien dat een toename van de ashoogte met 15 meter ongeveer 16% meer vermogen oplevert.

 
Voor een bepaald type windturbine met vaste ashoogte en vaste rotordiameter geldt:
  • de turbine treedt in werking bij windsnelheden vanaf 4 m/s.
  • bij windsnelheden van 4 tot en met 15 m/s geldt voor het vermogen P (in kilowatt)  P = 0,195 · V3 , waarbij V de windsnelheid is in m/s.
  • bij windsnelheden van 15 tot 235 m/s laat men de draaisnelheid van de turbine om veiligheidsredenen niet verder toenemen: het geleverde vermogen blijft daardoor op een constant peil.
  • bij windsnelheden vanaf 25 m/s wordt de turbine uitgeschakeld.
6p 5. Teken de grafiek van het vermogen als functie van de windsnelheid V voor windsnelheden van 0 m/s tot 30 m/s.
Voor het vermogen van een windturbine van het type Eolus geldt de volgende formule:
P = 0,0001 · V3 · D2

P is het vermogen in kilowatt; V is de windsnelheid on m/s; D is de rotordiameter in m.

Een bepaalde windturbine van het type Eolus heeft een rotordiameter van 47 meter.
4p 6. Bereken bij welke windsnelheid deze turbine een vermogen van 750 kilowatt geeft. Geef je antwoord in gehele m/s.

 
Windturbines van het type Eolus kunnen ook een vermogen van 750 kilowatt leveren bij andere combinaties van V en D.
Met behulp van de grafische rekenmachine kan dit in een grafiek worden weergegeven.
Neem hierbij voor D waarden van 40 tot en met 80 meter.
6p 7. Teken deze grafiek en geef aan welke formule je daartoe in de grafische rekenmachine hebt ingevoerd.

 
Kaasdoos
In een kaaswinkel is het mogelijk om Leerdammer kaas te laten verpakken in een cadeauverpakking van karton.
Bij de volgende vragen gaan we steeds uit van een model van deze kaasdoos.
Dit model ontstaat door uit een recht driezijdig prisma (zie figuur linksonder) twee gelijke stukken weg te halen. Zie de figuur rechtsonder.
De lijnen CK, BH, AG, FL zijn evenwijdig.
De afmetingen in beide figuren zijn  gegeven in cm.
In de figuren hieronder is een punt van een Leerdammer kaas getekend met daarnaast de gehele kaas.
De hoogte van deze kaas is gelijk aan DE uit de figuur hierboven en de straal is gelijk aan de afstand van DE tot vlak BHGA
De Leerdammer kaas wordt in een aantal gelijke punten gesneden, zoals in de figuur hierboven. Elke punt wordt verpakt in een kaasdoos. Hoe kleiner de punten des te meer kaasdozen er nodig zijn.
5p 8. Bereken het minimale aantal kaasdozen dat nodig is om al deze punten te verpakken.

 
Er geldt dat  CK gelijk is aan  8,125 cm.
3p 9. Toon dat aan.

 
Van de kaasdoos van de rechterfiguur helemaal bovenaan kan de oppervlakte berekend worden.
Van vierhoek BHKC is al berekend dat de oppervlakte afgerond gelijk is aan 37,5 cm2.
7p

10.

 Bereken de oppervlakte van de gehele kaasdoos. Geef je antwoord in hele cm2 nauwkeurig.
De kaasdoos wordt zo gekanteld dat hij met vlak AFEDCB horizontaal op een tafel ligt. Zie de figuur hiernaast.
In de figuur hieronder is het aanzicht van de kaasdoos getekend in de kijkrichting evenwijdig met AB, op schaal 1 : 2.
Rechts is ook een begin getekend van het aanzicht van de kaasdoos waarbij de kijkrichting evenwijdig is aan CD, schaal 1 : 2.
7p 11. Maak de tekening van dit tweede aanzicht af. Zet alle letters erbij.

 

 
Zandbak
In een hoek van een tuin wordt een zandbak gemaakt. Hiervoor worden twee planken van elk 1 meter lengte gebruikt. Zie de figuur hieronder.
De planken worden zo geplaatst dat het bovenaanzicht van de zandbak een symmetrische vierhoek is.
In de figuren rechts is van twee mogelijke situaties het bovenaanzicht op schaal getekend.
In de volgende vragen worden de hoeken steeds in radialen uitgedrukt.
In het bovenaanzicht geldt steeds:
  • AB = AD
  • BC = BD = 1 meter
  • viehoek ABCD is symmetrisch ten opzicht van de diagonaal AC.
De oppervlakte van vierhoek ABCD is dan afhankelijk van de grootte van hoek B.
5p 12. Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van vierhoek ABCD met hoek B = π/3  groter is dan met hoek B = π/2
In de figuur hiernaast is opnieuw een bovenaanzicht getekend.
De grootte van hoek B noemen we x.
Voor de oppervlakte O van vierhoek ABCD geldt dan:  O = (sin(x))2 + sin(x)·cos(x)
4p

13.

 Toon de juistheid van deze formule aan

 
Men besluit de zandbak zo te maken dat de oppervlakte meer dan 1,15 m2 is.
4p 14. Bereken voor welke waarden van x dat zo is. Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

 
4p 15. Schrijf het functievoorschrift op van de afgeleide functie O'(x)

 
Koord
Een koord wordt opgehangen aan twee punten D en E op onderling gelijke hoogte. Het laagste punt van het koord is punt F.
In de figuur hiernaast is deze situatie in een assenstelsel weergegeven.
Er geldt dat  xD = -2  en  xE = 2

De bij het koord horende formule is: y = 0,5 · (ex + e-x)

 

 
Het opgehangen koord lijkt op een parabool, maar schijn bedriegt. De parabool die door de punten D, E en F gaat heeft namelijk alleen deze drie punten gemeenschappelijk met de grafiek van het koord.
In de onderste grafiek zijn zowel de parabool als het koord getekend.

Een vergelijking van de parabool die door de punten D,E en F gaat is van de vorm:

y = px2 + 1

Met behulp van de formule voor het koord is aan te tonen dat p ≈ 0,691
4p 16. Toon dat aan.

 
In de vragen 17 en 18 nemen we p = 0,691.

Een verticale lijn snijdt de beide grafieken van de onderste figuur in de punten P en Q, rechts van de y-as.
4p 17. Bereken de maximale lengte van lijnstuk PQ. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig

 
In de onderste figuur is niet goed te zien of de hellingscoëfficiënten van de beide grafieken in het punt E gelijk zijn of juist verschillend zijn.
6p 18. Onderzoek met behulp van differentiëren of de hellingscoëfficiënten in het punt E even groot zijn.

 

 

 

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Haakjes wegwerken  geeft  f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
De afgeleide is dus  3x2 - 4x - 1

Het kan ook met de productregel:
f '(x) = 2x • (x- 2) + (x2 - 1) • 1 =  2x2 - 4x + x2 - 1 =  3x2 - 4x - 1
2. De helling bij x = -3 vinden we door f '(-3) = 3•(-3)2 - 4 • (-3) - 1 = 38
De raaklijn heeft dus de vorm  y = 38x + b
Punt (-3,-40) invullen geeft  -40 = 38 • -3 + b  dus  b = 74  en de vergelijking wordt  y = 38x + 74 
3. Het moet de lijn zijn die precies door het maximum van de grafiek gaat.
Voer de formule in in de GR en zoek het maximum met CALC - MAXIMUM.
Dat geeft  x= - 0,2152... en  y = 2,1126....
Teken de lijn Y2 = 2,1126..... en snijd die met de grafiek van f  met INTERSECT.
Dat geeft x = 2,4305...
De afstand tussen de punten is dan  2,4305... - - 0,2152... = 2,6457...  dus  BC = 2,65
   
4. Toename van 1% is vermenigvuldigen met factor 1,01.
Toename van 15 meter is dus 15 keer vermenigvuldigen met factor 1,01
dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met 1,0115.
1,0115 = 1,1609...  en vermenigvuldigen met 1,1609... is een toename van ongeveer 16%
5. de lijn y = 0 van x = 0 tot x = 4

de lijn  y = 0,195x3 van x = 4 tot x= 15

 0,195 • 153 = 658,125

de lijn  y = 658,125 van x = 15 tot x = 25

de lijn y = 0  van x = 25 tot x = 30.
6. 750 = 0,0001 • V3 • 472  dus  V3 = 750 / (0,0001 • 472) = 3395,201....  dus V = (3395,201...)1/3 = 15,0298...
Dus de gezochte windsnelheid is  15 m/s 
(de vergelijking hierboven kan uiteraard ook opgelost worden door beide zijden van het  =teken in te voeren in de GR en de knop INTERSECT te gebruiken)
7.
Neem WINDOW  Xmin = 40 en Xmax = 80  en bijv. Ymin = 0  en Ymax = 20. Dat geeft de grafiek hieronder (met V op de y-as en D op de x-as)
   
8. Noem M het midden van CK. Dan geldt voor ∠MDK:  sin MDK = 5/16  dus  ∠MDK = 18,2099...º.
Dan is ∠CDK = 2 • 18,2099...º = 36,4199...º
De kaaspunten kunnen dus hoogstens een hoek van 36,41º in het midden hebben anders passen ze niet in de dozen.
Bij een hoek van 36,41º zijn er  360/36,41 = 9,88... dozen nodig, ofwel  10 dozen.
9. Driehoek DCK is gelijkvormig met het driehoekige bovenvlak van het oorspronkelijke prisma.
De factor is  13/16,  dus  CK = (13/16)•10 = 8,125
10. Het oorspronkelijke bovenvlak is een driehoek met hoogte (Pythagoras)  √(162 - 52) = √231
De oppervlakte was dus  0,5 • 10 • √231 = 5√231
CKD is een verkleining met factor 13/16, en dat geeft voor de oppervlakte een factor (13/16)2 = 0,66015...
De oppervlakte van CKD is dus  0,66015... •  5√231 = 50,1675...

DKHGLE is een rechthoek waar twee driehoekjes af zijn gegaan.
De oppervlakte van de rechthoek was 16 • 14 = 224.
De oppervlakte van een driehoekje is 0,5 • 3 • 3 = 4,5
De oppervlakte van DKHGLE is dus  224 - 2 • 4,5 = 215.

De totale oppervlakte wordt daarmee  2 • 50,1675... +  2 • 215 + 2 • 37,5 = 605,33... cm2, dus dat is 605 cm2  
11.
C en E zijn zo getekend dat  BC = AE = 3 (dus op schaal 1,5 cm)
Vanuit C en E zijn lijnen recht omhoog getrokken totdat een hulplijn (gestippeld) vanuit L,K van het andere aanzicht gesneden wordt.
Hetzelfde is gedaan vanuit B en A totdat de hulplijn vanuit G,H gesneden wordt.
     
12. sin (π/3) = PC/BC = PC/1 = PC  dus  PC = 0,5 • √3
cos(π/3) = PB/BC = PB/1 = PB dus  PB = 0,5
Voor QC en QD geldt hetzelfde (de figuur is symmetrisch)
Oppervlakte ABCD = vierkant + 2 • driehoek = (0,5 • √3)2 + 2 • 0,5 • 0,5 • 0,5√3
Dat geeft ABCD heeft oppervlakte  1,183...

Bij een hoek van π/2 heeft ABCD een oppervlakte van 1, dus de figuur met π/3 heeft een grotere oppervlakte
13. Op dezelfde manier als hierboven:
sin x = PC/1 = PC = QC
cos x = PB/1 = PB = QD

ABCD = vierkant + 2 • driehoek = (sin x)2 + 2 • 0,5 • sin x • cos x = (sin x)2 + sin x • cos x
14. Voer de formule voor O(x) in de grafische rekenmachine bij Y1 en neem Y2 = 1,15
INTERSECT geeft  x =  0,9757...  of  x = 1,3804....
Daar tussenin is de oppervlakte groter dan 1,15.  Dus voor  0,98 < x < 1,38
15. Met de kettingregel voor het eerste deel en de productregel voor het tweede deel:
O'(x) = 2 • (sin x) • cos x + cos x • cos x + sin x • (-sin x )
   
16. Neem bijv.  x = 2 (het rechter ophangpunt), dan geldt voor het koord  y = 0,5 • (e2 + e-2) = 3,76219...
De parabool moet ook door dit punt gaan.
Invullen geeft  3,76219... = p • 22 + 1 = 4p + 1  ⇒  4p = 2,76219.... ⇒  p = 0,69054....  ofwel  p = 0,691
17. De lengte van het lijnstuk PQ wordt gegeven door het verschil van de y -coördinaten:
L = 0,691x2 + 1 - 0,5 • (ex + e-x)
Voer deze functie L in in de GR, en bereken met CALC - MAXIMUM de maximumlengte.
neem bijv.WINDOW  Xmin = 0,  Xmax = 2,  Ymin = 0, Ymax = 0,3
Dat geeft  x = 1,438  en  y = 0,204
De maximale lengte van PQ is dus 0,204.
18. De helling van de parabool is  y' = 2 • 0,691 • x   dus  y'(2) = 2,764

De helling van de koordfunctie is  y' = 0,5 • (ex + e-x • -1)  dus  y'(2) = 3,627

De hellingen zijn dus NIET even groot.