HAVO WB12,  2000 - I
Bioritme

Op een pagina op Internet staat te lezen dat ons leven beheerst wordt door een drietal toestanden, namelijk door onze fysieke, onze emotionele en onze intellectuele toestand. Op de ene dag voel je je fysiek (lichamelijk) beter dan op een andere dag. Deze 'fysieke' toestand kunnen we weergeven op een schaal van -50 (fysiek op dieptepunt) tot +50 (fysiek opperbest). Deze fysieke toestand varieert in de tijd volgens een sinusoïde.
Ook de emotionele toestand en de intellectuele toestand variëren op een schaal van -50 tot +50 volgens een sinusoïde. Zie figuur 1.
Bij de geboorte van een mens zou elke cyclus zich in dezelfde begintoestand bevinden, zoals is weergegeven in figuur 1.
Tezamen bepalen de drie cycli het zogenaamde bioritme van de mens. Sommigen beweren dat het bioritme volledig vastlegt tot welke prestaties een mens op een bepaald moment in staat is. Zo zou je bijvoorbeeld kunnen uitrekenen op welke dag je het best kunt solliciteren. Voor de fysieke cyclus is de periode 23 dagen, voor de emotionele cyclus 28 dagen en voor de intellectuele cyclus is de periode 33 dagen.
Het bioritme in figuur 1 betreft een pasgeboren baby. E is de emotionele toestand van de baby, t dagen na de geboorte. Hierbij hoort de formule van de vorm  E = a sin bt
3p 1. Geef de waarden van a en b.

 
Zodra de emotionele toestand benden -25 komt zou het moeilijker worden om de emoties onder controle te houden.
5p 2. Hoeveel procent van een periode heeft de emotionele toestand een waarde die kleiner is dan -25? Licht je antwoord toe.

 
F is de fysieke toestand van de baby.
5p 3. Onderzoek of F op de eerste verjaardag een dalend of een stijgend verloop heeft.

 
Annelies is op 1 januari 1983 geboren. Op 1 januari 2001 wordt ze dus 18 jaar.Vanaf die dag mag ze rijexamen doen. Ze wil dat doen op een dag waarop zowel haar fysieke als haar intellectuele toestand positief is.
(de jaren 1984, 1988, 1996 en 2000 hebben een dag extra, dus 366 dagen)
7p 4. Onderzoek welke de eerste drie dagen van januari 2001 zijn die voor het rijexamen in aanmerking komen.

 
Trailer-tafel
De tafel waarvan hieronder links het bovenaanzicht staat getekend bestaat uit een rechthoekig blok en een glazen plaat in de vorm van een kwart cirkel. De glazen plaat is gemonteerd op een buizenconstructie met drie poten bij A, B en C.
De poot bij A is bevestigd in het blok. Om deze poot kan de glasplaat draaien. De poten bij B en C staan met wieltjes op de grond. De afmetingen staan in de rechterfiguur hieronder (in cm)
4p 5. Bereken hoe lang AB en AC minimaal moeten zijn om draaien van de glasplaat over 360º mogelijk te maken. Rond je antwoord naar boven af op een geheel aantal centimeters

 
In een kamer wordt de tafel met een zijvlak van het blok tegen een muur gezet. In de figuur hieronder is een bovenaanzicht van het blok met punt A en de muur weergegeven, met schaal 1 : 15.
Er zijn twee punten P en Q waar de glasplaat tegen de muur kan komen.
6p 6. Teken P en Q in de figuur hierboven. Licht je antwoord toe.

 
6p 7. Bereken de afstand tussen de punten P en Q waar de glasplaat tegen de muur kan komen. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

 
Fruitvliegjes
Bij een experiment met fruitvliegjes in een afgesloten ruimte heeft men vastgesteld dat het aantal fruitvliegjes per m3 bij benadering beschreven kan worden met de volgende formule:
Hierin is t de tijd in dagen vanaf de start van het experiment, en F het aantal fruitvliegjes per m3 op tijdstip t.
3p 8. Na hoeveel dagen vanaf het begin van het experiment zijn er voor het eerst meer dan 2500 fruitvliegjes per m3? Licht je antwoord toe.

Het aantal fruitvliegjes per m3 neemt toe tot een bepaalde grenswaarde.
3p 9. Hoe groot is deze grenswaarde? Licht je antwoord toe.

Het aantal fruitvliegjes neemt eerst steeds sneller en later steeds langzamer toe.
5p 10. Op hoeveel dagen neemt het aantal fruitvliegjes per dag met meer dan 75 per m3 toe? Licht je antwoord toe.

Als bij het experiment de tijd t niet gemeten wordt in dagen maar in uren, geldt voor het aantal fruitvliegjes per m3 een andere formule.
De tijd in uren vanaf het begin van het experiment is T.
3p 11. Stel een formule op voor het aantal fruitvliegjes F op tijdstip T.

Voor kleine waarden van t kan het aantal fruitvliegjes per m3 gegeven door de formule hierboven benaderd worden door:


Deze laatste formule kan ook geschreven worden in de vorm  F = b • gt
5p 12. Bereken b en g. Rond b af op een geheel getal en geef g in twee decimalen nauwkeurig.

Lichaam
In de kubus ABCD.EFGH met ribbe 6 cm past een lichaam L met hoekpunten ABCDPQGH
P is het snijpunt van AF en BE, Q is het snijpunt van EG en FH. Zie de figuur links hieronder.
In de figuur rechts is L apart getekend.
7p 13. Teken een uitslag van L met schaal  1 : 2
5p 14. Bereken de inhoud van L

Wortelfuncties
Gegeven is de functie:  f(x) = 1 + √(10x - x2)
de grafiek staat hiernaast en heeft eindpunten A en B.
5p 15. Los op  f(x) ≥ x.  Rond niet-gehele grenswaarden af op één decimaal.
6p 16. Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van f in het punt P(2,5)

Voor elke waarde van a, met a > 0 is gegeven de functie  
h(x) = 1 + √(ax - x2).
Als a = 10 ontstaat functie f.

Het domein van h hangt af van a.
5p 17. Onderzoek voor welke waarde van a het domein van h het interval [0,100] is.

Als je voor enkele waarden van a de grafiek van h tekent, dan blijkt dat de toppen van deze grafieken op een rechte lijn liggen.
5p 18. Geef een vergelijking van deze lijn. Licht je antwoord toe.

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. a is de amplitude en die is a = 50.
de periode is 28 dagen dus  b = 2p/28
2. 1e opl. Voer in de rekenmachine in  Y1 = 50 • sin(2πt/28) en Y2 = -25
INTERSECT  levert  t ≈ 16,3  en  t ≈ 25,7
Daartussen liggen 9,4 dagen per periode van 28. Dat is ongeveer 33%.
2e opl. Algebraïsch:
50 • sin(2πt/28) = -25  ⇒ sin(2πt/28) = -0,5 ⇒ 2πt/28 = 7π/6  of  2πt/28 = 11π/6
⇒ t = 196/12  of  t = 308/12  en verder gaat het zoals in de 1e oplossing.
3. 1e opl. F heeft amplitude 50 en periode 23 dagen.
Dat geeft de formule  F(t) = 50 • sin(2πt/23)
De eerste verjaardag duurt van  t = 365 tot t = 366  of van t = 366 tot t = 367 (in een schrikkeljaar)
Een plot van F(t) tussen bijvoorbeeld t = 360 en t = 370 laat zien dat F daar stijgt.
2e opl. De functie F is F(t) = 50 • sin(2πt/23)  (zie eerste oplossing)
De afgeleide daarvan is  F ' (t) = 50 • (2π/23) • cos (2πt/23)
Een plot van F ' laat zien dat die positief is tussen t = 365 en t = 367
4. I heeft amplitude 50 en periode 33 dagen.
Dat geeft de formule  I(t) = 50 • sin(2πt/33)
Het aantal verstreken dagen tot 1 januari 2001 is  18 • 365 + 5 = 6575
Een plot van F en I tussen t = 6575 en t = 6585 laat zien dat t = 6578, 6579 en 6580 de gezochte dagen zijn.
Dat zijn dus  4, 5 en 6 januari.
(Als Annelies 's avonds is geboren kun je uitkomen op  5, 6 en 7 januari)
5. De afstanden PQ en RQ moeten minstens gelijk zijn aan de grootste afstand van Q tot de hoekpunten van het blok. Dat is lengte CM.
MC = √(402 + 402) ≈ 56,6 cm
PQ en RQ moeten minstens 57 cm zijn.
6. E ligt op dezelfde afstand (20 cm) tot de randen van het blok als Q, dus E is makkelijk te tekenen.
Teken EF en EG (100 cm)
EF en EG draaien om punt Q, dus teken een cirkel met middelpunt Q en straal QF (of QG)
Deze cirkel snijden met de muur geeft A en B.
7. QF2 = √(802 + 202) = √6800 = QA
Noem de loodrechte projectie van Q op de muur  Q'
In ΔAQQ' geldt dan  Q'A = √(6800 - 402) = √5200
Dus AB = 2 • √5200 ≈ 144,22  dus  AB = 144 cm.
8. 1e opl. Voer de F-formule in bij Y1 in de Grafische rekenmachine.
Gebruik INTERSECT (of TABLE) om te vinden dat er na 31,9 dagen voor het eerst meer dan 2500 vliegjes zijn.
2e opl. Algebraïsch:
F = 2500  ⇒ 3500 = 2500 • (1 + 34 • 0,87t) ⇒ 3500 = 2500 + 85000 • 0,87t
⇒ 1000 = 85000 • 0,87t ⇒ 0,87t = 0,01176...  ⇒  t = log(0,01176...)/log(0,87) = 31,9 dagen.
9. Door voor t een heel groot getal in te vullen (of in de tabel te kijken bij grote t) is te zien dat de grenswaarde gelijk is aan 3500.
Het is ook aan de formule te zien:  34 • 0,87t  zal voor grote t nul worden, dus blijft 3500 over.
10. Een tabel op de rekenmachine brengt uitkomst.
Zet bij  Y1 de F-formule, en bij Y2 de formule  Y2 = Y1(X) - Y1(X - 1)  dan staat bij Y2 de toename vanaf de vorige dag. (Y1 vind je onder de knop VARS)
In de tabel zie je dat van dag 16 tot en met dag 36 de toename meer dan 75 is, dus dat is 21 dagen.
11. Vervang t door  T/24. Immers als je dan voor T = 24 invult (1 dag) komt dat inderdaad overeen met  t = 1
12.
Dus moet b = 103  en  g = 1,15.
13. Teken vierkanten ABCD en DCGH
DH en CG zijn even lang als de zijde van het vierkant.
Driehoek FAH is te maken door cirkels met straal AH en middelpunten H en A met elkaar te snijden. (gelijkzijdige driehoek).
Op dezelfde manier BEG.
Q en P zijn de middens van FH,FA,BE,GE
Tot slot zijn de driehoeken GHQ en ABP te maken door de lengte PQ te omcirkelen vanaf H,G,A en B.
14. R is het midden van EF.
Dan kun je het lichaam L krijgen door van een kubus twee afgeknotte piramiden weg te halen. Eentje daarvan is hiernaast rood getekend: PRQ.BFG.
De andere is  PRQ.AEH.

Inhoud PRQ.BFG = PRQ.AEH - E.BFG
= (1/3)•(1/2)•6•6•6 - (1/3)•(1/2)•3•3•3 = 31,5

De inhoud van L is dus  6•6•6 - 2•31,5 = 153
15. 1e opl. In de grafische rekenmachine:  Y1 = f(x) en  Y2 = x
INTERSECT geeft x = 5,9.
Uit de grafiek lees je af dat f(x) ³ x  als  0 £ x £ 5,9
2e opl. Algebraïsch:
1 + √(10x - x2) = x  ⇒ √(10x - x2) = x - 1  ⇒  10x - x2 = (x- 1)2 = x2 - 2x + 1
⇒  2x2 - 12x+ 1 = 0   en de ABC formule geeft  x = 5,91  of  x =  0,08
Na controle valt de laatste oplossing af.
Uit de grafiek lees je af dat f(x) ≥ x  als  0 ≤ x ≤ 5,9
16.

f ' (2) = 0,75 en dat is de gevraagde helling.
17. Voor de randpunten geldt  ax - x2 = 0  ⇒   x • (a - x) = 0  ⇒   x = 0  of  x = a
In dit geval zijn de randwaarden x = 0  en x = 100, dus moet wel gelden a = 100
18. Zoek twee toppen op met de functie CALC, MAXIMUM van de grafische rekenmachine.
Bijvoorbeeld  a = 10  geeft  (5,6)  en  a = 100 geeft  (50,51)
De rechte lijn door die twee punten heeft hellinggetal  Δy/Δx = (51 - 6)/(50 - 5) = 1
De vergelijking wordt dus  y = 1 • x + b
Punt (5,6) invullen levert  b = 1
Daarmee is de gevraagde vergelijking  y = x + 1