HAVO WA, 2019 - I

 

Stil Asfalt  
     

Wie naast een snelweg woont, heeft bijna altijd te maken met overlast door de geluidsintensiteit van het verkeer. De laatste jaren probeert men deze overlast te beperken, onder andere door het aanleggen van zogenaamd stil asfalt.

Met de volgende formule kan de geluidsintensiteit I worden berekend als bekend is hoeveel decibel (dB) geluid er wordt geproduceerd.

I = 100,1d - 9
       

Hierin is d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB en is I de geluidsintensiteit in milliwatt per m2.

Een weggedeelte wordt opnieuw geasfalteerd, waarbij het oude asfalt wordt vervangen door stil asfalt. De hoeveelheid geproduceerd geluid daalt daardoor van 80 dB naar 74 dB.
       

4p.

1.

Bereken met hoeveel procent de geluidsintensiteit afneemt. Geef je antwoord in hele procenten.
     

 

Uit metingen blijkt dat de hoeveelheid geproduceerd geluid op stil asfalt door de jaren heen stijgt. Dit komt onder andere door slijtage van het asfalt. In de figuur zijn de resultaten van een aantal metingen weergegeven.
       

       

De meetgegevens liggen op en rond de lijn die door de punten (0; 73,7) en (84; 77,0) gaat. De formule van deze lijn is d = a • t + 73,7 . Hierin is d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB, t de tijd in maanden na het aanleggen van stil asfalt en a een constant getal.

Afgerond op twee decimalen geldt a = 0,04 . De waarde van a kan nauwkeuriger berekend worden.
       

2p.

2.

Bereken a met behulp van de gegeven punten. Geef je antwoord in drie decimalen.
     

 

Je kunt de formule van d invullen in de formule van I. Dan ontstaat een nieuwe formule waarin de geluidsintensiteit I uitgedrukt is in het aantal maanden t na het aanleggen van stil asfalt. Deze formule luidt:
       
I = 100,1(0,04t + 73,7) - 9
       

Stil asfalt moet volgens planning worden vervangen als de geluidsintensiteit I volgens de formule groter wordt dan 0,058 milliwatt per m2.
       

3p.

3.

Bereken met behulp van de laatste formule hoeveel hele maanden stil asfalt volgens planning meegaat.
     

 
       
Homeopatische middelen.
       

Homeopathische middelen worden gemaakt uit grondstoffen die worden gehaald uit planten, dieren of mineralen.
Uit deze grondstoffen wordt allereerst een basisstof gemaakt, de zogenoemde oertinctuur.
Oertinctuur is echter nog niet geschikt voor gebruik. Daarvoor moet deze een aantal keren verdund worden. Na deze verdunningen ontstaat dan een homeopathisch middel dat gereed is voor gebruik.

Voor het verdunnen worden verschillende verdunningsreeksen gebruikt.
Zie de tabel.
       
D - reeks verdunningen van 1 : 10
C - reeks verdunningen van 1 : 100
LM-reeks verdunningen van 1 :  ....
       

Om aan te geven welke verdunningen een oertinctuur ondergaan heeft, voegt men aan de Latijnse naam van het homeopathische middel een letter en een getal toe. Zo bestaat bijvoorbeeld het middel Arnica D3.
De toevoeging D3 geeft aan dat de oertinctuur Arnica driemaal een verdunning van 1 : 10 heeft ondergaan. Het homeopathisch middel
Arnica D3 bestaat dus voor 1/1000e deel uit de oertinctuur Arnica.
       

3p.

4.

Bereken welk deel van het homeopathisch middel Sulphur C6 uit de oertinctuur Sulphur bestaat.
     

 

Naast de D-reeks zijn er ook de C-reeks en de LM-reeks.
In de C-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99% minder wordt.

In de LM-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99,998% minder wordt.
       

3p.

5.

 Bereken welk getal er in de tabel op de puntjes moet komen te staan.
     

 

In de D-reeks wordt het percentage oertinctuur in een homeopathisch middel bij elke verdunning tien keer zo klein. Er geldt dus:

       

Hierin is P het percentage oertinctuur in een homeopathisch middel in de D-reeks en n het aantal verdunningen dat de oertinctuur ondergaan heeft.

Je kunt de formule van P herleiden tot de volgende formule:    P = 102 - n
       

3p.

6.

 Geef deze herleiding.

   

 

Iemand beweert dat de verdunning van de hoeveelheid oertinctuur in Arnica montana D12 gelijk is aan de verhouding van het volume van één waterdruppel tot het volume van 20 olympische zwembaden.

Een waterdruppel bevat ongeveer 0,05 milliliter en een olympisch zwembad heeft een inhoud van ongeveer 2,5 miljoen liter water.
     

4p.

7.

 Laat zien dat de bewering klopt.
   

  

  

 

Examenanalyse.
       

Ieder jaar worden de resultaten van de examens door Cito geanalyseerd.
In deze opgave bekijken we de resultaten van twee examens havo 2014 eerste tijdvak, namelijk het examen filosofie en het examen Engels.
Het examen filosofie werd door ongeveer 1500 kandidaten gemaakt. Cito heeft de resultaten van 950 kandidaten binnengekregen en geanalyseerd. De resultaten van de analysegroep staan in de figuur en in de tabel hieronder.
       
       

Filosofie
aantal scorepunten cijfer

cumulatieve
frequentie
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44		 1,0
1,4
1,8
2,2
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,1
4,3
4,5
4,7
4,9
5,1
5,3
5,5
5,7
5,9
6,1
6,3
6,5
6,7
6,9
7,1
7,3
7,5
7,7
7,9
8,1
8,3
8,6
8,8
9,0
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0		 0
2
3
4
6
9
11
13
24
33
50
64
78
104
134
153
186
217
261
307
365
414
462
520
569
619
664
707
749
795
839
860
880
901
918
930
942
944
949
949
950
950
950
950
950
 

Engels
aantal scorepunten cijfer cumulatieve
frequentie
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47		 1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,3
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,7
5,9
6,1
6,3
6,5
6,7
6,9
7,1
7,3
7,5
7,7
7,9
8,1
8,5
8,9
9,2
9,6
10,0		 0
0
0
0
1
1
1
1
2
7
8
9
18
33
55
100
154
216
305
430
630
845
1162
1527
2057
2698
3431
4401
5530
6898
8456
10237
12271
14585
17118
20041
23119
26293
29606
32967
36267
39184
41724
43646
44904
45571
45780
45813
       

Voor het examen filosofie konden maximaal 44 scorepunten behaald worden. Zowel in de figuur als in de tabel  kun je zien dat de twee zwakste kandidaten in de analysegroep slechts 1 scorepunt behaalden en dat de beste kandidaat 40 scorepunten behaalde.

Het examen filosofie had een gemiddelde score van 22,5 met een standaardafwijking van 6,9. We bekijken de zwakste kandidaten in de analysegroep, met een score die meer dan tweemaal de standaardafwijking lager ligt dan het gemiddelde.

Als de scores normaal verdeeld zouden zijn, zou je met behulp van een vuistregel van de normale verdeling kunnen berekenen hoeveel kandidaten met zo’n score er in de analysegroep waren. De scores zijn echter niet normaal verdeeld. Het aantal kandidaten met zo’n lage score in de analysegroep blijkt toch ongeveer gelijk te zijn aan het aantal dat je op grond van de normale verdeling zou verwachten.
       

4p.

8.

 Toon dit aan.  
     

 

Van het examen Engels, dat door ruim 56000 kandidaten is gemaakt, zijn de resultaten van 45813 kandidaten geanalyseerd. Deze resultaten staan in onderstaande figuur en ook in de tabel. Voor dit examen konden maximaal 47 scorepunten behaald worden. De gemiddelde score was 35,6 en de standaardafwijking 5,7.
       

       

Door gebruik te maken van deze figuur en de tabel voor Engels op de kun je berekenen hoe groot het verschil is tussen de modus en de mediaan van het aantal scorepunten voor het examen Engels.
       

4p.

9.

 Bereken dit verschil. Licht je werkwijze toe.
     

 

Voor het examen filosofie behaalde 22,8% van de kandidaten in de analysegroep een onvoldoende (een cijfer lager dan 5,5).
       

3p.

10.

Laat zien dat het percentage onvoldoendes voor het examen Engels iets meer dan de helft daarvan was.
     

 

3p.

11.

Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage kandidaten met een onvoldoende voor filosofie. Geef de grenzen in één decimaal.
     

 

Een Cito-medewerker wil de samenhang tussen de scores van de examens filosofie en Engels onderzoeken. Zij vraagt zich af of een hoge score voor filosofie ook een hoge score voor Engels betekent.
       

3p.

12.

Welke grafische weergave is daarvoor het meest geschikt en welke extra informatie is nodig om die grafische weergave te kunnen maken?
       
File voorkomen.
       

Veel verkeersongevallen worden veroorzaakt door auto’s die te dicht op elkaar rijden. Om ongevallen te voorkomen moeten automobilisten een minimale afstand tot hun voorganger houden. Men noemt dit de veilige afstand. Zie de figuur.
       

       

De veilige afstand tussen een auto en zijn voorganger hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Als beide auto’s even snel rijden, geldt:

       

Hierin is v de snelheid van beide auto’s in km per uur en A de veilige afstand in meters.

Twee auto’s rijden achter elkaar met een snelheid van 93 km per uur. De afstand tussen de twee auto’s is 50 meter.
       

3p.

13.

Onderzoek of de achterste automobilist minimaal de veilige afstand tot zijn voorganger aanhoudt.
       
De veilige afstand wordt groter als de snelheid toeneemt.
       

3p.

14.

Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat de formule hiermee in overeenstemming is.
     

 

Je kunt de formule van A herleiden tot een vorm zonder haakjes. Met behulp van de informatie in de figuur kun je vervolgens een formule opstellen van de hoeveelheid wegdek W in meters die een automobilist nodig heeft als hij de veilige afstand aanhoudt. We gaan ervan uit dat de lengte van een auto 4,50 meter is.

De formule van W is te schrijven in de vorm W = ... • v2 +... • v +  ...
       

3p.

15.

Stel de formule van W op en herleid de formule tot de bovenstaande vorm, waarbij op de puntjes getallen staan. Geef deze getallen in twee decimalen.
     

 

Wegbeheerder Rijkswaterstaat heeft voor een bepaald stuk snelweg een formule opgesteld voor het maximale aantal auto’s dat in een bepaalde tijd over dit stuk snelweg kan rijden, de zogenaamde capaciteit C. Deze formule luidt:
       

       

In deze formule is v de snelheid in km per uur en C de capaciteit in aantal auto’s per uur.

Het blijkt dat volgens de formule de grootste waarde van C op dit stuk snelweg bereikt wordt bij een vrij lage snelheid.
       

3p.

16.

Bereken bij welke snelheid hiervan sprake is. Geef je antwoord in hele km per uur.
     

 

Als er meer automobilisten van dit stuk snelweg gebruik willen maken dan volgens de capaciteit C mogelijk is, ontstaat er een file. Dit kan voorkomen worden als iedereen tijdig zijn snelheid aanpast.

Op matrixborden boven de snelweg geeft Rijkswaterstaat dan een maximumsnelheid aan (in hele km per uur). Dit is de hoogste snelheid die voorkomt dat een file ontstaat.

Op dit stuk snelweg moet in de avondspits de capaciteit minimaal 2500 auto’s per uur zijn om een file te voorkomen.
       

4p.

17.

Bereken welke maximumsnelheid Rijkswaterstaat in deze situatie op de matrixborden aangeeft.
     

 

Rijkswaterstaat heeft op dit stuk snelweg gedurende één maandagmorgen metingen verricht en bijgehouden hoeveel auto’s er passeerden. In de tabel zie je de resultaten gedurende één uur. Op dit stuk snelweg is een maximumsnelheid van 130 km per uur toegestaan.
       
tijdsinterval aantal
auto's		   tijdsinterval aantal
auto's		   tijdsinterval aantal
auto's
7.00 - 7.05 uur 73       7.20 - 7.25 uur 174       7.40 - 7.45 uur 235
7.05 - 7.10 uur 104   7.25 - 7.30 uur 198   7.45 - 7.50 uur 267
7.10 - 7.15 uur 142   7.30 - 7.35 uur 220   7.50 - 7.55 uur 282
7.15 - 7.20 uur 189   7.35 - 7.40 uur 224   7.55 - 8.00 uur 265
       

We nemen aan dat het aantal auto’s per tijdsinterval gelijkmatig over het tijdsinterval verdeeld is. Je kunt dan met behulp van de formule van C bij benadering vaststellen vanaf welk moment de automobilisten vanwege de capaciteit een lagere snelheid dan 130 km per uur moesten gaan aanhouden.
       

3p.

18.

Bereken binnen welk tijdsinterval de automobilisten voor het eerst een lagere snelheid moesten gaan aanhouden.
     

 
Pasteurisatie.
       

Sommige levensmiddelen kunnen langer houdbaar worden gemaakt door ze te verhitten. Door verhitting zullen de meeste bacteriën in deze levensmiddelen afsterven. Hoe langer er wordt verhit, hoe meer bacteriën er afsterven.

Bij een bepaald type worst is in onderstaande figuur het aantal levende bacteriën per gram worst uitgezet tegen de verhittingstijd in minuten. Daarbij is de verhittingstemperatuur 70 °C. In deze figuur is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling gebruikt.
       

       

In deze figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat er bij aanvang van de verhitting 300000000 levende bacteriën per gram worst aanwezig zijn. Na 6 minuten verhitting is dit aantal gedaald tot 300.
       

3p.

19.

Bepaal na hoeveel minuten verhitting 90% van de bacteriën is afgestorven. Je kunt hierbij de figuur gebruiken.
     

 

Vaak worden worsten veel langer dan een paar minuten verhit. Als een verhitting onder de 100 °C heeft plaatsgevonden, noemt men dit pasteurisatie. De onderzoeksorganisatie TNO heeft richtlijnen opgesteld voor het pasteurisatieproces. Hiermee kan een slager die zelf worst maakt, bepalen welke verhittingstemperatuur en verhittingstijd nodig zijn.

In de volgende figuur zie je de verhittingstemperaturen en verhittingstijden van worsten met diameters d van 40 tot en met 140 mm met tussenstappen van 20 mm.
       

       

In de figuur kun je aflezen dat een worst met een diameter van 100 mm bij een verhittingstemperatuur van 80 °C een verhittingstijd van 145 minuten nodig heeft.

Een veelgebruikte verhittingstemperatuur is 75 °C.
       

4p.

20.

Teken in het assenstelsel hieronder met behulp van de figuur een grafiek waarin de verhittingstijd is uitgezet tegen de diameter bij een verhittingstemperatuur van 75 °C.
     

 
   

       

In plaats van bovenstaande figuur 2 gebruiken sommige slagers ook wel formules om de verhittingstijd te berekenen. Bij een verhittingstemperatuur van 78 °C berekent men de verhittingstijd V dan met de formule:

V = 0,7d  + 0,0089d2

Hierin is V de verhittingstijd in minuten en d de diameter van de worst in mm.
       

3p.

21.

Bereken met de formule de verhittingstijd van een worst met een diameter van 4,5 cm bij een verhittingstemperatuur van 78 °C. Geef je antwoord in hele minuten.
       

Een slager maakt worsten met verschillende diameters en kiest bij het pasteuriseren altijd voor een verhittingstemperatuur van 78 °C. Hij wil het pasteurisatieproces niet langer dan 2,5 uur laten duren.
       

4p.

22.

Bereken met de formule welke diameter deze worsten maximaal mogen hebben. Geef je antwoord in hele mm.
     

  
Autodiefstal.
       

Elk jaar wordt een percentage van de auto’s in Nederland gestolen. Dit percentage is aan het begin van deze eeuw flink gedaald. In de figuur is voor de jaren 1995 tot en met 2013 zowel het percentage gestolen personenauto’s (kromme) als het aantal gestolen personenauto’s (staafdiagram) weergegeven.
       

       

In de figuur is te zien dat in de laatste weergegeven jaren het percentage gestolen personenauto’s ongeveer gelijk aan 0,15% bleef.
Ook als dit de volgende jaren zo zou blijven, dan nog neemt het aantal gestolen personenauto’s toe, omdat het aantal personenauto’s in Nederland toeneemt. In de tabel is voor een aantal jaren het aantal personenauto’s in Nederland weergegeven.
       
jaar 2001 2004 2007 2010 2013
aantal personenauto's
in Nederland (in
miljoenen)		 6,55 6,90 7,24 7,59 7,93
       

Uit de tabel is af te leiden dat het aantal personenauto’s bij benadering lineair toeneemt. Neem aan dat de komende jaren het percentage gestolen personenauto’s blijft zoals in 2013 en dat het aantal personenauto’s lineair blijft toenemen zoals in de tabel.
       

6p.

23.

Bereken in welk jaar er voor het eerst weer meer personenauto’s gestolen zullen worden dan in 2005.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. d = 80  geeft  I =100,1• 80  - 9 = 0,1
d = 74 geeft  I = 100,1 • 74 - 9 = 0,025...
 
0,1 0,025
100% ?

? = 0,025 • 100/0,1 = 25%  dus dat is een afname van 75%
   
2. a =  (verschil van y)/(verschil van x) =  (77,0 - 73,7)/(84 - 0) = 0,039
   
3. 100,1(0,04t + 73,7) - 9 = 0,058
Y1 = 10^(0.1*(0.04X + 73.7) - 9)
Y2 = 0.058
intersect geeft  X = t = 98,356....  dus dat is 98 maanden
   
4. Bij C wordt elke keer met 0,01 vermenigvuldigd.
Dat gebeurt 6 keer, dus er wordt met 0,016  vermenigvuldigd, en dat is 0,000000000001  (10-12)
Dat is dus het  1/1000000000000 = 1/1012  deel
   
5. als de hoeveelheid 99,998% afneemt dan blijft er dus  0,002% over
Dan is er vermenigvuldigd met 0,00002
Dat is 2/100000  dus de verhouding is  2 : 100000  en dat is 1 : 50000
   
6. 1/10 = 10-1 
dus er staat  100 • (10-1)n 
dat is  100 • 10-n  =  102 • 10-n = 102 - n
   
7. D12 geeft verhouding 1 :  1012

2,5 miljoen liter is  2,5 • 106  liter  = 2,5 • 106 • 1000 milliliter = 2,5 • 109  milliliter
20 zwembaden is  20 • 2,5 • 109 = 5 • 1010
de verhouding is 0,05 : 5 • 1010
vermenigvuldig met 20 geeft verhouding  1 : 20 • 5 • 1010  =  1 : 100 • 1010  =  1 : 1012   
   
8. tweemaal de standaardafwijking onder het gemiddelde is 22,5 - 2 • 6,9 = 8,7
daaronder zitten nog  24 scores (aflezen in de tabel bij 8).
Dat is  24/950 • 100% = 2,53%
Bij de normale verdeling zou je 2,5% verwachten dus dat klopt aardig.
   
9. de modus haal je uit de figuur: het is de meest voorkomende score, dus de hoogste staaf, en die zit bij 39.

de mediaan halen we uit de tabel:  er zijn 45813  metingen dus de mediaan is nummer (45813 + 1)/2 = 22907
Dat is  36.

het verschil is 3 scorepunten.
   
10. lager dan 5,4 waren 5530 kandidaten.
dat is  5530/45813 • 100% = 12,07%
dat is inderdaad iets meer dan de helft van 22,8%
   
11. Een onvoldoende voor filosofie, dat zijn er 217 van de 950 dus  p = 217/950 
Aantal is n = 950
Gebruik de formulekaart:  
 
  Het betrouwbaarheidsinterval is dan   [20.1 ; 25.6]
   
12. Je wilt twee gegevens met elkaar vergelijken.
Dan zet je de ene op de x-as uit, en de andere op de y-as.
Dat geeft een  "Puntenwolk"  of  "Spreidingsdiagram"
Je  hebt daarvoor de gegevens nodig van de kandidaten die beide examens hebben gedaan, want van elke kandidaat moet je een cijfer voor Engels en een cijfer voor Filosofie hebben.
   
13. v = 93 geeft  A = 93 • (93/188 + 0,14) = 93 • 0,6346... = 59,02...meter.
De achterste auto houdt dus NIET minimaal de veilige afstand tot zijn voorganger.
   
14. Als v groter wordt, dan wordt v/188 ook  groter.
Dan wordt (v/188 + 0,14) ook groter
Dan wordt  v • (v/188 + 0,14) ook groter
Dus wordt A groter.
   
15. In de figuur zie je dat W = A + 4,50
W = v • (v/188 + 0,14) + 4,50
W = v • (1/188 • v + 0,14) + 4,50
W = v • (0,0053v + 0,14) + 4,50
W = v• 0,0053v + v • 0,14 + 4,50
W = 0,0053v2 + 0,14v + 4,50
Het goede aantal decimalen:  W = 0,01v2 + 0,14v + 4,50
   
16. C moet maximaal zijn.
Y1 = 1000*X/(4,5 + 0,09*X + 0,0035*X^2)
calc - maximum geeft  X = 35.8568...  dus bij 36 km/uur
   
17. Y1 = 1000*X/(4,5 + 0,09*X + 0,0035*X^2)
Y2 = 2500
intersect  70,276... en  18,295...
De maximumsnelheid is dus 70 km/uur.
   
18. v = 130 geeft  C = 1725,282...   (calc - value: de formule staat al bij Y1)
Dat is per 5 minuten  1725,262.../12 = 143,77...  auto's
Het is voor het eerst meer dan 143 in het tijdsinterval 7:15 - 7:20
   
19. Als 90% is afgestorven is nog 10% over
Dat is als er (vanaf het begin) nog 30000000 over is en dat is 107,4 

Aflezen uit de figuur geeft ongeveer na 1 minuut
   
20. Gebruik de volgende zes punten van de grafiek (bij T = 75)
  Zet die punten in de nieuwe grafiek uit,
Dat geeft de figuur hiernaast.

Je mag de punten met elkaar verbinden, maar het hoeft niet)
   
21. d = 45 geeft  V = 0,7 • 45 + 0,0089• 452 = 49,5225
Dat is dus  50 minuten.
   
22. 2,5 uur is  150 minuten
150 = 0,7d  + 0,0089d2 
Y1 = 150
Y2 = 0,7X + 0,0089X^2
Intersect geeft  d =  96 mm
   
23. In 2005 was het aantal gestolen auto's 13750  (aflezen uit het histogram)

Het aantal auto's nam in 12 jaar toe van 6,55 naar 7,93 miljoen
Dat is een toename van 7,93 - 6,55 =   1,38 miljoen in 12 jaar
Per jaar is dat 1,38/12 = 0,115 miljoen.
Het aantal auto's neemt per jaar met 115000 toe, dus het aantal gestolen auto's neemt toe met 0,15% daarvan.
Dat is 0,0015 • 115000 = 172,5 auto's.
Het moet toenemen van 12000 (aantal in 2013)  naar 13750 en dat is in totaal een toename van  1750
Dat duurt dus 1750/172,50 = 10,14 jaar.
Er zullen voor het eerst weer meer auto's gestolen worden dan in 2005 in het jaar 2024