Nieuwe pagina 1

Samen tegen de raaf.

Boomgaard is een spel voor kleuters. Bij dit spel hoort een dobbelsteen met de volgende zes zijvlakken: groen, geel, rood, paars, ‘mandje’, ‘raaf’.
Zie figuren 1 en 2.

Sibren, Anne en Roos gaan het spel spelen. Voordat ze beginnen, gooit ieder één keer met de dobbelsteen.

3p.

Bereken de kans dat ze alle drie 'raaf' gooien. Rond het antwoord af op 3 decimalen.

Gedurende het spel wordt vaak met de dobbelsteen gegooid.

3p.

Bereken de kans dat bij de eerste 15 worpen hoogstens 2 keer 'raaf' wordt gegooid.

Bij het spel horen zestien ronde kaartjes. Daarop staan afbeeldingen: vier kaartjes met een groene appel, vier met een gele peer, vier met een rode kers en vier met een paarse pruim. Van elke soort zie je één kaartje in figuur 3. Bij de start liggen de zestien kaartjes met de afbeelding omlaag op tafel. Samen vormen ze de boomgaard. Niemand weet op welke plekken de soorten fruit liggen. Zie figuur 4.

Bij het spel hoort een houten raaf. De spelers spelen niet tegen elkaar, maar samen tegen de raaf. Naast de boomgaard wordt het speelbord gelegd. De raaf wordt op het eerste plekje gezet. Zie figuur 4.

Als een speler aan de beurt is, gooit hij met de dobbelsteen.

	Als de speler een kleur gooit, dan moet hij één kaartje omdraaien. Hij probeert daarbij een kaartje met de geworpen kleur om te draaien. Lukt dat, dan moet hij dat kaartje wegnemen. Lukt dat niet, dan wordt het kaartje weer omgekeerd op zijn plaats teruggelegd
	Als de speler 'mandje' gooit, dan moet hij zelf een kleur noemen en daarna één kaartje omdraaien. Hij probeert daarbij een kaartje met de genoemde kleur om te draaien. Lukt dat, dan moet hij dat kaartje wegnemen. Lukt dat niet, dan wordt het kaartje weer omgekeerd op zijn plaats teruggelegd.
	Als de speler 'raaf' gooit, dan wordt de raaf één stapje vooruit gezet.

Als de raaf acht stapjes heeft gezet, dan staat hij op het laatste plekje van het speelbord: de raaf heeft dan het spel gewonnen. Als de kinderen vóór dat moment alle kaartjes hebben weggenomen, dan hebben zij gewonnen.

Bij de start mag Sibren als eerste met de dobbelsteen gooien. Hij zal, als hij 'mandje' gooit, voor geel kiezen.

3p.

Bereken de kans dat Sibren in de eerste beurt een kaartje met een gele peer mag wegnemen.

Op een gegeven moment liggen er nog 4 kaartjes, zoals te zien is in figuur 5. Het zijn 2 peren, 1 kers en 1 pruim. De vruchten kunnen van boven naar beneden in verschillende volgordes liggen. Een mogelijkheid is bijvoorbeeld: peer – kers – peer – pruim.

3p.

Bereken in hoeveel mogelijke volgordes deze 4 vruchten kunnen liggen.

De raaf is op dat moment nog 2 plekjes van de boomgaard verwijderd.

4p.

Bereken de kans dat de raaf vanaf dat moment in precies 4 beurten wint.

Start to run.

Als je begint met hardlopen, moet je in het begin niet te snel of te lang willen lopen. Het is veel beter om rustig aan te beginnen en eerst een goede conditie op te bouwen. Een trainingsprogramma dat veel gebruikt wordt, heet Start to Run. Daarbij moet je tien weken lang drie keer per week hardlopen, waarbij je gaandeweg steeds langere periodes aan één stuk hardloopt. In de figuur zie je hoe het trainingsprogramma eruitziet.

Week- nummer	Trainings- dag	Programma	Totaal aantal minuten

1	1 2 3	+0+0++00++00+++000 +0+0++00+++000+++000 +0++00++00+++000+++000	18 20 22

2	1 2 3	+0++00++00+++000+++000 ++00+++000+++000+++000 +0++00+++000+++000+++000	22 22 24

3 en 4	1 2 3	+0++00+++000+++000+++000 ++00++0++0++0++0++0++0++0 +0++00++++000++++000+++++0	24 25 26

5 en 6	1 2 3	++00+++00+++++000+++++000+++++00 ++0+++00++++++00++++++00+++++++00 ++00++++00+++++00++++++00+++++++00	32 33 34

7	1 2 3	+++++0++++++00+++++++00++++++++0 ++++++++0++++++++00++++++++0++++++++0 ++++++++++00++++++++++00++++++++++++0	32 37 37

8 en 9	1 2 3	+++++++++++++++00+++++++++++++++00 ++++++++++0++++++++++++0++++++++++++0 ++++++++++0++++++++++++++++++++0	34 37 32

10	1 2 3	30 minuten hardlopen met 1 of 2 minuten wandelen naar keuze 32 minuten hardlopen met 1 of 2 minuten wandelen naar keuze 30 minuten hardlopen zonder wandelen	31 of 32 33 of 34 30
+ betekent: 1 minuut hardlopen 0 betekent: 1 minuut wandelen

In het schema kun je aflezen dat je op trainingsdag 1 van week 1 eerst tweemaal om en om één minuut moet hardlopen en één minuut moet wandelen, daarna tweemaal twee minuten moet hardlopen en twee minuten moet wandelen en ten slotte drie minuten moet hardlopen en drie minuten moet wandelen. Daarmee ben je 18 minuten bezig.
Het programma is zo opgesteld dat je na tien weken een halfuur zonder onderbreking kunt hardlopen. Het gaat bij Start to Run niet om de snelheid waarmee je hardloopt, dat komt later. Er wordt juist geadviseerd om gedurende deze tien weken de hardloopsnelheid constant te houden.

Mevrouw Harmsen traint volgens het programma en is inmiddels in week 9. Haar hardloopsnelheid is steeds 140 meter per minuut en haar wandelsnelheid is steeds 50 meter per minuut.

4p.

Teken in onderstaande figuur de grafiek van de afgelegde afstand van mevrouw Harmsen tijdens trainingsdag 1 van week 9.

Meneer Saddal volgt het programma van Start to Run ook. Zijn hardloopsnelheid is gedurende het hele programma 9 km per uur. Dit is tweeënhalf keer zo hoog als zijn wandelsnelheid. Je kunt een formule opstellen voor de totale afstand die meneer Saddal per trainingsdag aflegt. Deze formule luidt:

A = 0,15 • H + 0,06 • W

Hierin is A de totale afgelegde afstand in km, H het aantal hardloopminuten en W het aantal wandelminuten.

3p.

10.

Laat met berekeningen zien dat deze formule juist is.

Meneer Saddal legt op de laatste trainingsdag van week 10, als hij een halfuur lang zonder onderbreking kan hardlopen, een veel grotere afstand af dan op de eerste trainingsdag van week 1.

3p.

11.

Bereken hoeveel meter het verschil is.

Meneer Saddal krijgt de smaak te pakken en gaat na de periode van 10 weken door met hardlopen. Hij besluit om een uur lang te gaan trainen.
Tijdens het hardlopen houdt hij zijn gebruikelijke snelheid aan. Lukt dat niet, dan houdt hij één of meer minuten wandelpauze.
Voor een training van een uur geldt dan:

W = 60 − H

Hierin is W het aantal wandelminuten en H het aantal hardloopminuten.
Als je de formule van W invult in de formule van A, ontstaat een formule van A die alleen nog afhangt van het aantal hardloopminuten H. Deze nieuwe formule van A is te herleiden tot de vorm A = a • H + b , waarbij a en b getallen zijn.

3p.

12.

Herleid de formule van A tot deze vorm.

Door de Westerscheldetunnel.

De Westerscheldetunnel verbindt Zeeuws-Vlaanderen met de rest van Nederland. Voor ieder voertuig, waarmee gebruikgemaakt wordt van de tunnel, moet tol betaald worden. In deze opgave gaan we uit van de tarieven die in 2013 golden per passage (enkele reis). Zie de volgende figuur.



Voor elke categorie bestaan er drie verschillende tarieven:
-	Wie maar af en toe gebruikmaakt van de tunnel, betaalt het standaardtarief.
-	Vaste klanten zijn goedkoper uit: zij bestellen eenmalig gratis de zogenaamde t-tag, een elektronisch apparaat waarmee automatisch wordt betaald. Vervolgens betalen zij bij elke passage het t-tagtarief.
-	Daarnaast krijgen vaste klanten met t-tag nog meer korting indien zij vaak gebruik maken van de tunnel: voor elke passage na de 150^e passage in een kalenderjaar betalen zij het nog lagere veelgebruikerstarief.

Meneer Dingemanse woont in Middelburg en werkt 200 dagen per kalenderjaar in Terneuzen. Op deze dagen maakt hij heen en terug gebruik van de Westerscheldetunnel. Hij rijdt in een personenauto zonder aanhanger. Met de t-tag is hij veel goedkoper uit dan wanneer hij telkens het standaardtarief zou betalen.

4p.	13.	Bereken hoeveel euro hij per kalenderjaar goedkoper uit is met een t-tag.

Voor de bestuurder van een personenauto zonder aanhanger die gebruikmaakt van de t-tag, hangen de totale kosten K in een kalenderjaar af van het aantal passages p in dat jaar. De grafiek van K bestaat uit twee gedeelten, waarbij het tweede gedeelte minder steil loopt. In de figuur hieronder is een schets gemaakt van deze grafiek.



5p.	14.	Stel voor beide gedeelten een formule op voor K, uitgedrukt in p.

Bij het veelgebruikerstarief voor kleine (bestel)bussen hoort vanaf de 150^e passage de formule: K = 11,15 • p + 412,5 Hierin zijn K de kosten in euro’s en is p het aantal passages in een kalenderjaar. De formule geeft de kosten K inclusief 21% btw. In sommige situaties werkt men liever met een formule voor de kosten zonder btw. Deze formule kan worden herleid uit de formule van K en heeft de vorm: K_{zonder btw} = a • p + b Hierin zijn a en b getallen en is p het aantal passages in een kalenderjaar.

3p.	15.	Bereken a en b. Rond je antwoorden af op twee decimalen.

We hebben tot hier toe nog geen rekening gehouden met een bijzondere actie: er worden elk jaar vier zaterdagen uitgekozen waarop iedereen gratis door de tunnel mag. Dit zijn de tolvrije zaterdagen. Volgens afspraak zijn dat twee zaterdagen in de periode januari tot en met april én twee zaterdagen in de periode september tot en met december. In een bepaald jaar vallen er 17 zaterdagen in de periode januari tot en met april en 18 zaterdagen in de periode september tot en met december.

4p.	16.	Bereken op hoeveel manieren de vier tolvrije zaterdagen in dat jaar gekozen kunnen worden.

De ideale bureaustoel.

Tegenwoordig zijn bureaustoelen in hoogte verstelbaar. Daardoor kunnen de meeste mensen de stoel instellen op de zithoogte die voor hen ideaal is. De ideale zithoogte van volwassen Nederlanders is normaal verdeeld met een gemiddelde van 46,0 cm en een standaardafwijking van 3,8 cm. Ontwerpers gebruiken deze gegevens om de ideale bureaustoel te ontwerpen.

Een ontwerper wil een bureaustoel maken waarvan de hoogte instelbaar is door middel van een gasveer van 8,0 cm. Zie de figuur. De zithoogte kan dus 8,0 cm variëren. De ontwerper moet nog wel kiezen tussen welke
minimumhoogte en maximumhoogte de zithoogte kan variëren, als er
maar 8,0 cm verschil tussen zit. In de tabel zie je twee mogelijke situaties.
Er zijn veel meer mogelijkheden.

minimum- hoogte	maximum- hoogte	percentage van de mensen dat stoel op ideale hoogte kan instellen
44,0 cm	52,0 cm	64 (%)
47,0 cm	56,0 cm	39(%)

Het is onmogelijk om met de gasveer van 8,0 cm de stoel zó te maken dat meer dan 71% van de mensen de stoel op zijn ideale zithoogte kan instellen.

3p.

17.

Toon dat aan.

Er bestaan ook gasveren die langer zijn dan 8,0 cm. Als de ontwerper een langere gasveer gebruikt, kunnen meer mensen de bureaustoel op hun ideale zithoogte instellen.

De ontwerper zorgt ervoor dat de minimumhoogte en de maximumhoogte even ver van 46,0 cm af liggen. Hij wil weten hoe lang de gasveer dan moet zijn om ervoor te zorgen dat 90% van de mensen de bureaustoel op zijn ideale zithoogte kan instellen.

4p.

18.

Bereken hoe lang de gasveer moet zijn. Geef het antwoord in cm, afgerond op 1 decimaal.

Een lange gasveer is erg duur. De ontwerper kiest er daarom voor om een gasveer van 8,0 cm te blijven gebruiken. Hij besluit om drie varianten te maken:

een lage variant, waarbij de zithoogte van 34,0 cm tot 42,0 cm kan worden ingesteld;

een middelhoge variant, waarbij de zithoogte van 42,0 cm tot 50,0 cm kan worden ingesteld;

een hoge variant, waarbij de zithoogte van 50,0 cm tot 58,0 cm kan worden ingesteld.

De ontwerper beweert dat er zo voor meer dan 99% van de mensen een stoel met hun ideale zithoogte is.

3p.

19.

Onderzoek of de ontwerper gelijk heeft.

Opslag van radioactief afval.

Een Gammacell is een apparaat dat onder andere gebruikt wordt bij onderzoek naar de bederfelijkheid van voedsel. De Gammacell is een stalen kast waarin zich de radioactieve stof cesium bevindt. Zie de foto. De hoeveelheid radioactieve straling van cesium neemt jaarlijks met een vast percentage af en is na ongeveer 30 jaar gehalveerd.

4p.	20.	Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid radioactieve straling per jaar afneemt.

De tijd waarin de hoeveelheid straling tot de helft is afgenomen, wordt de halveringstijd genoemd. Soms wordt de volgende vuistregel gebruikt: 'Na tien keer de halveringstijd is het radioactieve materiaal zijn straling kwijt.' Volgens deze vuistregel zou cesium dus na 300 jaar zijn straling kwijt zijn. Dat is niet helemaal juist. Er is nog een klein beetje van de beginstraling over.

3p.	21.	Bereken hoeveel procent van de beginstraling er na 300 jaar nog over is.

Bij het bedrijf Covra in Borssele wordt radioactief afval verwerkt en opgeslagen. Bij dit bedrijf is een afgedankte Gammacell binnengekomen. Het bedrijf moet ervoor zorgen dat er heel weinig straling vrijkomt wanneer de Gammacell wordt opgeslagen. De stalen wand van de Gammacell laat 8% van de straling door die het cesium op het moment van binnenkomst heeft. Omdat dat te veel is, wordt de hele Gammacell ingepakt in beton. Van de straling die door het staal heen komt, wordt een percentage P door het beton doorgelaten. Dit percentage hangt af van de dikte van het beton. Er geldt de formule:



Hierin is d de dikte van het beton in cm. Het bedrijf moet de dikte van het beton zo kiezen, dat het staal en het beton samen 5% van de straling doorlaten die het cesium op het moment van binnenkomst heeft.

5p.	22.	Bereken hoeveel cm de dikte van het beton moet zijn. Rond je antwoord af op een geheel getal.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Zie de figuur hiernaast. Er liggen 6 landen boven de groene lijn die het vertrouwen in het parlement in Nederland weergeeft (FR, LU, CH, SE, NO, DK) 6 van de overige 16 is ⁶/₁₆ • 100% = 37,5%


2.	De landen waar het sociale vertrouwen groter is dan het vertrouwen in het parlement liggen onder de blauwe lijn (daarop is het vertrouwen gelijk) Dat zijn: AT = Oostenrijk UK = Verenigd Koninkrijk DE = Duitsland FI = Finland NL = Nederland SE = Zwden NO = Noorwegen DK = Denmarken

3.	Uit de figuur is af te lezen dat het sociale vertrouwen in Nederland ongeveer 62% is, dus de kans dat iemand voor a kiest is 0,62. Omdat dat bij iedereen weer 0,62 is, is dit een binomiaal experiment. n = 25, p = 0,62 minstens 80% van 25 is minstens 20 mensen P(X ≥ 20) = 1 - P(X ≤ 19) = 1 - binomcdf(25, 0.62, 19) = 0,0454

4.	P(RRR) = ¹/₆ • ¹/₆ • ¹/₆ = 0,005

5.	Dit is een binomiale verdeling met n = 15 en p = ¹/₆ P(hoogstens 2 successen) = P(X ≤ 2) = binomcdf(15, ¹/₆, 2) = 0,5322

6.	P(gele peer) = P((mandje en gele peer) of (geel en gele peer)) P(mandje en gele peer) = ¹/₆ • ⁴/₁₆ = ¹/₂₄ P(geel en gele peer) = ¹/₆ • ⁴/₁₆ = ¹/₂₄ Samen geeft dat kans ¹/₂₄ + ¹/₂₄ = ¹/₁₂.

7.	Als alle vruchten verschillend zijn, zijn er 4 • 3 • 2 • 1 = 24 volgorden. Doordat er twee peren zijn is dan elke mogelijkheid twee keer meegeteld, dus er blijven nog 12 mogelijkheden over. OF Voor de kers: 4 mogelijkheden Voor de pruim: dan nog 3 mogelijkheden De peren liggen dan vast. In totaal 4 • 3 = 12 mogelijkheden.

8.	N = niet-raaf en R = raaf De raaf wint is 4 beurten als de de vierde beurt R wordt gegooid, en ook nog één van de drie eerste beurten. Bijvoorbeeld (NRNR) met kans ⁵/₆ • ¹/₆ • ⁵/₆ • ¹/₆ = ²⁵/₁₂₉₆ Omdat de laatste letter een R moet zijn mag je de eerste drie nog wisselen van plaats, dus dat kan op 3 manieren. De kans is dus 3 • ²⁵/₁₂₉₆ = ⁷⁵/₁₂₉₆

9.	15 minuten hardlopen geeft 15 • 140 = 2100 meter, dus de grafiek gaat door (0, 0) en (15, 2100) 2 minuten wandelen geeft 2 • 50 = 100 erbij, dus de grafiek gaat door (17, 2200) 15 minuten hardlopen geeft weer 2100 meter erbij, dus de grafiek gaat door (32, 4300) 2 minuten wandelen geeft weer 100 meter erbij dus de grafiek gaat door (34, 4400) Dat geeft deze grafiek:


10.	9 km/uur geeft in 1 minuut ⁹/₆₀ = 0,15 km dus in H minuten 0,15H km de wandelsnelheid is ⁹/_2,5 = 3,6 km/uur dus in 1 minuut ^3,6/₆₀ = 0,06 km dus in W minuten 0,06W km. Samen geeft dat 0,15H + 0,06W en dat is inderdaad de gevraagde formule.

11.	laatste dag van week 10: H = 30 en W = 0 dus A = 0,15 • 30 + 0,06 • 0 = 4,5 km eerste dag van week 1: H = 9 en W = A = 0,15 • 9 + 0,06 • 9 = 1,89 het verschil is 4,5 - 1,89 = 2,61 km en dat is 2610 m.

12.	A = 0,15 • H + 0,06 • W vervang W door (60 - H): A = 0,15 • H + 0,06 • (60 - H) A = 0,15 • H + 3,6 - 0,06 • H A = 0,09 • H + 3,6

13.	Hij moet heen en terug dus dat is per jaar 200 • 2 = 400 passages. standaardtarief: 40 • 5 = 2000 met t-tag: 150 t-tag tarief: 150 • 3,80 = 570 250 veelgebruikerstarief : 250 • 3,05 = 762,50 samen met de t-tag dus 1332,50 Dat scheelt 2000 - 1332,50 = €667,50

14.	Het eerste deel gaat door (0, 0) en (150, 570) helling ^{(570 - 0)}/_{(150 - 0)} = 3,8 beginwaarde 0 dus de formule is K = 3,8 • p Het tweede deel gaat door (150, 570) en bijvoorbeeld (400, 1332.50) (vraag 13) Helling ^{(1332.50 - 570)}/_{(400 - 150)} = 3,05 (kan natuurlijk ook door in te zien dat dat gewoon het veelgebruikerstarief is) beginwaarde: 570 = 3,05 • 150 + b geeft b = 112,50 De formule is dus K = 0,39 • p + 112,50

15.	Dit is dus 121% Voor de kosten zonder BTW moet je delen door 1,21 ofwel vermenigvuldigen met ¹/_1,21 = 0,8264... Dat geeft K = 0,8264... • (11,15p + 412,5) K = 9,21p + 340,91

16.	de twee in de periode januari-april: 17 nCr 2 = 136 de twee in de periode september-december: 18 nCr 2 = 153 samen geeft dat 136 • 153 = 20808 mogelijkheden.

17.	Je krijgt het grootste percentage mensen als je de zithoogtes rond het midden van de klokvorm kiest, want daar is de oppervlakte het grootst. Neem dus minimumhoogte 46 - 4 = 42 cm en maximumhoogte 46 + 4 = 50 cm Daartussen valt dan normalcdf(42, 50, 46, 3.8) = 0,70749... Dat is minder dan 71% dus 71% is niet haalbaar.

18.	Noem de lengte van de gasveer X tussen (46 - 0,5X) en (46 + 0,5X) valt dan 90% van de klokvorm Dus normalcdf(46 - 0.5X, 46 + 0.5X, 46, 3.8) = 0,9 Invoeren bij Y1 en Y2 en dan intersecvt geeft X = 12,5 cm

19.	Iedereen met zithoogte tussen 34,0 en 58,0 kan een stoel met ideale zithoogte vinden. normalcdf(34.0, 58.0, 46, 3.8) = 0,9984 Dat is meer dan 99% dus de onderzoeker heeft gelijk.

20.	begin met 100% , dan is er na 30 jaar nog 50% over. Dus 50 = 100 • g³⁰ g³⁰ = 0,5 g = 0,5^1/30 = 0,9772 Dat is een afname van 2,28% per jaar.

21.	Tien keer halveren betekent vermenigvuldigen met 0,5¹⁰ = 0,0009766 dan is er dus nog 0,09766% over.

22.	De 8% moet worden teruggebracht tot 5%, dus het beton mag nog ⁵/₈ deel doorlaten en dat is 62,5% 62,5 = ¹⁰⁰/_(1,021d₎ Y1 = 62.5 en Y2 = 100/(1.021^X) en dan intersect geeft X = d = 23 cm.

HAVO WA, 2016 - I