Nieuwe pagina 1

Het weer in september

Al heel lang worden bij het KNMI in De Bilt metingen verricht aan het weer. In deze opgave kijken we naar gegevens over het weer in de maand september. Gemiddelde temperatuur. In het staafdiagram hieronder zijn de gemiddelde temperaturen van de maand september van de jaren 1901 tot en met 2000 weergegeven. Hierbij is afgerond op halve graden.



4p	1.	Bereken van deze 100 temperaturen het gemiddelde

neerslag. In het steel- blad-diagram van de figuur hieronder is de hoeveelheid neerslag van de maand september van de jaren 1901 tot en met 2000 weergegeven. Je ziet hierin bijvoorbeeld dat er twee jaren zijn geweest met 68 mm neerslag in de maand september en dat er zelfs een septembermaand is geweest met 213 mm neerslag.



4p.	2.	Hoe groot is de modus en hoe groot is de mediaan van de neerslag in dit steel-blad-diagram? Licht je antwoorden toe.

Onder het steel-blad-diagram staat een schaalverdeling. Boven die schaalverdeling is ruimte voor een boxplot van de neerslag in de septembermaanden van 1901 tot en met 2000.

5p	3.	Teken deze boxplot. Omcirkel in het steel-bladdiagram de getallen die je hebt gebruikt voor het tekenen van de boxplot.

Zonneschijn in september 2001 In het staafdiagram van de figuur hieronder geeft de totale lengte van een staaf aan hoe lang de zon kan schijnen op een heldere dag. Door bewolking is het werkelijke aantal uren zonneschijn kleiner. Het lichtere deel van de staaf geeft aan hoe lang de zon die dag werkelijk scheen. Horizontaal staan de dagen van de maand, verticaal staat het aantal uren zonneschijn.



De totale staven worden steeds korter omdat de zon steeds later opkomt en eerder ondergaat. Op 1 september (dagnummer 1) is het mogelijk aantal uren zonneschijn 13,7. Op 30 september (dagnummer 30) is dat aantal 11,7. Er is vrijwel sprake van een lineair verband tussen het dagnummer d en het mogelijke aantal uren zonneschijn z. Je kunt dus een formule opstellen van de vorm:

		z = a • d + b

3p	4.	Bereken a en b. Geef beide antwoorden in twee decimalen.

Jurassic Park

Nog regelmatig worden er in oude aardlagen skeletonderdelen en voetsporen aangetroffen van dinosauriërs. Zie de foto. Uit de voetsporen kunnen we zelfs achterhalen hoe snel die dinosauriërs daar liepen. Deze snelheid hangt af van de afstand tussen de voetsporen, de paslengte, en van de grootte van de dinosaurus die het voetspoor achterliet. Doordat soms hele skeletten gevonden zijn weten we hoe groot zo'n dier geweest is.

De biomechanicus R. McNeill Alexander heeft van een diersoorten de relatie tussen paslengte, snelheid en grootte bepaald. Uit zijn onderzoek is een formule afgeleid die een goede schatting geeft voor de snelheid van deze dieren:

v = 2,81 • s^1,67 • h^-1,17

Hierin is:
• v de snelheid in kilometer per uur
• s de paslengte in meter, de afstand tussen twee opeenvolgende voetafdrukken van dezelfde voet (zie onderstaande figuur)
• h de heuphoogte in meter
De formule geldt voor zowel twee- als viervoeters, zowel groot als klein, dus ook voor katten en honden.

Op een mooie winterdag staan er voetsporen in de sneeuw in de tuin. Deze zijn afkomstig van de kat van de buren, die een heuphoogte heeft van 21 cm. Uit de voetsporen blijkt dat de paslengte 35 cm is.

Bereken de snelheid van de kat toen zij die voetsporen achterliet.

De buurman, die van het onderzoek gehoord had, werd nieuwsgierig en ging een middagje fietsen met zijn hond. Het beest bleef keurig naast hem rennen, bij elke snelheid die hij fietste.
Volgens de buurman had zijn hond een paslengte van ongeveer anderhalve meter, toen de snelheidsmeter 15 km/uur aangaf. De heuphoogte van zijn hond is 40 cm.

Bereken de paslengte van de hond in cm nauwkeurig.

Neem aan dat de formule van McNeill Alexander ook geldt voor dinosauriërs.
Een vuistregel voor dinosauriërs is:
de hoogte h van de heup is viermaal de lengte l van de voetafdruk, ofwel h = 4 • l, met h en l beide in meter.

Van een Brontosaurus zijn voetafdrukken gevonden met een lengte van 91 cm.
De bijbehorende paslengte is 3,5 meter.

Bereken de snelheid van deze Brontosaurus toen hij deze voetafdrukken achterliet.

Uit de verbanden v = 2,81 • s^1,67 • h ^-1,17 en h = 4 • l kan het volgende verband worden afgeleid:

v = c • s^1,67 • l ^-1,17

Hierin is c een constante.

Bereken c. Rond je antwoord af op drie decimalen.

Meestal komt de snelheid bij dinosauriërs niet boven de 10 km/uur uit. Maar sommige voetsporen van snelrennende vleesetende dinosauriërs, zoals de Tyrannosaurus Rex, laten een hogere snelheid zien. Op dit moment houdt men voor de topsnelheid van de Tyrannosaurus Rex een snelheid van 20 km/uur aan. In de film Jurassic Park achtervolgt een exemplaar van deze soort een hard rijdende jeep, maar dat is dus onmogelijk.
Er bestaat een voetspoor van een Tyrannosaurus Rex waarin de paslengte 4,5 meter bedraagt. Volgens de formule liep hij toen met een snelheid van 16,5 km/uur.

Bereken de lengte van de voetafdruk van deze dinosauriër.

Voor een vaste heuphoogte van 2,5 meter is de formule van McNeill Alexander te herschrijven tot het volgende verband:

v = 0,962 • s^1,67

De snelheid v is dan slechts afhankelijk van de paslengte s.

10.

Bereken de gemiddelde snelheidsverandering ^Δ^v/_Δ_s als de paslengte s in een voetspoor toeneemt van 2,0 tot 2,5 meter

11.

Stel de afgeleide v' van v op en bereken de waarde van v' als s = 2,25 meter.

Het HABOG

Kernenergie levert weinig afval op, maar het is wel afval dat speciale aandacht vereist. Het is namelijk radioactief en het blijft nog tientallen jaren warmte afgeven. In 2003 is in Zeeland een gebouw geopend waar de komende 100 jaar kernafval zal worden opgeslagen. Het gebouw heet HABOG, Hoogradioactief Afval Behandelings- en Opslag Gebouw. In het HABOG wordt het afval van de kerncentrale van Borssele opgeslagen. Over 100 jaar zijn de radioactiviteit en de warmte van het afval zo veel afgenomen dat het afval op een andere plaats kan worden opgeslagen.
Het afval uit Borssele bestaat jaarlijks uit zes gasblokken met hoogradioactief afval. In het begin geeft zo'n blok evenveel warmte af als een kachel van 1800 Watt.
Na 100 jaar is de warmte-afgifte verminderd tot die van drie gloeilampen, ofwel 180 Watt

De warmteafgifte neemt exponentieel af.

12.

Bereken het percentage waarmee de warmteafgifte per jaar afneemt. Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Het gebouw is knaloranje geverfd. In grote groene letters zijn er beroemde formules van Einstein en Planck op aangebracht (zie foto). Elke tien jaar wordt het gebouw opnieuw geverfd, telkens in een iets lichtere tint om de afname van de warmteafgifte mee aan te geven.
Je mag er in de rest van deze opgave van uitgaan dat de warmteafgifte met 2,3% per jaar afneemt.

13.

Bereken het percentage waarmee de warmteafgifte in een periode van tien jaar afneemt. Rond je antwoord af op één decimaal.

14.

Bereken na hoeveel jaar de warmteafgifte nog maar de helft is van de oorspronkelijke hoeveelheid. Rond je antwoord af op één decimaal.

Er wordt nu al geld gereserveerd om over meer dan honderd jaar het afval verder te kunnen verwerken. Daartoe is in het jaar 2003 een bedrag van 23 miljoen euro op een spaarrekening gezet.
In onderstaande grafiek zie je hoe men verwacht dat dit bedrag zal toenemen.
De verticale as heeft een logaritmische schaalverdeling.

De grafiek is een rechte lijn. Dit betekent dat men uitgegaan is van een vast rentepercentage per jaar gedurende de gehele looptijd.

15.

Bereken dat percentage.

Eis

IJsproducent Häagen Dazs produceert 2,94 miljoen bekertjes roomijs.
De hoeveelheid ijs die in de bekertjes gedaan wordt is bij benadering normaal verdeeld. Op zo'n bekertje staat dat het 125 ml ijs bevat. In werkelijkheid zal dat zelden precies 125 ml zijn.
Häagen Dazs stelt het vulgemiddelde van de vulmachine in op 129,8 ml, zodat er gemiddeld 129,8 ml ijs in de bekertjes terechtkomt.
De standaardafwijking van de hoeveelheid ijs die in de bekertjes terechtkomt is 2,2 ml.

16.

Bereken hoeveel bekertjes er naar verwachting tussen 124 en 126 ml ijs bevatten.
Geef je antwoord in duizenden bekertjes nauwkeurig.

Als Häagen Dazs het vulgemiddelde zou instellen op 125 ml, dan zou de helft van de bekertjes minder dan 125 ml ijs bevatten. De overheid eist echter dat hooguit 5% van de bekertjes minder dan 125 ml ijs bevat.

17.

Toon aan dat Häagen Dazs met zijn instelling van de vulmachine aan de eis van de overheid voldoet.

Häagen Dazs kan zijn vulgemiddelde lager instellen en toch aan de eis van de overheid blijven voldoen. Bij elk lager vulgemiddelde blijft de standaardafwijking 2,2 ml. Het instellen van zo'n lager vulgemiddelde levert bij 2,94 miljoen bekertjes een aardige besparing op aan de hoeveelheid roomijs die men moet produceren. De productiekosten van het roomijs bedragen 0,73 euro per liter.

18.

Bereken hoeveel euro Häagen Dazs maximaal kan besparen.

Differentia

Differentia is een eenvoudig dobbelspel.Het spel wordt gespeeld onder leiding van een spelleider, die er wat aan probeert te verdienen. Tijdens het spel wordt er met twee dobbelstenen geworpen. Na een worp wordt er gekeken naar het verschil tussen de ogenaantallen van de twee dobbelstenen. Als er bijvoorbeeld een 4 en een 6 gegooid worden, dan is het verschil 2.

19.

Toon aan dat de kans op een verschil van 2 gelijk is aan ⁸/₃₆

De kansen op alle mogelijke verschillen staan in de volgende tabel:

Verschil	0	1	2	3	4	5
Kans	⁶/₃₆	¹⁰/₃₆	⁸/₃₆	⁶/₃₆	⁴/₃₆	²/₃₆

John, de spelleider, speelt met de deelnemers Mary, Liza, Jan en Renze een spelletje Differentia met de volgende spelregels:

•
•
•
•

Iedere deelnemer kiest vooraf het verschil waar hij of zij gedurende het hele spel op inzet.
De deelnemers kiezen vooraf het aantal worpen met de twee dobbelstenen.
Iedere deelnemer betaalt per worp 2 euro aan de spelleider
Na elke worp betaalt de spelleider een bedrag uit aan iedere deelnemer die op het goede verschil heeft ingezet. Dat bedrag staat in de tabel hieronder. De overige deelnemers ontvangen niets.

Verschil	0	1	2	3	4	5
Uitbetaling (in euro)	9	5	7	9	15	35

Mary zet in op een verschil 0, Liza op een verschil 5, Jan op een verschil 1 en Renze op verschil 2. De deelnemers willen dat er in dit spel 15 keer geworpen wordt. De dobbelstenen vallen als volgt, zie volgende tabel:

Worp	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Dobbelsteen 1	4	3	1	1	4	4	5	4	1	6	3	1	4	1	5
Dobbelsteen 2	3	2	1	2	5	5	2	6	4	2	4	6	4	1	1

De spelleider heeft bij dit spel met 15 worpen meer geld ontvangen dan uitbetaald.

20.

Bereken hoeveel euro de spelleider heeft verdiend.

Liza heeft op een verschil van 5 ingezet, omdat de uitbetaling dan zo hoog is. Ze wil weten of dat verstandig is.

21.

Toon aan dat bij inzetten op een verschil van 5 de verwachtingswaarde van de uitbetaling het hoogste is.

Gelukkig voor Liza is in dit spel één keer het verschil van 5 voorgekomen. In het verleden is het wel eens gebeurd dat er tijdens een spel geen enkele keer het verschil 5 voorkwam. Ze denkt dat het toen beter was geweest om te kiezen voor meer worpen, zodat het verschil 5 misschien wel was voorgekomen.
De kans dat in n worpen tenminste één keer het verschil 5 voorkomt, wordt gegeven door de formule:

Liza wil graag dat er zo vaak geworpen wordt dat er een flinke kans is op tenminste één keer het verschil 5.

22.

Bereken hoeveel worpen Liza minimaal moet kiezen, zodat die kans groter is dan 75%

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

^{(1 • 10,5 + 3 •
11,5 + 2 • 12,0 + ... + 2 • 17,0 + 1 • 17,5)} / ₁₀₀ = 14,025

De modus is de meest voorkomende en dat is 40 (4 keer)
De mediaan is de middelste, en van de 100 is dat tussen nummer 50 en nummer 51 in. Het gemiddelde van nr. 50 en nr. 51 is ^{(66 + 67)}/₂ = 66,5

De lijn moet door (1, 13.7) en (30, 11.7)
Het hellinggetal is dan ^{(11.7 - 13.7)}/_{(30 - 1)} = -0,0689655... ≈ -0,07
De vergelijking wordt dan z = -0,07 • d + b
Vul (bijv. het punt (1,13.7) in: 13.7 = -0,07 • 1 + b ⇒ b ≈ 13,77
Conclusie a ≈ -0,07 en b ≈ 13,77

v = 2,81 • 0,35^1,67 • 0,21^-1,17 ≈ 3,02 km/uur

15 = 2,81 • s^1,67 • 0,40^-1,17 ⇒ 15 = 8,21 • s^1,67 ⇒ s^1,67 = 15/8,21 ≈ 1,83 ⇒ s = 1,83^1/1,67 ≈ 1,43 m

h = 4 • 0,91 = 3,64 m
v = 2,81 • 3,5^1,67 • 3,64^-1,17 ≈ 5,02 km/uur

v = 2,81 • s^1,67 • (4l)^-1,17 = 2,81 • s^1,67 • 4^-1,17 • l ^-1,17 = (2,81 • 4^-1,17) • s^1,67 • l ^-1,17 ≈ 0,555 • s^1,67 • l ^-1,17Conclusie: c ≈ 0,555

16,5 = 2,81 • 4,5^1,67 • h^-1,17 ⇒ 16,5 = 34,64 • h^-1,17 ⇒ h^-1,17= ^16,5/_34,64 » 0,476
⇒ h ≈ 0,476^1/-1,17 ≈ 1,88
dus 4l = 1,88 ⇒ l ≈ 0,47 meter

10.

v(2,0) = 3,06 en v(2,5) = 4,44 dus ^Δ^v/_Δ_s = ^{(4,44 - 3,06)}/_{(2,5 - 2,0)} = 2,76

11.

v'= 1,67 • 0,962 • s^0,67
v'(2,25) = 1,67 • 0,962 • 2,25^0,67 = 2,77

12.

180 = 1800 • g¹⁰⁰ ⇒ g¹⁰⁰ = 0,1 ⇒ g = 0,1^1/100 ≈ 0,98

13.

een afname van 2,3% betekent dat er 97,7% overblijft, dus de groeifactor is 0,977
In 10 jaar 0,977¹⁰ ≈ 0,792... dus er blijft 79,2% over, dus de afname is 20,8%

14.

Stel de beginhoeveelheid 100, dan is de eindhoeveelheid 50
50 = 100 • 0,977^t
Y1 = 50 en Y2 = 100 • 0,997 ^ X
Window bijv. Xmin = 0, Xmax = 100, Ymin = 0, Ymax = 150
Intersect levert X ≈ 29,8 jaar

15.

Noem 2023 t = 0 dan is de beginhoeveelheid 43 miljoen. In 2133 (t = 110) is de hoeveelheid 1 miljard geworden, en dat is 1000 miljoen dus:
1000 = 43 • g¹¹⁰ ⇒ g¹¹⁰ = ¹⁰⁰⁰/₄₃ ≈ 23,26 ⇒ g ≈ 23,26^1/110 ≈ 1,029
Dat is een rente van 2,9 procent

16.

normalcdf(124, 126, 129.8, 2.2) = 0,0378 dus dat zijn 0,0378 • 2,94 miljoen = 111336 bekertjes.
omdat die 2,94 miljoen waarschijnlijk afgerond is, zal het ongeveer 111000 bekertjes zijn.

17.

normalcdf(0, 125, 129.8, 2.2) = 0,01456 dus slechts 1,456% bevat te weinig en dat is ruim minder dan 5%.

18.

normalcdf(0, 125, X, 2.2) = 0,05
Y1 = normalcdf(0, 125, X, 2.3) en Y2 = 0,05
window bijv. Xmin = 120, Xmax = 140, Ymin = 0, Ymax = 0,1
intersect geeft X = 128,62
Dat is een besparing van 1,18 ml per bakje
Dat scheelt dus 1,18 • 2940000 = 3473081 ml = 3473 liter
Dat is 3473 • 0,73 = 2535 euro

19.

Een verschil van 2 kan met (1,3)(2,4)(3,5)(4,6)(6,4)(5,3)(4,2)(3,1)
Dat zijn 8 van de 36 mogelijkheden, dus is de kans ⁸/₃₆.

20.

worp	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
verschil	1	1	0	1	1	1	3	2	3	4	1	5	0	0	4
uitbetaling	5	5	9	5	5	5	-	7	-	-	5	35	9	9	-

De totale uitbetaling is 5 + 5 + 9 + ... + 9 + 9 = 99 euro
De inkomsten waren 15 • 4 • 2 = 120 euro
Dat is een winst van 21 euro.

21.

verschil	0	1	2	3	4	5
kans	⁶/₃₆	¹⁰/₃₆	⁸/₃₆	⁶/₃₆	⁴/₃₆	²/₃₆
uitbetaling	9	5	7	9	15	35
kans • uitbetaling	⁵⁴/₃₆	⁵⁰/₃₆	⁵⁶/₃₆	⁵⁴/₃₆	⁶⁰/₃₆	⁷⁰/₃₆

De laatste rij is de verwachtingswaarde, en die is bij verschil 5 het grootst

22.

0,75 = 1-(³⁴/₃₆)ⁿ
Y1 = 1 - (³⁴/₃₆)^X en kijk dan in de tabel (TABLE)
Bij n = 25 is dat voor het eerst groter dan 0,75 (namelijk 0,76044)
Liza moet dus minimaal 25 worpen kiezen.

HAVO WA12 2005 - II