HAVO WA12, 2003 - II

 

Wachtlijsten.
In de gezondheidszorg staan veel mensen op een wachtlijst, bijvoorbeeld voor een behandeling in een ziekenhuis of voor een plaats in een verzorgingshuis. De regering wil dat minder mensen op een wachtlijst staan. Ook wil men dat mensen die op een wachtlijst staan, minder lang hoeven te wachten.
Voor alle specialismen, waaronder neurochirurgie en orthopedie, heeft men de wachtlijsten in kaart gebracht. Men heeft bekeken hoeveel mensen op een wachtlijst staan en hoelang ze moeten wachten.
In onderstaande figuur staat een weergave van de wachttijd bij neurochirurgie en bij orthopedie.

In deze figuur kun je bijvoorbeeld over de wachtenden op een behandeling bij neurochirurgie aflezen:
• bijna 40% van de mensen is binnen 4 weken aan de beurt.
• meer dan 25% moet 26 weken of langer wachten.
3p

1.

 Hoeveel procent van de wachtenden bij neurochirurgie moet tussen de 4 weken en de 10 weken wachten? Licht je antwoord toe.
Bij neurochirurgie is de gemiddelde wachttijd 17 weken. Bij orthopedie is de gemiddelde wachttijd korter. Met behulp van de klassenmiddens van de klassen A tot en met I van orthopedie kan dat gemiddelde geschat worden.
5p

2.

 Bereken met behulp van de klassenmiddens de gemiddelde wachttijd bij orthopedie. Geef je antwoord in gehele weken.
Aan de hand van bovenstaande figuur kun je met behulp van lineaire interpolatie een schatting geven van het derde kwartiel van de wachttijd bij neurochirurgie.
4p

3.

 Bereken op deze manier dit derde kwartiel. Geef je antwoord in gehele weken.
In onderstaande figuur zijn vier cumulatieve frequentiepolygonen (I, II, II en IV) voor de eerste 12 weken getekend.

3p

4.

 Welke van deze vier cumulatieve frequentiepolygonen past het best bij de wachttijden tot 12 weken bij neurochirurgie uit de eerste figuur? Licht je antwoord toe.

 

GGGD
Op een dag besluiten Dirk en Petra uit havo 4 dat er wat meer leven in de brouwerij moet komen. Ze richten daarvoor een genootschap op: het Geheim Genootschap voor Gezellige Dingen (GGGD). Dit genootschap gaat gezellige dingen organiseren voor al zijn leden.

Bij de oprichting bestaat het GGGD dus uit twee leden: Dirk en Petra. Ze spreken af dat het GGGD elke maand zal worden uitgebreid met één nieuw lid. Om te bepalen of het nieuwe lid een meisje of een jongen zal zijn doen ze elke maand het vaasspel. Dat gaat als volgt:
• Elk lid stopt een bal in de vaas; de jongens een rode bal, de meisjes een witte bal.
• Uit de vaas wordt willekeurig een bal gepakt.
• Is de bal rood, dan wordt een jongen het nieuwe lid; is de bal wit, dan komt er een meisje bij.
Als ze het vaasspel de eerste keer spelen is de kans 50% dat het nieuwe lid een meisje is, want er is één rode en één witte bal. Als ze een maand later het vaasspel voor de tweede keer spelen, is de kans op een meisje niet meer 50%, want er zijn nu drie leden. Is dat derde lid een meisje, dan zijn twee van de drie ballen wit. En als dat derde lid een jongen is, dan is er maar één van de  drie ballen wit.

Na twee maanden zal het GGGD bestaan uit 4 leden: Dirk, Petra en de twee die er bijkomen. Er zijn drie mogelijkheden:
• Er komen twee meisjes bij.
• Er komen twee jongens bij.
• Er komt één meisje en één jongen bij.
5p

5.

 Toon aan met een berekening dat deze drie mogelijkheden een even grote kans hebben.

Nog twee maanden later zal het GGGD uit zes leden bestaan. Er zijn dan immers 4 nieuwe leden bijgekomen. Onderstaande figuur laat de mogelijke volgorden zien waarin het genootschap, opgericht door Dirk en Petra, kan worden uitgebreid met vier nieuwe leden.

Er zijn verschillende volgordes waarbij er in vier maanden twee meisjes en twee jongens bijkomen. Twee van die volgordes zijn bijvoorbeeld JJMM en MJMJ.
5p

6.

 Laat zien dat de kans op JJMM even groot is als de kans op MJMJ.

Na acht maanden vindt Dirk het niet leuk meer. Hij denkt dat er vals gespeeld is, want alle acht nieuwe leden zijn meisjes. Dirk had bij de oprichting van het GGGD de kans kunnen berekenen dat er na acht maanden acht meisjes bijgekomen zullen zijn.
5p

7.

 Laat met een berekening zien dat die kans groter is dan 10%.

 

Doosjes verzenden.
Een ondernemer gaat via internet cd's verkopen. Hij doet daarom een onderzoek naar de verzendkosten. Voor pakjes die door de brievenbus kunnen gelden andere posttarieven dan voor pakjes die niet door de brievenbus kunnen. Een pakje kan door de brievenbus als het niet langer is dan 38 cm én niet breder dan 26,5 cm én niet dikker dan 3,2 cm.
In onderstaande tabel staan de posttarieven van januari 2002 vermeld in euro's.
  kan door brievenbus
max. 38 × 26,5 × 3,2		 kan niet door brievenbus
             0 -   20 gram
           20 -   50 gram
           50 - 100 gram
         100 - 250 gram
         250 - 500 gram
         500 gram - 3 kg.		 0,39
0,78
1,17
1,56
2,25
3,00		 4,88
4,88
4,88
4,88
4,88
4,88
De afmetingen en het gewicht van cd's (inclusief hoesje of plastic doosje) staan in de volgende tabel:
  lengte
(in mm)		 breedte
(in mm)		 dikte
(in mm)		 gewicht
(gram)
single-cd (in kartonnen hoesje)
maxisingle-cd (in plastic doosje)
gewone cd (in plastic doosje)
dubbel-cd (in plastic doosje)		 124
142
142
142		 124
125
125
125		 2
7
10
10		 24
68
97
112
Om de cd's als een pakje te kunnen verzenden worden ze in een kartonnen doos verpakt. Als er meer cd's in één kartonnen doos worden verpakt, worden de cd's altijd op elkaar gelegd.
Het karton van de dozen is 1 mm dik, waardoor een pakje 2 mm dikker wordt. Neem voor het gemak aan dat de kartonnen doos altijd precies om de cd's past en dat de doos, ongeacht de grootte, altijd 28 gram weegt.

Een klant doet een bestelling van 2 maxisingle-cd's, 1 gewone cd en 1 dubbel-cd.
Met de twee tabellen hierboven kunnen de verzendkosten worden berekend.
4p

8.

 Bereken het bedrag aan verzendkosten als deze bestelling in één doos wordt verzonden.
Je kunt de bestelling ook over twee of meer dozen verdelen en die apart verzenden. Misschien is dat wel goedkoper.
5p

9.

 Onderzoek of het mogelijk is om de bestelling van deze klant te verzenden voor minder dan 3,50 euro.
Als het bedrijf een half jaar bestaat, is het aantal bestellingen opgelopen tot zo'n 80 per week. De ondernemer onderzoekt of het goedkoper is om de pakjes voortaan per partijenpost te verzenden. Bij het verzenden per partijenpost worden alle pakjes van een week tegelijk aangeboden om te verzenden. In onderstaande tabel staan de gegevens die nodig zijn om te berekenen wat hij dan aan verzendkosten kwijt is.
  gemiddeld gewicht per pakje
0 - 10 kg 10 - 30 kg
vast bedrag per pakje
tarief per kg.		 € 4,50
€ 0,26		 € 5,47
€ 0,17
Er zijn hier dus twee gewichtsklassen: 0 - 10 kg en 10 - 30 kg. Welke daarvan van toepassing is, wordt bepaald door het gemiddelde gewicht van de pakjes. In elke gewichtsklasse betaalt men een vast bedrag per pakje en daar bovenop een bedrag afhankelijk van het gewicht van het pakje.

De ondernemer stuurt de eerstvolgende week de pakjes per partijenpost. Hij verzendt dan 82 pakjes die allemaal niet door de brievenbus kunnen, met een gemiddeld gewicht van 539 gram. Geen van de pakjes weegt meer dan 3 kg.
5p

10.

 Hoeveel bespaart hij die week aan verzendkosten? Licht je antwoord toe.
De leverancier van de kartonnen dozen is een bedrijf dat dozen maakt in verschillende modellen, niet alleen voor de verzending van cd's. De meeste van die modellen worden gemaakt uit een stuk karton met de standaardafmetingen 54 cm bij 92 cm. Zie de volgende figuur.

De drie plakranden zijn allemaal 2 cm breed. De hoogte van de dozen die hiervan gemaakt kunnen worden, is instelbaar op de snijmachine. Deze variabele hoogte noemen we x. Bij het snijden van de doos uit het stuk karton worden de grijze delen weggesneden. Na het vouwen en plakken krijg je een doos zoals in de figuur rechts,
De inhoud van deze doos wordt gegeven door de formule:
inhoud = x(45 - x)(50 - 2x)   voor   0 < x < 25

In deze formule is de hoogte x in cm en de inhoud in cm3 

Er zijn twee verschillende modellen dozen met een inhoud van 5000 cm3 . 

5p

11.

 Bereken van beide modellen de afmetingen.
3p

12.

 Bereken de maximale inhoud  van een doos die uit zo'n stuk karton gemaakt kan worden.

 

Remweg.
In de ergernis-top-tien van automobilisten staat bumperkleven hoog genoteerd.
Automobilisten vinden het blijkbaar nogal ergerlijk als andere automobilisten op zeer korte afstand achter hen rijden.
Voor het bepalen van een veilige afstand tussen twee auto's bekijkt men vaak de remweg. Dat is de afstand die een automobilist nodig heeft om,  vanaf het moment dat hij gevaar herkent, zijn auto tot stilstand te brengen.
De remweg bestaat uit twee gedeelten:
I de afstand die wordt afgelegd tussen het moment van het herkennen van het gevaar en het moment van het intrappen van de rem.
II de afstand die remmend wordt afgelegd tot de auto stilstaat.
In de volgende figuur worden deze gedeelten verduidelijkt.

De formule voor de remweg bestaat dus ook uit twee gedeelten (zie figuur hierboven):

Hierin is:
r de remweg in meters
v de snelheid in km/uur
treactie de reactietijd in seconden, dat wil zeggen de tijd tussen het moment van het herkennen van het gevaar en het moment van het intrappen van de rem.
c de wrijvingscoëfficiënt tussen de weg en de banden.
Voor een aantal wegtypen en weersomstandigheden geeft de volgende tabel enkele waarden van c.

Droog wegdek

 Nieuwe banden Oude banden

Beton
Asfalt
Zandweg

 0,85
0,80
0,50		 0,95
0,90
0,50

Nat wegdek

 Nieuwe banden Oude banden

1 mm water
2 mm water
IJs

 0,55
0,45
0,10		 0,40
0,30
0,20
Een automobilist rijdt met nieuwe banden onder zijn auto op een droog wegdek van beton met een snelheid van 50 km/uur. Zijn reactietijd is 0,4 seconden.
3p

13.

 Toon met een berekening aan dat zijn remweg  ruim 17 meter is.
Een automobiliste rijdt met een snelheid van 60 km/uur op oude banden in een regenbui, waardoor er 1 mm water op de weg ligt. Het begint harder te regenen: de hoeveelheid water op de weg neemt toe tot 2 mm. Haar reactietijd blijft 0,3 seconden.
4p

14.

 Bereken met hoeveel procent haar remweg toeneemt als zij haar snelheid niet aanpast.
In het vervolg van deze opgave geldt:  treactie = 0,5 en c = 0,75
De formule voor de remweg wordt dan gegeven door:
r = 0,14 • v + 0,005 • v2 

Men zegt wel eens dat bij lage snelheden de reactietijd de belangrijkste bijdrage levert aan de remweg, terwijl bij hoge snelheden de snelheid de belangrijkste bijdrage levert.
4p

15.

 Bij welke snelheid is de bijdrage aan de remweg als gevolg van de reactietijd net zo groot als de bijdrage aan de remweg als gevolg van het remmen? Licht je antwoord toe.

4p

16.

 Stel de afgeleide van r op, bereken de waarde van die afgeleide voor v = 120 en leg uit wat dit getal betekent voor de remweg.
Euromunten.
Toen in januari 2002 de gulden werd vervangen door de euro was dat een hele operatie. Zo moesten alle banken en winkels worden bevoorraad met de nieuwe euromunten en moesten alle automaten worden aangepast. De omschakeling verliep overigens vrij soepel.

Van elk van de acht verschillende euromunten is de diameter normaal verdeeld. Zo hebben de munten van 1 euro een gemiddelde diameter van 23,25 mm met een standaardafwijking van 0,10 mm.
4p

17.

 Bereken hoeveel procent van de munten van 1 euro een diameter heeft van meer dan 23,40 mm.

De diameter van de munt van 2 euro is gemiddeld 25,75 mm. Een automaat is zo nauwkeurig afgesteld dat een munt van 2 euro wordt geweigerd als deze meer dan 0,40 mm van het gemiddelde afwijkt.
In de automaat worden 10000 willekeurige munten van 2 euro gedaan.
De automaat weigert daarvan 3 munten met een te kleine diameter en ook drie munten met een te grote diameter. 
5p

18.

 Bereken op grond van deze gegevens de standaardafwijking van de diameter van de munt van 2 euro. Geef je antwoord in 2 decimalen.

 

Concentratie van vloeistoffen.
Een vloeistof wordt bewaard in een vat. Na het gebruik van de vloeistof is het vat nooit helemáál leeg. Om het vat weer te kunnen gebruiken moet het eerst worden schoongespoeld.
In onderstaande figuur zie je hoe dat wordt gedaan. Onder in het vat zit nog een restant vloeistof. Via de pijp linksonder wordt een spoelmiddel in het vat gepompt. Het restant vloeistof vermengt zich met het spoelmiddel.
Na een tijdje is het vat vol. Maar het erin pompen van het spoelmiddel gaat door en zo stromen spoelmiddel en vloeistof het vat weer uit via de uitgang rechtsboven. Het spoelen gaat door tot er (vrijwel) niets meer over is van de oorspronkelijke vloeistof.

Het vat van de figuur hierboven heeft een inhoud van 400 liter. Onderin zit nog 0,8 liter vloeistof en daarin zit 20000 mg van een chemische stof.
Het spoelmiddel wordt met 25 liter per minuut in het vat gepompt.
Onder de concentratie C wordt verstaan: de hoeveelheid chemische stof in milligram per liter vloeistof.
Tijdens het vollopen van het vat geldt voor C de formule:

Hierin is s de tijd in minuten. Op s = 0 begint het pompen van het spoelmiddel in het vat. Deze formule geldt tot het vat vol is, dus tot het moment dat het uitstromen begint. 
3p

19.

 Leg uit waarom deze formule juist is.

Als het vat vol is stroomt er evenveel het vat uit als het vat in. De concentratie van de chemische stof neemt nu exponentieel af. We noemen de tijd in minuten t. Op t = 0 is het vat vol en begint het uitstromen. Op t = 0 is de 20000 mg chemische stof inmiddels opgelost in 400 liter vloeistof. Daardoor is de concentratie op dat tijdstip nog maar 50 mg per liter.

In de volgende tabel zie je de concentratie C van de chemische stof voor enkele waarden van t. 
t (in minuten) 0 4 8 12
C (in milligram per liter) 50,00 38,94 30,32 23,61
3p

20.

 Bereken de groeifactor per minuut van dit exponentiële proces. Geef je antwoord in vier decimalen.

Een maand later moet het vat opnieuw worden schoongespoeld. Op de bodem van het vat bevindt zich 10000 mg droge chemische stof. Verder is het vat leeg.
men pompt met een snelheid van 25 liter per minuut het spoelmiddel in het vat. De chemische stof vermengt zich met het spoelmiddel. Als het vat vol is, gaat men door met pompen tot de concentratie uiteindelijk nog maar 1 milligram per liter is. Voor de concentratie C van het volle vat geldt de formule:
C = 25 • 0,94t

Hierin is t de tijd in minuten, gerekend vanaf het begin van het uitstromen.
5p

21.

 Hoeveel minuten duurt het pompen in totaal tot de concentratie 1 milligram per liter is?
Licht je werkwijze toe en geef je antwoord in gehele minuten.
OPLOSSING
 
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Dat zijn de categorieën C, D en E samen.
Die lopen van ongeveer 38 tot ongeveer 58%
Dat is dus 58 - 38 = 20%.
2.
klasse A B C D E F G H I
klassenmidden 1 3 5 7 9 11 19 39 78
% 8 12 17 23 17 9 6 5 3

Het gemiddelde is dan ongeveer  (1• 8 + 3 • 12 + 5 • 17 + ... + 78 • 3)/100 ≈ 11 weken
3. Het derde kwartiel vind je bij 75% dus ligt in klasse H.
Klasse H loopt van ongeveer 71% tot 97% en bestrijkt dus 97 - 71 = 26%
Klasse H loopt van 26 tot 52 weken en bestrijkt dus 26 weken.
Bij 26% hoort 26 weken, dan hoort (lineair) bij 4 % = 4 weken.
Het derde kwartiel zal dus 4 weken vanaf het begin van klasse H zitten,
dus bij ongeveer 26 + 4 = 30 weken.
4. Van de lagere wachttijden zijn er veel, van de hogere steeds minder. Dus de cumulatieve polygoon loopt in het begin steil omhoog en vlakt daarna af.
Dat is zo bij figuur IV.
5. P(MM) = 1/2 • 2/3 = 1/3
P(MJ) + P(JM) = 1/2 • 1/3 + 1/2 • 1/3 = 1/3
P(JJ) = 1/2 • 2/3 = 1/3.
6. P(JJMM) = 1/2 • 2/3 • 1/4 • 2/5 = 1/30
P(MJMJ) = 1/2 • 1/3 • 2/4 • 2/5 = 1/30
7. P(MMMMMMMM) = 1/2 • 2/3 • 3/4 • 4/5 • 5/6 • 6/7 • 7/8 • 8/9 = 1/9
En dat is meer dan 10%
8. Op elkaar zijn de afmetingen 142 bij 125 bij (2 • 7 + 10 +10) = 142 bij 125 bij 34
Met de doos eromheen wordt dat  144 bij 127 bij 36
36 mm is dikker dan 3,2 cm dus dat kan niet door de brievenbus, dus kost 4,88
9. doos 1:
2 maxisingles. Afmetingen 142 • 125 • 7 en met de doos  144 • 127 • 9
kan dus door de brievenbus. Gewicht is 2 • 68   + 28 = 164 gram
kost dus 1,56

doos 2:
1 dubbel-cd + 1 gewone cd, kan ook door de brievenbus.
weegt 112 + 97 + 28 = 237 gram en kost 1,56

totale kosten 2 • 1,56 = 3,12. Dus het kan WEL.
10. Normaal zou het 82 • 4,88 = 400,16 kosten.

539 gram is 0,539 kg dus het gemiddelde zit tussen 0 en10 kg.
Dat kost per pakje 4,50, dus in totaal 82 • 4,50 = 369,00
Verder per kg nog 0,26 en er wordt 82 • 0,539 = 44,198 kg verstuurd, dus dat kost 44,198 • 0,26 = 11,49
Totale kosten zijn dus 369 + 11,49 = 380,49

De besparing is 400,16 - 380,49 = 19,67.
11. Y1 = x(45 - x)(50 - 2x)  en  Y2 = 5000
window bijv. Xmin = 0, Xmax = 25, Ymin = 0, Ymax = 20000
intersect levert x ≈ 2,64  of  x = 20

De afmetingen zijn dan ongeveer  2,64 × 42,36 × 44,72   of precies  20 × 25 × 10
12. Met dezelfde rekenmachine-instellingen als bij vraag 11) vind je met calc - maximum (Y1) een maximale inhoud bij x ≈ 10,31 en die inhoud is ongeveer 10507,875  cm3
13. c = 0,85 en v = 50 en t = 0,4 invullen in de gegeven formule geeft r = 17,13... en dat is ruim 17 meter.
14. eerst:  v = 60,  c = 0,40, t = 0,3  invullen geeft 40,43 meter
later:  v = 60, c = 0,30,  t = 0,3 invullen geeft 52,24 meter
dat is een toename van 52,24 - 40,43 = 11,81 meter en dat is  11,81/40,43 • 100% = 29,2%
15. het eerste deel van de formule is de reactietijd, het tweede deel de het remmen.
|die zijn gelijk als:  0,14v = 0,005v2  ⇒  0,14v - 0,005v2 = 0  ⇒  v(0,14 - 0,005v) = 0
⇒  v = 0  of  0,14 = 0,005v  ⇒  v = 0  of  v = 0,14/0,005 = 28
Dus de bijdragen zijn gelijk voor v = 0 of v = 28

(het kan natuurlijk ook met intersect...)
16. r '= 0,14 + 2 • 0,005v = 0,14 + 0,01v
r '(120) = 115,2
Dat betekent dat bij een snelheid van 120 km/uur de remweg toeneemt met 115,2 meter per km/uur extra.
17. normalcdf(23.40, 10000..., 23.25, 0.10) = 0,0668  dus dat is 6,68%
18. tussen de 25.35 en 26.15 mm vallen dus 994 van de 10000 munten en dat is 99,4%
dus moet gelden  normalcdf  (25.35 , 26.15, 25.75, X) = 0,994
Y1 = (25.35 , 26.15, 25.75, X) en Y2 = 0,994
window bijv. Xmin = 0,  Xmax =  0.5, Ymin = 0.9, Ymax = 1
intersect geeft X » 0,15
19. concentratie = hoeveelheid stof/ aantal liter vloeistof.
de hoeveelheid stof is 20000
de hoeveelheid vloeistof is in het begin 0,8, en er komt elke minuut 25 liter bij, dus 0,8 + 25s
20. de factoren zijn achtereenvolgens:  38.94/50.00 ≈ 0,7788 en 30,32/39,94 ≈ 0,7786 en 23,61/30,32 ≈ 0,7786
dat is allemaal ongeveer 0,779
maar dit is in 4 minuten, dus g4 = 0,779 ⇒  g = 0,7791/4 ≈ 0,9395

(opm: dit is eigenlijk veel te nauwkeurig, want 50,00 • 0,939512 = 23,64 en niet 23,61. Beter zou zijn te zeggen g12 = 23,61/50,00 = 0,4722 ⇒ g ≈ 0,9394)
21. 25 • 0,94t = 1  ⇒  0,94t = 1/25 = 0,04  ⇒  t = log(0,04)/log(0,94) » 52
Vanaf het begin van het uitstromen duurt het dus 52 minuten.
tot het uitstromen begint duurt 400/25 = 16 minuten
in totaal dus 52 + 16 = 68 minuten vanaf het begin van het pompen.