Nieuwe pagina 1

Servicekosten.

Een flat bestaat uit vijf woonlagen. Woonlaag 1 bevindt zich op de begane grond, woonlaag 2 op de eerste verdieping, woonlaag 3 op de tweede verdieping, enzovoort. Op elke woonlaag zijn evenveel woningen.
De woonlagen zijn te bereiken via een trappenhuis. De kosten van de verlichting van dit trappenhuis bestaan uit energiekosten en kosten die worden gemaakt in verband met het vervangen van lampen. Deze servicekosten moeten door de bewoners van de flat worden betaald. De verhuurder verdeelt de jaarlijkse kosten van 720 euro gelijkmatig over de woonlagen. Iedere woonlaag moet dus 144 euro betalen.
De bewoners van woonlaag 1 maken hiertegen bezwaar. Voor hen hoeft er alleen op woonlaag 1 in het trappenhuis licht te branden, dus waarom zouden ze voor de vier andere woonlagen betalen?

De verhuurder voelt iets voor dit argument.
Hij laat elke andere woonlaag twee keer zoveel betalen als woonlaag 1.

Bereken het bedrag dat woonlaag 1 moet betalen.

Nu komen de bewoners van woonlaag 2 in opstand. Ze willen wel betalen voor het licht in het trappenhuis op woonlaag 1 en 2. Maar voor de verlichting op de hogere woonlagen willen ze niet betalen.
De verhuurder laat de bewoners alleen betalen voor de verlichting die ze daadwerkelijk 'gebruiken'. De bedragen voor de woonlagen verhouden zich dan als 1 : 2 : 3 : 4 : 5.

Bereken voor elke woonlaag het bedrag dat betaald moet worden.

De verhuurder bezit ook andere flats, waarvan sommige met veel meer woonlagen. Ook daar worden de servicekosten verdeeld over de woonlagen in de verhouding 1 : 2 : 3 : 4 : ... .
Om de kosten in een flat op deze manier te verdelen heeft de verhuurder de volgende formule opgesteld:

Hierin is P het percentage van de servicekosten dat de k^de woonlaag moet betalen in een flat met n woonlagen.

Toon aan dat de bovenste drie woonlagen van een flat, bestaande uit 21 woonlagen, meer dan ¹/₄ deel van de servicekosten moeten betalen.

In een flat betaalt de tweede woonlaag minder dan 1% van de servicekosten.

Hoeveel woonlagen heeft deze flat minstens? Licht je antwoord toe.

EPO.

Uit de wielersport komen de laatste jaren regelmatig berichten over dopinggebruik. Wielrenners lijken steeds vaker naar verboden middelen te grijpen om hun prestaties te verhogen. Een van de meest genoemde stoffen is erytropoëtine, kortweg EPO. Dit middel bevordert de aanmaak van rode bloedlichaampjes, waardoor de zuurstoftransportfunctie van het bloed wordt vergroot. Je gaat hierdoor beter presteren.
De hematocrietwaarde is de hoeveelheid rode bloedlichaampjes als percentage van de totale hoeveelheid bloed. Die hematocrietwaarde stijgt dus als een wielrenner EPO gaat gebruiken.

Bij een wielerwedstrijd in 1977 heeft men de hematocrietwaarde van een aantal wielrenners gemeten. Daarvan staan de meetresultaten in de volgende tabel.

Hematocrietwaarde	41	42	43	44	45	46	47	48	49
Frequentie	2	3	5	11	15	8	4	3	2

Hematocrietwaarde	50	51	52	53	54	55	56	57
Frequentie	1	0	0	1	2	0	0	1

Bereken de gemiddelde hematocrietwaarde van deze wielrenners.

Ook in 1988 en 1999 heeft men bij deze wielerwedstrijd van een aantal wielrenners de hematocrietwaarde gemeten.
In 1998 was de gemiddelde hematocrietwaarde 45,9.
De hematocrietwaarden uit 1999 zijn verwerkt in onderstaande boxplot.

Toon aan dat, op grond van de boxplot, de gemiddelde hematocrietwaarde in 1999 zeker groter was dan in 1998.

In de rest van deze opgave gaan we er van uit dat voor wielrenners die geen EPO gebruiken geldt: de hematocrietwaarde is normaal verdeeld met een gemiddelde van 45 en een standaardafwijking van 2,7.

Hoeveel procent van de wielrenners die geen EPO gebruiken geeft een hematocrietwaarde die hoger is dan 46? Licht je antwoord toe.

Het gebruik van EPO is lastig aan te tonen, maar de hematocrietwaarde kan wel worden gemeten. Iedere wielrenner met een te hoge hematocrietwaarde krijgt ene startverbod opgelegd. De UCI, de internationale wielerbond, hanteert een grens van 50. Volgens de UCI is er voor een wielrenner met een hematocrietwaarde boven die grens een gezondheidsrisico wanneer hij aan wedstrijden deelneemt. Een te hoge hematocrietwaarde is geen bewijs voor EPO-gebruik, want sommigen hebben van nature een hoge hematocrietwaarde en zijn dus 'onschuldig'.
Volgens sommigen is die grens van 50 te streng. Er zouden dan teveel onschuldige wielrenners worden gestraft met een startverbod. Deze critici stellen voor de grens te veranderen. Van de wielrenners die geen EPO gebruiken zal dan 1% een startverbod krijgen wegens een te hoge hematocrietwaarde.

Hoe groot zou die nieuwe grens moeten zijn? Licht je antwoord toe.

Autobanden.

In 1995 voorspelde men dat er in 2003 in de VS 80 miljoen personenauto's zullen zijn. Deze voorspelling was gebaseerd op het aantal personenauto's in 1995 en een jaarlijks groeipercentage van 3,5%.

Bereken het aantal personenauto's in 1995.

Drivewell, een fabriek in de VS die banden voor personenauto's produceert, onderzocht het verband tussen het aantal personenauto's in de VS en het aantal banden dat deze fabriek verkoopt. Uit dit onderzoek bleek dat het aantal banden dat Drivewell verkoopt bij benadering lineair afhankelijk is van het aantal personenauto's in de VS. Zie de volgende figuur.

De getekende lijn gaat door de punten (41; 1.6) en (65; 5.2). Daarmee kun je een vergelijking van de lijn opstellen.

10.

Bereken met behulp van een vergelijking van deze lijn het aantal banden dat Drivewell waarschijnlijk zal verkopen in 2003.

Drivewell heeft slechts één belangrijke concurrent: GoodDay. De winst van Drivewell is onder andere afhankelijk van de eigen reclame-uitgaven, maar blijkt ook afhankelijk te zijn van de reclame-uitgaven van concurrent GoodDay. De winst voor Drivewell is maximaal wanneer de reclame-uitgaven op de volgende manier op de reclame-uitgaven van GoodDay worden afgestemd:

D = 9300 • G^0,5 - G

Hierin is D de reclame-uitgaven van Drivewell (in dollars) en G de reclame-uitgaven van GoodDay ( in dollars).
Verder is uit de praktijk gebleken dat GoodDay per jaar niet meer dan 60 000 000 (60 miljoen) dollar aan reclame uitgeeft. De directie van Drivewell gebruikt deze formule om de eigen reclame-uitgaven te berekenen.

In een zeker jaar bedragen de reclame-uitgaven van Drivewell 10 000 000 dollar.

11.

Hoe groot waren de reclame-uitgaven van GoodWay in dat jaar? Licht je antwoord toe.

12.

Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine hoe hoog het bedrag is dat Drivewell maximaal per jaar aan reclame moet uitgeven.

13.

Stel de afgeleide functie van D op, bereken daarmee D'(10 000 000) en leg uit wat de betekenis van dit getal is voor de reclame-uitgaven van Drivewell.

Memory.

Memory is een spel dat je speelt met kaarten. Op iedere kaart staat een plaatje. Elk plaatje komt twee keer voor. Bij het begin van het spel liggen de kaarten op tafel met de plaatjes naar beneden. Als je aan de beurt bent mag je twee kaarten omdraaien. Zijn de plaatjes hetzelfde, dan pak je de twee kaarten weg en mag je nog een keer. Zijn de plaatjes verschillend dan leg je de kaarten weer met de plaatjes naar beneden op hun plaats en is de volgende speler aan de beurt. Wie de meeste kaarten verzamelt wint het spel. Peter en Anneke spelen Memory met 16 kaarten, dus met 8 verschillende plaatjes. Peter is als eerste aan de beurt en draait twee kaarten om.

3p	14.	Toon aan dat de kans op twee kaarten met dezelfde plaatjes gelijk is aan ¹/₁₅.

In de rest van deze opgave spelen Rianne en Widolf het spel met acht kaarten. De plaatjes zijn: 2 vierkanten, 2 cirkels, 2 driehoeken en 2 rechthoeken. Rianne mag beginnen.

5p	15.	Bereken de kans dat zij in haar beurt alle kaarten wegpakt.

Rianne draait in haar eerste beurt de beide kaarten met de rechthoeken om. Die twee kaarten zijn dus voor haar. Ze blijft aan de beurt en draait een kaart om met een vierkant en een met een cirkel. Zie volgende figuur..



Rianne en Widolf weten welke plaatjes er staan op de vier kaarten die nog niet zijn omgedraaid. Maar ze weten niet op welke plaats welk plaatje ligt. Er zijn immers nog heel wat mogelijkheden om deze plaatjes op vier plaatsen te rangschikken.

4p	16.	Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn.

Tijdens het spel is de volgende situatie ontstaan. Er liggen nog vier kaarten op tafel en Widolf is aan de beurt. Hij weet dat op de tweede kaart een vierkant staat. Zie onderstaande figuur. Op de andere drie kaarten staan nog een vierkant en twee keer een driehoek.



Widolf wil de laatste twee paren kaarten in één beurt pakken. Hij heeft dan twee mogelijke strategieën:
•	strategie 1: hij draait eerst de kaart om waarvan hij weet dat er een vierkant op staat.
•	strategie 2: hij draait eerst een van de andere drie kaarten om.

Strategie 2 is de slimste aanpak, omdat Widolf daarmee de grootste kans heeft om zijn doel te bereiken

6p	17.	Toon dit aan door voor beide strategieën de kans op succes te berekenen.

Nieuwe tijden.

Swatch, het trendy Zwitserse horlogemerk, heeft een nieuw tijdsysteem bedacht naast het huidige tijdsysteem. In ons gewone tijdsysteem geven we de tijd aan in uren, minuten en seconden. Het nadeel hierbij is dat het niet overal op aarde even laat is. Daarom moet je goed nadenken hoe laat je vanuit Nederland moet bellen om bijvoorbeeld iemand in New York tijdens zijn lunch te bereiken.
In dat nieuwe tijdsysteem is het overal op de wereld even laat. Het nieuwe systeem werkt als volgt. Een etmaal van 24 uur wordt verdeeld in 1000 eenheden, beats genaamd. Daarbij heeft men afgesproken dat 000 beat valt op middernacht in Zwitserland, waar Swatch vandaan komt. Wanneer het daar 570 beat is, is het overal op de wereld 570 beat.
De notatie in beats is als volgt: @570.

18.

Toon aan dat 1 beat 86,4 seconden duurt.

De aarde is verdeeld in 24 verschillende tijdzones. Deze zones zijn vastgelegd ten opzichte van de nulmeridiaan die door Greenwich in Groot-Brittannië loopt. Zo ligt Zwitserland net als Nederland in tijdzone GMT+1. Dat wil zeggen dat het hier 1 uur later is dan op de nulmeridiaan. De stad New York, waar het 5 uur vroeger is dan op de nulmeridiaan ligt in tijdzone GMT-5.

Je neemt vanuit Taiwan om @470 contact op met iemand in Nederland.

19.

Bereken in minuten nauwkeurig hoe laat het dan in Nederland is volgens het gewone tijdsysteem.

In deze figuur zie je een horloge dat de tijd weergeeft volgens beide tijdsystemen.

20.

Van welke tijdzone geeft dit horloge de tijd aan? Licht je antwoord toe.

Met een formule kan elk tijdstip in Zwitserland (in uren, minuten en seconden) worden omgerekend naar beats. Deze formule is van de volgende vorm:

B = a • U + b • M + c • S

Hierbij zijn U, M en S respectievelijk de aantallen uren, minuten en seconden in het huidige tijdsysteem, en B de bijbehorende tijd in beats.

21.

Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de waarden van a, b en c.

OPLOSSING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Dan betalen dus 4 woonlagen 2 keer en 1 woonlaag 1 keer. In totaal wordt er dan 9 keer "betaald", dus per keer ⁷²⁰/₉ = 80 euro. Woonlaag 1 betaalt 1 keer, dus 80 euro.

2.	1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 keer "betalen" Elke keer betalen is dus ⁷²⁰/₁₅ = 48 euro. De lagen betalen dus respectievelijk 48 - 96 - 144 - 192 - 240 euro.

3.	n = 21 geeft P = ^200k/₄₆₂ k = 21 betaalt 9,09% k = 20 betaalt 8,66% k = 19 betaalt 8,23% samen is dat 25,98 % en dat is meer dan 25% (¹/₄)

4.	k = 2 geeft P = ⁴⁰⁰/_{(n (n + 1))}en er moet gelden P < 1 Y1 = 400/(X(X+ 1)) en Y2 = 1 window bijv. Xmin = 0, Xmax = 50, Ymin = 0, Ymax = 2 intersect levert X = 19,50 De flat heeft dus minstens 20 woonlagen. algebraïsch kan ook: ⁴⁰⁰/_{(n (n + 1))}= 1 ⇒ 400 = n(n + 1) ⇒ 400 = n² + n ⇒ n² + n - 400 = 0 en dan de ABC-formule met a = 1, b = 1 en c = -400

5.	^{(41 • 2 + 42 • 3 + 43 • 5 + ... + 57 • 1)}/_{(2 + 3 + 5 + ... + 1)} = ²⁶⁴⁸/₅₈ » 45,66

6.	Als alle metingen in elk van de kwarten van de boxplot helemaal aan de linkerkant zouden zitten, dan was het gemiddelde nog 41 • 25% + 46 • 25% + 48 • 25% + 50 • 25% = 46,25 en dat is meer dan de 45,9 van 1998. De gemiddelde waarde in 1999 kan niet kleiner zijn dan 46,25.

7.	normalcdf(46, 1000..., 45, 2.7) = 0,3555 dus ongeveer 36%

8.	normalcdf(X, 1000..., 45, 2.7) = 0,01 Y1 = normalcdf(X, 1000..., 45, 2.7) en Y2 = 0,01 window bijv. Xmin = 30 Xmax = 60, Ymin = 0, Ymax = 0,02 intersect levert X ≈ 51,3

9.	3,5% betekent een groeifactor 1,035. Tussen 1995 en 2003 zitten 8 jaar. 80 = B • 1,035⁸ ⇒ 80 = B • 1,3168 ⇒ B = ⁸⁰/_1,3168 = 60,75 Dus 60,75 miljoen in 1995.

10.	hellinggetal ^{(5,2 - 1,6)}/_{(65 - 41)} = 0,15 De vergelijking wordt dus B = 0,15A + b Vul bijv. (41, 1.6) in: 1,6 = 0,15 • 41 + b = 6,15 + b dus b = 1,6 - 6,15 = -4,55 De vergelijking is B = 0,15A - 4,55 A = 80 geeft dan B = 7,45. Dus Drivewell zal waarschijnlijk 7,45 miljoen banden verkopen in 2003.

11.	10000000 = 9300 • G^0,5 - G Y1 = 10000000 en Y2 = 9300 • X^0,5 - X window bijv. Xmin = 0, Xmax = 10000000, Ymin = 0, Ymax = 20000000 intersect levert X ≈ 1539637 dollar

12.	Y2 = 9300 • X^0,5 - X window Xmin = 0, Xmax = 60000000, Ymin = 0, Ymax = 40000000 calc- maximum geeft Y ≈ 21622500 dollar

13.	D' = 0,5 • 9300 • D^-0,5 - 1 = 4650 • D^-0,5 - 1 D'(10000000) ≈ 0,47 Als Goodway 10000000 dollar uitgeeft, dan betekent elke dollar die Goodway extra uitgeeft 0,47 dollar extra voor Drivewell. (het bedrag van Drivewell groeit dan met 0,47 dollar "per dollar Goodway")

14.	Het eerste kaartje doet er niet toe. Het tweede kaartje moet het zelfde zijn als het eerste. Daarvan is er nog maar één tussen de overgebleven 15. De kans is daarom ¹/₁₅.

15.	Eerste kaart doet er niet toe (kans 1), tweede moet dezelfde zijn, derde doet er niet toe, vierde moet dezelfde zijn, enz. Geeft een kans 1 • ¹/₇ • 1 • ¹/₅ • 1 • ¹/₃ • 1 • 1 = ¹/₁₀₅≈ 0,0095

16.	4 • 3 • 2 • 1 = 24 mogelijkheden.

17.	strategie 1. De kans dat het tweede plaatje ook een vierkant is, is ¹/₃. strategie 2 Als de eerste kaart een vierkant is heeft hij al gewonnen. De kans daarop is ¹/₃. Als de eerste kaart een driehoek is (kans ²/₃) heeft hij nog een kans dat de tweede kaart ook een driehoek is, de kans daarop is ¹/₂. Dat geeft totale succeskans ²/₃ • ¹/₂ = ¹/₃ Samengenomen heeft strategie 2 kans ¹/₃ + ¹/₃ = ²/₃ om te slagen.

18.	24 uur is 24 • 60 • 60 = 86400 seconden en dat komt overeen met 1000 beats. 1 beat is dan ⁸⁶⁴⁰⁰/₁₀₀₀ = 86,4 seconden.

19.	470 beats is 470 • 86,4 = 40608 seconden. Dat is 11 uur en 1008 seconden. Dat is 11 uur en 16 minuten en 48 seconden. In Zwitserland is het dus 11:16:48 In Nederland is het dan 12:16:48 ofwel ongeveer 17 minuten over 12 (overdag)

20.	@352 is 352 • 86,4 = 30412,8 seconden Dat is 8 uur en 1612,8 seconden en dat is 8 uur en 26 minuten en 52,8 seconden In Zwitserland is het dus ongeveer 8:27 uur Op dit horloge is het 5:27 uur, dus dat is 3 uur eerder. Maar Zwitserland ligt in GMT + 1 De tijdzone is daarom GMT-2 (of GMT+22)

21.	Het aantal seconden dat een dag heeft geduurd is gelijk aan 3600U + 60M + S Het aantal beats vind je door het aantal seconden te delen door 86,4 (want 86,4 seconden is 1 beat) Dat geeft B = ³⁶⁰⁰/_86.4U + ⁶⁰/_86,4M + ¹/_86,4S » 41,6667U + 0,6944M + 0,0116S Conclusie: a ≈ 41,6667 en b ≈ 0,6944 en c ≈ 0,0116

HAVO WA12, 2002 - I