HAVO WA12, 2001 - I

 

Misdrijven.
Elk jaar worden in Nederland veel misdrijven gemeld. Deze variëren van het stelen van een chocoladereep tot het plegen van een moord. Misdrijven worden gemeld bij het Openbaar Ministerie (OM). Het OM beslist dan over de (eventuele) vervolging van de daders.
In de volgende figuur vind je informatie over misdrijven die in 1996 werden gemeld.

De getallen langs de horizontale as geven voor elke categorie aan hoeveel seconden er gemiddeld tussen twee opeenvolgende meldingen zitten. Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat in 1996 in Nederland (gemiddeld) elke 135 seconden een inbraak werd gemeld.
Let op: 1996 was een schrikkeljaar en had dus 366 dagen.

In de figuur komt ook de categorie 'fietsdiefstal' voor.
4p

1.

 Toon aan dat er in 1996 ongeveer 670000 keer een fietsdiefstal werd gemeld.

 

Als je de staafjes en de getallen in de figuur bekijkt, dan zie je:
• van links naar rechts zijn de getallen steeds kleiner
• van links naar rechts zijn de staafjes steeds langer.
3p

2.

 Leg uit hoe uit de getallen kan worden afgeleid dat een langere staaf bij een groter aantal misdrijven hoort.
In drie van de tien categorieën misdrijven komt het woord diefstal voor, namelijk: 'fietsdiefstal', 'diefstal overige' en 'diefstal uit auto'.
Je kunt deze drie categorieën samenvoegen tot één (nieuwe) categorie 'diefstal'. Je moet dan de drie bijbehorende staafjes vervangen door één (nieuwe) staaf. Onder deze nieuwe staaf 'diefstal' moet dan ook weer een getal staan.
4p

3.

 Bereken welk getal onder deze nieuwe staaf 'diefstal' moet staan.

 

Bij veel gemelde misdrijven is er geen verdachte aangewezen. Is er gaan verdachte, dan komt er ook geen strafzaak. In 1996 werden er door het OM 242100 strafzaken afgehandeld. In de onderstaande tabel vind je informatie over de manier waarop die afhandeling plaatsvond.

4p

4.

 Bereken hoeveel procent van alle 242100 strafzaken tot een geldboete leidde.
Het aantal strafzaken dat het OM met een transactie afhandelt groeit elk jaar fors. In 1990 werden 50 000 strafzaken met een transactie afgehandeld. In 1996 waren dat er al 62 200.
Neem aan dat het aantal strafzaken dat met een transactie wordt afgehandeld elk jaar met het zelfde percentage groeit.
5p

5.

 Bereken dit percentage.

 

 

Verwarming.
Om een kamer goed te kunnen verwarmen moet de verwarmingsradiator voldoende capaciteit hebben. Een grote kamer heeft natuurlijk een radiator met een grotere capaciteit nodig dan een kleine kamer.
De verwarmingsinstallateur bepaalt aan de hand van  onderstaande tabel hoe groot de capaciteit van een radiator moet zijn. De inhoud van een kamer (vertrek) wordt gegeven in m3 en de capaciteit van de radiator in Watt.
Benodigde capaciteit
in Watt per m3 		 vertrekken met 1 buitenmuur vertrekken met 2 buitenmuren vertrekken met 3 buitenmuren
  kleiner
dan
50 m3 		 van
50 m3
tot
150 m3 		 groter
dan
150 m3 		 kleiner
dan
50 m3 		 van
50 m3
tot
150 m3 		 groter
dan
150 m3 		 kleiner
dan
50 m3 		 van
50 m3
tot
150 m3 		 groter
dan
150 m3 
begane grond 70 60 55 85 70 60 100 80 70
1e verdieping 60 55 50 70 60 50 80 70 60
2e verdieping 70 60 55 85 70 60 100 80 70
badkamers als voor een normaal vertrek,  met een toeslag van 20%
In deze tabel lees je bijvoorbeeld af dat voor een kamer van 40 m3 op de tweede verdieping met twee buitenmuren een radiator met een capaciteit van 85 × 40 = 3400 Watt nodig is.

Iemand heeft nog een oude radiator die geschikt was om de kinderkamer te verwarmen. Hij vraagt zich af of deze radiator geschikt is voor de vernieuwde badkamer. De kinderkamer van 30 m3 was op de begane grond en had één buitenmuur. De badkamer op de eerste verdieping is wel kleiner, de inhoud is maar 24 m3, maar er zijn twee buitenmuren. En in een badkamer moet het iets warmer zijn dan in andere vertrekken: volgens de tabel is daarvoor 20% extra capaciteit nodig. 
5p

6.

 Heeft de oude radiator voldoende capaciteit? Licht je antwoord toe.
Vaak worden grafieken gebruikt in plaats van tabellen. De installateur kan dan direct aflezen hoeveel capaciteit een radiator moet hebben. Het is mogelijk om met behulp van de tabel hierboven zulke grafieken te maken. In onderstaande figuur is een deel van de grafiek getekend voor vertrekken met 1 buitenmuur op de begane grond. De grafiek is getekend voor een inhoud kleiner dan 150 m3 .

In de figuur ontbreekt het deel voor vertrekken met een inhoud tussen 150 en 200 m3 .
4p

7.

 Teken in de figuur dat ontbrekende deel van de grafiek voor vertrekken met één buitenmuur op de begane grond.

 

Een installatiebureau gebruikt formules om de benodigde capaciteit uit te rekenen. Onderstaande formule is voor vertrekken met één buitenmuur op de begane grond. De formule geldt voor vertrekken waarvan de inhoud niet groter is dan 200 m3 
C = -0,12 • I2 + 70 • I + 315     met I de inhoud in m3 en C de capaciteit in Watt.

De afgeleide van deze formule is ook alleen geldig voor vertrekken met een inhoud van hoogstens 200 m3 

6p

8.

 Toon aan met behulp van de afgeleide dat bij vertrekken met grotere inhoud
• de capaciteit steeds toeneemt,  en
• de toename steeds minder sterk is.

 

De kleurenblinde en de glasbak.
Ongeveer een half miljoen Nederlanders is kleurenblind. Een kleurenblinde ziet (bijna) geen verschil tussen (bepaalde) kleuren. Gekleurde flessen zijn groen of bruin. Sommige kleurenblinden zien geen verschil tussen groen en bruin. Zij staan met hun lege flessen voor de glasbak en weten niet of ze een gekleurde fles in het gat voor groen glas of in het gat voor bruin glas moeten gooien.

Peter is kleurenblind. Hij kan de groene en de bruine flessen niet van elkaar onderscheiden. Als Peter met zijn lege flessen bij de glasbak komt, gooit hij de witte flessen altijd in het juiste gat. Bij een gekleurde fles kiest hij aselect tussen het gat voor groen en het gat voor bruin. De kans dat een groene of bruine fles in het goede gat terechtkomt is dus 0,5.

Peter brengt 100 lege flessen naar de glasbak. De helft van zijn flessen is van wit glas. Bij de andere helft zijn zowel groene als bruine flessen.

3p

9.

 Laat zien dat naar verwachting 75 van de 100 flessen in het goede gat terechtkomen.
Uit vraag 9 volgt: de kans dat een fles in het goede gat terechtkomt als Peter de witte flessen altijd goed gooit en bij elke gekleurde fles aselect kiest tussen het gat voor groen en het gat  voor bruin.
Uit onderzoek is gebleken dat van de lege flessen in de glasbak 50% wit, 40% groen en 10% bruin is. Neem aan dat dit ook voor de flessen van Peter geldt.
Je kunt het gooien van de flessen in de glasbak weergeven met een boomdiagram. Zie volgende figuur

Peter kan de kans dat hij een fles in het goede gat gooit hoger krijgen dan 75%.
Hij gooit de witte flessen allemaal in het goede gat. Hij concludeert uit het onderzoek dat van de gekleurde flessen 4/5 deel groen is en 1/5 deel bruin. In die verhouding gaat hij de flessen in de gaten gooien. Elke gekleurde fles heeft dan 4/5 kans om in het gat voor groen terecht te komen en 1/5 kans om in het gat voor bruin terecht te komen.
7p

10.

 Bereken voor deze werkwijze de kans dat een willekeurige fles in het goede gat terechtkomt.

 
Er bestaan nog betere werkwijzen voor Peter. In zo'n werkwijze is de kans dus nog groter dat een fles in het goede gat terechtkomt.
5p

11.

 Geef een voorbeeld van zo'n werkwijze en toon aan dat deze beter is.

 

 

Schoenveters
De meeste schoenen worden met veters dichtgemaakt. De schoen heeft dan twee rijen gaatjes waar een veter doorheen gehaald moet worden. Als je daarna een knoop legt in de overblijvende stukken, zit de schoen dicht.
In deze opgave bekijken we drie manieren om schoenveters te rijgen: Amerikaans (zigzag), Europees (recht) en Schoenverkoper (snel). Zie volgende figuur.

Voor schoenen met drie paar gaatjes is er iets bijzonders aan de hand: twee van de drie manieren van rijgen geven hetzelfde resultaat.
4p

12.

 Maak voor elk van de drie manieren van rijgen een schets zoals in bovenstaande figuur en laat daarmee zien welke twee manieren hetzelfde resultaat geven.
Bij elk van de drie genoemde manieren van rijgen hoort een formule voor de benodigde veterlengte. Daarbij laten we het deel van de veter waar de knoop in komt buiten beschouwing, omdat dat deel voor elke manier van rijgen even lang is.
Voor de veterlengte l gelden dan de volgende formules:
Amerikaans:
Europees
Schoenverkoper
Hierbij is n het aantal paren gaatjes en d de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes. De veterlengte l en de afstand d zijn in centimeters. Voor de formules is de afstand tussen de linker- en rechtergaatjes op 4 cm gesteld. De formules gelden voor schoenen met tenminste twee paar gaatjes.

Ga uit van een schoen met acht paar gaatjes, waarbij de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes 1,8 cm is.
5p

13.

 Bereken het verschil in veterlengte l tussen de manieren Europees en Schoenverkoper.
Een fabrikant maakt een model schoenen in de maten 38 tot en met 45. Om de veters te rijgen gebruikt hij de Amerikaanse manier. Voor schoenmaat 38 geldt n = 6 en d = 1,5. De totale afstand tussen het eerste paar en het laatste paar vetergaatjes is dan 7,5 cm.
Bij een grotere schoenmaat moet die afstand 9 cm worden. Daarvoor kan de fabrikant kiezen uit twee mogelijkheden:
I:  één paar vetergaatjes erbij.
II: geen paar vetergaatjes erbij, maar de afstand d vergroten.
5p

14.

 Bereken het verschil in veterlengte l tussen beide mogelijkheden.

 
Naar aanleiding van het resultaat van vraag 14 besluit de fabrikant het model in elke maat met 6 paar vetergaatjes te maken (dus n = 6). Voor de fabrikant wordt de formule dan:

Om de stevigheid rond de voet te garanderen bij grotere schoenmaten maakt de fabrikant de afstand tussen de vetergaatjes volgens de volgende tabel:
Schoenmaat 38 39 40 41 42 43 44 45
d (in cm) 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2
Voor een fatsoenlijke knoop is bij dit type schoen tenminste 42 cm extra veter nodig.
4p

15.

 Onderzoek bij welke schoenmaten je een veter van 90 cm kunt gebruiken. Licht je antwoord toe.
Voor de andere twee manieren om schoenveters te rijgen, luiden de formules voor de veterlengte van schoenmodellen met zes paar vetergaatjes (n = 6) als volgt:
Europees:

Schoenverkoper:

De fabrikant wil zo kort mogelijke veters in de schoenen doen, want kortere veters zijn goedkoper. Daarbij zijn er drie mogelijke manieren van rijgen: Amerikaans, Europees en Schoenverkoper.
4p

16.

 Is er een manier van rijgen die voor alle schoenmaten van tabel 2 het goedkoopst is? Zo ja, welke? Licht je antwoord toe.

 
Casino.
Holland Casino exploiteert in Nederland een aantal casino's. Elk jaar brengt zij verslag uit over de resultaten van het afgelopen jaar. Onderstaande figuur is gebaseerd op cijfers uit het jaarverslag over 1995.

 
In deze figuur lezen we onder andere dat Nederlands grootste casino, het casino in Amsterdam, dat jaar 831 000 bezoekers trok. Zij gaven daar gemiddeld 176 gulden uit. Dat is vrij veel, want in heel Nederland was het gemiddelde ongeveer 153 gulden.
5p

17.

 Toon aan met behulp van de gegevens in bovenstaande figuur dat het Nederlandse gemiddelde inderdaad ongeveer 153 gulden was.

 
In het weekend is het in het casino het drukst. Ruim 22% van alle bezoekers komt op zaterdag. We gaan er van uit dat het bezoekersaantal op zaterdag van het Amsterdamse casino normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3500 bezoekers en een standaardafwijking van 350 bezoekers.
Als er meer dan 3000 bezoekers zijn, noemt de bedrijfsleiding het gezellig druk.
5p

18.

 Bereken hoeveel zaterdagen in een jaar het naar verwachting gezellig druk is in het Amsterdamse casino. Neem aan dat het jaar 52 zaterdagen heeft.

 
De volgende figuur komt uit het jaarverslag over 1998 van Holland Casino.

'Index 1994 = 100' betekent dat alle bedragen vergeleken zijn met de bedragen van 1994.
Zo heeft de omzet in 1996 het indexcijfer 118. De omzet in 1996 was dus 118% van die in 1994. De omzet steeg tussen 1994 en 1996 dus met 18%.
Uit de figuur zou je kunnen concluderen dat de kosten sterker stijgen dan de omzet. Dat zou geen goede ontwikkeling zijn. De winst is immers de omzet min de kosten.
4p

19.

 Geef een getallenvoorbeeld waarmee je laat zien dat het met de gegevens uit de figuur toch mogelijk is dat de winst in de periode 1994 - 1998 gestegen is.

 
In het casino kun je onder andere spelen aan de roulettetafels. Bij dit spel brengt de bankhouder (de croupier) een ronde schijf aan het draaien waarop 37 genummerde vakjes zitten. De vakjes zijn genummerd van 0 tot en met 36. Dan werpt hij een klein balletje in tegengestelde richting langs de rand van de schijf. Na enige tijd valt het balletje in één van de 37 vakjes. Het nummer van dat vakje is het winnende getal. Voor elk van de 37 vakjes is de kans dat dat het balletje daarin valt gelijk.

Hans speelt op een avond de hele tijd alleen op het getal 7, want dat is zijn geluksgetal. Als de 7 niet wint, vindt hij dat niet zo erg. Maar als het balletje wel een keer in het vakje met nummer 7 valt, is zijn hele avond goed. Die avond draait de roulette 250 keer.
4p

20.

 Bereken de kans dat het balletje die avond ten minste één keer in het vakje met nummer 7 valt.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 366 dagen zijn  366 • 24 • 60 • 60 = 31622400 seconden
Elke 47 seconden een fietsdiefstal betekent  31622400/47 = 672817 fietsdiefstallen.
(het getal 47 is afgerond, en zal wel tussen de 46,5 en 47,5 liggen. Het aantal fietsdiefstallen ligt dan tussen de 665735 en 680052).
2. aantal misdrijven = aantal seconden/aantal seconden per misdrijf.
Het aantal seconden is elk jaar uiteraard gelijk (niet op schrikkeljaren gelet).
Als het aantal seconden per misdrijf (dat is het getal onder het staafje) dus kleiner wordt, dan wordt er door een kleiner getal gedeeld, en zal het aantal misdrijven groter worden.
Bij langere staven staan kleinere getallen, dus grotere aantallen misdrijven.
3. In één seconde vindt er 1/47 fietsdiefstal plus 1/62 diefstal overige plus 1/128 diefstal uit auto plaats.
Samen is dat  1/47 + 1/62 + 1/128 = 0,0452 diefstallen
0,0452 diefstallen in één seconde is 1/0,0452 = 22,11 seconden tussen twee diefstallen.
De staaf zal het getal 22 krijgen.
4. 39% van 123200 is 48048 geldboetes.
48048 van totaal 242100 is  48048/242100 • 100% = 19,8%
5. In totaal is het gegroeid met een factor 62200/50000 = 1,244 en dat is in 6 jaar.
Als het elk jaar met factor g groeit, dan zal gelden g6 = 1,244
Daaruit volgt g = 1,2441/6 » 1,037, dus dat is een groei van 3,7%
6. Voor de kinderkamer was de benodigde capaciteit 70 Watt/m3 (lees af uit de tabel) dus de oude radiator had een capaciteit van minstens 70 • 30 = 2100 Watt
Voor een normaal vertrek van  24m3 met twee buitenmuren op de eerste verdieping is  70 Watt/m3nodig, dus voor een badkamer 1,2 • 70 = 84 Watt/m3 (20% extra)
Voor de badkamer is dus 84 • 24 = 2016 Watt nodig.
De oude radiator heeft dus wel voldoende capaciteit.
7. Zie hiernaast.
Per m3 is 55 Watt nodig, dus voor 150 m3 is 150 • 55 = 8250 Watt nodig en voor 200 m3 is 200 • 55 = 11000 Watt nodig.
De rode lijn loopt daarom
van (150, 8250) naar (200, 11000)
8. C' = -0,12 • 2 • I + 315 = -0,24I + 315.
Als I kleiner is dan 200 dan is -0,24I + 315 altijd positief. Dat betekent dat de grafiek van C stijgt, dus dat C toeneemt als I toeneemt.

Als I toeneemt, dan neemt -0,24I + 315 af, dus neemt de stijging van C af, dus is de toename steeds minder sterk.
9. De helft is wit, dus dat zijn er 50 die goed terechtkomen.
De andere 50 zijn groen of bruin, en daarvan komt de helft goed terecht, dus dat is 25.
Samen is dat 75 flessen goed.
10.

De groene takken leveren samen 0,5 + 0,32 + 0,02 = 0,84 kans op goed.
11. Gooi alle witten in 'wit' en alle anderen in 'groen'.
Dan komen alleen de bruinen allemaal fout. De kans op goed is dan dus  0,9.
12.

Je ziet dat Europees en Schoenverkoper hetzelfde resultaat geven.
13. n = 8  en d = 1,8 invullen in de formules geeft:
Europees:  l = 69,06
Schoenverkoper:  l =  71,92
Dat scheelt dus 2,86 cm.
14. I:  n = 7, d = 1,5 geeft  l = 55,26
II:  n = 6, d = 9/5 = 1,8 geeft  l =  47,86
Het verschil is 7,4 cm.
15.
Schoenmaat 38 39 40 41 42 43 44 45
d 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2
l + 42 88,72 89,08 89,46 89,86 90,28 90,72 91,18 91,65

Bij de schoenmaten kleiner dan 42 kun je een veter van 90 cm gebruiken.
16.
Schoenmaat 38 39 40 41 42 43 44 45
d 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2
l + 42 Amerikaans 88,72 89,08 89,46 89,86 90,28 90,72 91,18 91,65
l + 42 Europees 90,54 91,10 91,69 92,30 92,93 93,57 94,24 94,92
l + 42 Schoenverkoper 91,86 92,48 93,13 93,78 94,45 95,13 95,82 96,53
Zoals je ziet is Amerikaans voor elke maat het goedkoopst.
17. Totale uitgaven is 831000 • 176 + 383000 • 172 + ... + 146000 • 29 = 662945000
Per persoon is dat gemiddeld  662945000/4348000 = 152,47
18. normalcdf(3000, 100000..., 3500, 350) = 0,923
naar verwachting dus 0,923 • 52 = 48 zaterdagen
19. De omzet is ongeveer 42% gestegen en de kosten zijn ongeveer 55% gestegen.
Als de omzet maar veel groter is dan de kosten dan is die 42% van de omzet ook groter dan 55% van de kosten en zal de winst stijgen.
Dus als 0,42O > 0,55K stijgt de winst. Dat is zo als O > 1,31K

Voorbeeld:  O1994 = 300, K1994 = 200  geeft W1994 = 100
en O1998 = 1,42 • 300 = 426 en K1998 = 1,55 • 200 = 310 en W1998 = 116 en dat is groter dan 100.
20. De kans op géén 7 is per keer  36/37
De kans op 250 keer géén 7 is dan (36/37)250 = 0,001
De kans op minstens één 7 is dan 1 - 0,001 = 0,999