© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Zwaartepunten  (vervolg)
       
De uitleg doen we deze keer aan de hand van een voorbeeld.
Neem het parabooldeel y = x2  voor x tussen  -4 en 4 hiernaast.

We gaan het zwaartepunt berekenen van het vlakdeel, ingesloten door dit paraboolstuk en de lijn  y = 16.

 

Bekijk eerst een rechthoekje met dikte dh  dat zich bevindt op hoogte h, zoals hiernaast getekend.

Je zult uit symmetrie-overwegingen wel met me eens zijn dat het zwaartepunt van dat rechthoekje zich op hoogte h op de y-as bevindt.

Als we de dichtheid van valdeel V gelijkstellen aan 1, dan is de massa gelijk aan de oppervlakte.
omdat h = x2  geldt x = √h
De oppervlakte van ons rechthoekje is dan gelijk aan  2xdh
Dat is  2√hdh

We mogen dit rechthoekje dus zien als een puntmassa met massa 2√hdh die zich bevindt in het punt  (0, h)

       
Als we ditzelfde nou uitvoeren voor alle rechthoekjes die samen vlakdeel V maken, dan krijgen we dus allemaal massa's op de y-as.
Die massa's zijn 2√hddus worden naar boven toe steeds zwaarder.

Op al die massaatjes kunnen we de momentenstelling uit de vorige les toepassen:

M • z  =  m1 • h1 + m2  • h2 + m3 • h3 + ......
M • z  =  2√h1dh • h1 + 2√h2dh • h2 + 2√h3dh • h3  + ...

Je weet intussen dat zo'n som daar rechts voor dh naar nul overgaat in een integraal voor h van 0 naar 16:

       

Dus  M • z = 819,2
Voor M moet je nog de oppervlakte van het integraaldeel uitrekenen (we hadden de dichtheid gelijkgesteld aan 1).
Ik vertrouw erop dat je dat kunt; er komt 851/3 uit.
Dat geeft voor het zwaartepunt  hz = 9.6
       
Het kan ook Ruimtelijk.
       
Hiernaast zie je een kegel met hoogte 8 en straal grondvlak 6.
Als je één schijfje daarvan met dikte dh op hoogte h boven het grondvlak bekijkt, dan is dat een cirkelvormig schijfje en voor alle bewegingen daarvan mag je doen alsof alle massa zich in het middelpunt bevindt.
Als we weer doen dat bij volume 1 ook massa 1 hoort, dan is dat een puntmassa van πr2 dh  op hoogte h
       
Voor de momentenstelling moet je al die schijfjes optellen: integreren dus.
In de figuur rechtsboven zie je door gelijkvormige driehoeken te gebruiken vrij eenvoudig dat  (8 - h)/r = 8/6 
ofwel  r = 6 - 0,75h
Invullen in de integraal geeft: 
Dat moet gelijk zijn aan de totale massa van de kegel vermenigvuldigd met de hoogte van het zwaartepunt:
192π = 1/3 • π • 62 • 8 • hZ  en daaruit volgt dat  hz = 2.
       
       
 OPGAVEN
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)