h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Een in elkaar zakkende driehoek.
       
Het probleem:

ABC is een gelijkbenige driehoek met top C (dus AC = BC).

De bissectrice van hoek A snijdt zijde BC in punt P.

Wat gebeurt er met de plaats van punt P als de hoogte h van de driehoek naar nul gaat?  (dus als AM naar nul gaat)

       
Een oplossing:

Leg een assenstelsel aan met bijvoorbeeld de oorsprong in A.
Stel dat AB = 2p
Dan is dus  C = (ph)

Kies punt D op de x-as zodat AD = AC.
AC = √(h2 + p2)  dus  D = (√(h2 + p2), 0)

Dan gaat de bissectrice AP door het midden N van DC  (uit symmetrie van driehoek ADC)
N = (1/2(p + √(h2 + p2)),  1/2h)
Dus AN is de lijn met vergelijking:

       
B = (2p, 0)  dus  BC is de lijn  y = -h/p x + 2h
AN snijden met  BC geeft de plaats van punt P:

       
Laat nu h naar nul gaan,  dan geeft dat  x = 4/3 p
Kortom:  P nadert het punt van AB  waarvoor  AP = 2/3AB
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)