© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wortels benaderen met breuken.
       
In de les over de  Stern-Brocot boom  bekeken we de mediant van twee breuken. Dat was de breuk die je krijgt door gewoon de tellers en de noemers van beide breuken op te tellen. De mediant van  2/3  en  5/6  is dus bijvoorbeeld 7/9.
Die mediant kun je handig gebruiken om een wortel te benaderen

De grootte van de mediant ligt tussen beide beginbreuken in. Dat kun je hiernaast zien. 't Is eigenlijk hetzelfde als een vectoroptelling. Als de eerste breuk a/b is, dan liggen alle breuken met waarde a/b op het verlengde van die blauwe pijl hiernaast. Zo liggen op de lijn door de blauwe pijl van 2/3 de breuken  4/6, 6/9, 3/4.5 enz.  Gewoon de lijn met helling 2/3 natuurlijk.

Je ziet meteen dat de waarde van de mediant tussen beide beginbreuken in ligt. De helling van die groene pijl ligt tussen de blauwe en de rode in. 

Daar gaan we nu handig gebruik van maken om wortels te benaderen.
Stel dat we een manier willen weten om √2 te berekenen.
Dan maken we als volgt een rij met breuken:
       
  Begin met twee getallen waarvan het product 2 is. Bijvoorbeeld 1 en 2.
Daar maken we de twee breuken  1/1 en 2/1 van.
Noteer de mediant van twee breuken B1 en B2 als M(B1, B2)  dan ligt die dus tussen B1 en B2 in.
Als je nu een rij breuken gaat maken met de regel    (B1, B2) → (M(B1, B2),  2/M(B1, B2))  dan loopt die rij langzaam naar √2. Kijk maar;
1/1  en  2/1
3/2  en  2/(3/2) = 4/3
7/5  en  2/(7/5) = 10/7
17/12  en   2/(17/12) = 24/17
41/29  en   2/(41/29) = 58/41
 
Die laatste twee zijn al  1,4137... en  1,4146...  dus al aardig nauwkeurig gelijk aan √2 = 1,4142... 

Een snelle berekening.

Kijk naar die breuken aan de linkerkant:   1/2 ,  3/2 ,  7/5 ,  17/12 ,  41/29
Als je de breuk a/b  hebt met zijn partner  2b/a   dan is de volgende breuk gelijk aan de mediant:   (a + 2b)/(a + b)   en zijn partner is dan   (2a + 2b)/(a + 2b)  om het product weer gelijk aan 2 te maken.
Maar die teller en noemer kun  je natuurlijk makkelijk vinden met een matrixvermenigvuldiging:
 

       
Noem die matrix L en je kunt de volgende breuk in de rij steeds berekenen door de huidige met L te vermenigvuldigen.
Maar dan kun je ook meteen bijvoorbeeld de 10e in de rij berekenen door de eerste met L10 te vermenigvuldigen
en je ziet dat de breuk  8119/5741 = 1,414213552  al aardig gelijk is aan √2 = 1,414213562...
       
Andere wortels.

Vervang de 2 in bovenstaand voorbeeld door een X en je kunt √X benaderen.
Dat gaat dus door te vermenigvuldigen met de matrix:

       
Het kan zelfs met hogeremachts wortels!
Voor de derdemachtswortel begin je met drie breuken    a/b,  c/a  en   Xb/c die met elkaar vermenigvuldigd X zijn.
Maak daarvan drie nieuwe breuken:  (a + c + Xb)/(b + a + c)  en  (Xa + c + Xb)/(Xb + a + c)  en   (Xa + Xb + Xc)/(Xb + Xa + c)  
Die drie hebben namelijk dezelfde structuur als de oorspronkelijke breuken. Ze zijn ook van de vorm   p/q,  r/p  en   Xq/r
Met matrixvermenigvuldigen gaat dat zó:

       
Laten we M10 weer uitrekenen met X = 2 om de derdemachtswortel van 2 te benaderen:
       

       
298406/236845 = 1,259921045
375968/298406 = 1,259921047
236845/187984 = 1,259921057

Dat nadert al aardig  3√2 = 1,25992105...
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)