© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De stelling van Wilson.
         
Een lekker eenvoudige stelling:
         


Als p een priemgetal is, dan geldt:

(p - 1)!  ☰  -1 (mod p)
 
         
Soort van Bewijs:
  De stelling geldt voor p = 2  (2! = 2 ☰ -1 mod(2))
Stel dat p > 2
Dan valt er aan de tabellen met alle kwadraatresten iets op:
         
 
p = 5   p = 7   p = 11   p = 13
a a2(mod 5)   a a2 (mod 7)   a a2(mod 11)   a a2 (mod 13)
0
1
2
3
4		 0
1
4
4
1		   0
1
2
3
4
5
6		 0
1
4
2
2
4
1		   0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10		 0
1
4
9
5
3
3
5
9
4
1
 		   0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12		 0
1
4
9
3
12
10
10
12
3
9
4
1
  Daar staat steeds bij 1 en bij p - 1 een 1, en verder nergens.
Alle andere getallen zijn steeds in te delen als koppeltjes die met elkaar vermenigvuldigd 1 (mod p)  opleveren. Ik heb ze in de tabel dezelfde kleur gegeven.
Als je alle getallen van  1, 2, ..., p - 1 dus met elkaar vermenigvuldigt, krijg je bijna elke keer 1 (mod p)
Voor p = 11 zou dat opleveren:  1 • 10 • (2 • 6) • (3 • 4) • (5 • 9) • (7 • 8) ☰ 1 • 10 • 1 • 1 • 1 • 1 ☰ -1 (mod 11)
   
Echt Bewijs:
  Bekijk de getallen  {0, 1, 2, 3, ..., p - 1}
Stel nu dat a2 ☰ 1 (mod p)
Dan is  a2 - 1 = (a - 1)(a + 1) ☰ 0   (mod p)
Omdat p een priemgetal is moet dan wel gelden  a ☰ -1 ☰ p - 1  (mod p)   of  a ☰ 1  (mod p). 
Kortom:  de getallen 1 en p - 1 zijn hun eigen inverse. En het zijn ook de enigen in deze verzameling.

Elk ander element uit deze verzameling heeft dus een inverse ongelijk aan zichzelf.  Omdat de verzameling een groep is (want ggd(a, p) = 1) onder vermenigvuldiging modulo p heeft elk element precies ιιn inverse.
Als je al deze elementen aan hun inverse koppelt krijg je dus allemaal koppeltjes waarvoor geldt  ab ☰ 1 (mod p)

Als je dus alle getallen met elkaar vermenigvuldigd geeft dat modulo p dit rijtje:
1 • (p - 1) • 1 • 1 • 1 • ... ☰ p - 1 (mod p) ☰ -1 (mod p)
q.e.d.  
         
En als p gιιn priemgetal is?
         
Het kleine broertje van Wilson:


Als n geen priemgetal is, en n > 4 dan geldt:

(n - 1)!  ☰  0  (mod n)
 
         
Ofwel:   (n - 1)!  is deelbaar door n.
         
Bewijs.  
  Als n geen priemgetal is, dan is n te schrijven als a • b en dan staan staan in de rij   1, 2, 3..., n - 1  dus ook die getallen a en b.  Dus als je ze allemaal met elkaar vermenigvuldigt dan is het resultaat zeker deelbaar door ab.

Het gaat alleen misschien fout als a en b gelijk zijn; dan is n een kwadraat.
Stel n = c2 = c · c   Dan staan de getallen c en 2c σσk in de rij (want 2c < c2), dus heeft ook nu (n - 1)! minstens twee factoren c, en is dus deelbaar door c2.   

Dit laatste gaat fout als  2c niet kleiner is dan c2 en dat is dus bij n = 4. Vandaar de uitzondering.
q.e.d.
         
Uitgebreidere Wilson.
         
De grote broer van Wilson:

Als p een priemgetal is, en k is een natuurlijk getal  k ≤ p, dan geldt:
(k - 1)!  • (p - k)!  ☰  (-1)k  (mod p)

         
Om er wat gevoel voor te krijgen eerst maar een getallenvoorbeeldje.
Neem p = 11 en k = 4.
Bekijk nu de rij:    -3 • -2 • -1 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7
Als je bij elk van die rode getallen 11 optelt dan blijft dat modulo 11 hetzelfde: maar dan heb je
8 • 9 • 10 • 1 • 2 • 3 • 5 • 6 • 7
En dat is precies  10!

Als je daarentegen gewoon alle mintekens buiten haakjes zet dan krijg je  (-1)3 • 3 • 2 • 1 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7
         
Bewijs.  
  Vermenigvuldig alle getallen  (1 - k) tot en met (p - k) met elkaar, behalve het getal nul:
(1 - k) • (2 - k) • (3 - k) • .... • (-1) • (1) • .... • (p - k)

Tel bij de negatieve getallen p op, dan krijg je  (1 - k + p) • (2 - k + p) • (3 - k + p) • 1 • ... • (p - k)
Dat is precies  (p - 1)! en dat is gelijk aan  -1 (mod p) volgens de stelling van Wilson

Vermenigvuldig de negatieve getallen allemaal met -1, dan krijg je   (-1)k-1 • (k - 1)! • (p - k)! 

Die zijn dus gelijk, dus:
(-1)k-1 • (k - 1)! • (p - k)!   ☰  -1  (mod p)
(-1)k - 1   naar de andere kant brengen geeft de gevraagde stelling.
q.e.d.
         
         
       
  OPGAVEN
       
1. Toon aan dat  p! + p  deelbaar is door p2 als p een priemgetal is.
       
2. Bereken 1! • 2! • 3! • 4! • .... • 10!   (mod 11)
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)