h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wat staat waar?
       
Wat is een breuk nou eigenlijk?
       
Veel verwarring over breuken komt van het feit dat je een breuk eigenlijk op twee manieren kunt zien:
 
1. Een breuk is een getal.
Gewoon een plekje op de getallenlijn tussen alle andere getallen in.
       
2. Een breuk is een deling.
Een breuk is een opgave, waarbij het ene getal moet worden gedeeld door het andere getal.
We zijn alleen te beroerd om het uit te rekenen en laten de opgave gewoon lekker staan.....
       

       
 
De kinderlijk eenvoudige observatie hiernaast maakt al een probleem met die breuken duidelijk.
Zo heeft de deling   2 : 3 dezelfde uitkomst als  6 : 9.  Dus er zijn meer delingen (breuken) die dezelfde plaats op de getallenlijn voorstellen.

Verder zie je daardoor meteen dat je "gewone" getallen ook als breuken kunt voorstellen, namelijk door ze als deling te schrijven. 

Zo is bijv.:  4 = 4 : 1 = 4/1.
Maar ook:  4 = 12 : 3 = 12/3

Naamgeving.
Bij een breuk noemen we het gedeelte boven de streep de "teller", en het gedeelte onder de streep de "noemer".

     

 
Als je een breuk als deling beschouwt is de teller dus het getal dt wordt gedeeld (het deeltal) en de noemer het getal waardr wordt gedeeld (de deler).

Voorrangsregels.

We weten uit de voorrangsregels voor berekeningen dat de volgorde van delen en vermenigvuldigen niet uitmaakt. Je voert delingen en vermenigvuldigingen gewoon uit in de volgorde waarin je ze tegenkomt (zolang het maar vr optellen en aftrekken gebeurt).
Als het alleen om delen en vermenigvuldigen gaat mag een  andere volgorde ook best!

Bijvoorbeeld: 
3 5  :  8  =  (3 5) : 8  = 15 : 8 = 1,875
3 5  :  8 =  3   (5 : 8)  = 3  0,625 = 1,875

Beiden is goed.
Maar als je een deling als een breuk ziet, dan heeft deze eigenschap gevolgen voor breuken.
Kennelijk geldt:

       
Die 3 die daar in de teller staat mag je ook wel vr de breuk zetten!
En omdat de volgorde van vermenigvuldigen ook wel gewisseld mag worden is het volgende allemaal gelijk:
       
       
Conclusie:

Bij vermenigvuldigen geldt:

"Getallen in de teller mag je ook wel voor of achter de breuk schrijven"
 

       
Denk er goed om dat het alln bij vermenigvuldigen mag, en alln met de teller  (ik heb die noemers niet voor niets steeds rood gemaakt!)
Dus:
       
       
Zorg dat je deze voorbeelden goed begrijpt voordat je verder leest!

Leuk trucje tussendoor
Als je een breuk met maar n getal in  de teller hebt, dan kun  je dat getal er ook voor schrijven door te bedenken dat elk getal te schrijven is als  "getal 1".

Kijk maar:

       
Wat hebben we hier aan?
       
De grote winst komt, als er niet alleen maar getallen in de breuk staan, maar ook letters (variabelen). Omdat zulke letters ook eigenlijk getallen voorstellen gelden de eigenschappen hierboven nog steeds.
Zo kun je bijvoorbeeld schrijven:
       
       
Zie je dat dit een manier geeft om zo'n formule als aan het begin handiger te schrijven?
Bij die meest rechtse manier kun  je het getal 3/8 gewoon uitrekenen: dat is 0,375. 
Dus daar staat gewoon 0,375a
Dat betekent dat je de formule  3a /8  mag vervangen door 0,375a.
En dat is vaak handig, als dit een deel is van een grotere formule. 
Kijk maar naar dit laatste uitgebreide voorbeeld:
       
       
Geef maar toe:  die laatste formule is een stuk simpeler dan die eerste!!!
       
       
  OPGAVEN
       
1. Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen zoveel mogelijk:
       
  a.

       
  b.

       
  c.

       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)