h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vrijmaken bij wortelfuncties.
       
Het vrijmaken van een variabele betekent gewoon dat je een formule net zolang verandert totdat die variabele alleen staat  ("vrij" van de rest).

Ik heb goed nieuws:
       

"Vrijmaken" lijkt verdacht veel op "oplossen". 

       
Als je de vergelijking   4 + 2√(2x - 6) = 12 moet oplossen, dan moet je immers k x = ..... van gaan maken. Dat ging z:
 
 
4 + 2√(2x - 6) = 12
2√(2x - 6) = 8
√(2x - 6) = 4
2x - 6 = 16
2x = 22
x = 11
 

Nou, laten we gewoon precies hetzelfde doen, maar nu in plaats van 12 een y opschrijven!
Dan zien we vanzelf waar die y blijft.
Dat geeft dan:

 
4 + 2√(2x - 6) = y
2√(2x - 6) = y - 4
√(2x - 6) = 0,5y - 2
2x - 6 = (0,5y - 2)2
2x = (0,5y - 2)2 + 6
x = 0,5(0,5y - 2)2 + 3
 

KLAAR!!!  x staat vrij.
Als je het leuk vindt kun je nog haakjes wegwerken en vereenvoudigen en zo, maar is denk niet dat je dat zomaar voor je plezier gaat zitten doen;  x is vrij en daarmee is de opdracht voltooid.

Inverse.

Wat zitten we nou eigenlijk te doen bij dat vrijmaken?

Neem de formule   y = 4 + 2√(2x - 6)
Dan kun je daar een x invullen en dan berekent deze formule voor je (meestal moet je het trouwens zelf doen) wat de bijbehorende y is.
Bijvoorbeeld  voor x =  11 vind je  y = 12.

Neem nu de vrijgemaakte formule:  x = 0,5(0,5y - 2)2 + 3
Als je daar nu  y = 12 invult dan krijg je de oorspronkelijke x = 11 weer terug.
Deze tweede formule heft de eerste eigenlijk weer op.
Voor wie graag een plaatje ziet:  zoiets wordt dat dan:  

       

       
Dat rechter machientje doet precies het tegenovergestelde van het linker machientje.
Zo'n functie (formule) die precies het tegenovergestelde van een andere doet noemen we de inverse functie daarvan.
       
       
   OPGAVEN
       
1. Maak x vrij:
       
  a. y = -2 + √(3 - x)  
       
  b. y = 1 + 2√(0,5x + 8)  
       
  c. y = 4√(2x + 1) + 12  
       
2. Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2023-II
       
  Een zwangerschapsecho is een afbeelding van een ongeboren baby. Zie de foto. Een echo wordt onder andere gebruikt om vast te stellen hoe lang een vrouw al zwanger is.

Op de echo kan de afstand a van de bovenkant van het hoofdje tot de onderkant van de billen worden gemeten. Met behulp van de volgende formule kan dan de zwangerschapsduur d worden geschat:

d = 8,052(1,037a) + 23,73

De zwangerschapsduur d is in dagen en de gemeten afstand a in mm. Deze formule is alleen bruikbaar bij een zwangerschapsduur van ongeveer 8,5 tot ongeveer 13 weken.
       
  Bij een vrouw wordt een echo gemaakt. Daarbij wordt a = 55 mm gemeten.
       
  a. Bereken de geschatte zwangerschapsduur van deze vrouw. Geef je antwoord in hele weken.
       
  Als bekend is hoelang een vrouw zwanger is, kan omgekeerd berekend worden wat de afstand a bij de ongeboren baby is. Hiervoor kan de formule worden herschreven door a in d uit te drukken. Dit geeft een formule van de vorm:

a = p(qd - r)2

Mogelijke waarden van p, q en r, afgerond op twee decimalen, zijn: p = 0,96, q = 0,12 en r = 2,95.
       
  b. Bereken deze waarden van p, q en r in drie decimalen.
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)