Niet-symmetrische vlakdelen...
Hiernaast zie je het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van y = x3 en de x-as en de lijn x = 1. De vraag is waar het zwaartepunt van V zich bevindt....

De oplossing om de plaats van het zwaartepunt te vinden is erg eenvoudig:

Bepaal  xZ en yZ apart !

Hoe dat met zie je in de twee plaatjes hieronder.


Laten we eerst het vlakdeel gaan draaien om de y-as.

Van het groene rechthoekje hiernaast heeft elk punt dezelfde afstand tot de y-as. Het totale moment ervan is dus  massa (= oppervlakte)  • afstand

Dat is in dit geval  ydx • x = x3 dx • x = x4 dx
Al die groene rechthoekjes optellen geeft een integraal:

De totale massa van het vlakdeel is ook een integraal:

Dus geldt  1/4 • xZ = 1/5  ⇒  xZ = 4/5

Daarna gaan we het vlakdeel draaien om de x-as.

Van het groene rechthoekje hiernaast heeft elk punt dezelfde afstand tot de x-as
Het totale moment is  (1 - x)dy • y
Als y = x3  dan is  x = y1/3

Dat geeft de integraal:

 Dus geldt   1/4 • yZ = 1/14 ⇒  yZ = 2/7

Het zwaartepunt is het punt   Z = (4/5, 2/7)
1. V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van y = √x, de x-as en de lijn  x = 9.
Bereken de coördinaten van het zwaartepunt van V.
2. V is het vlakdeel onder de grafiek van y = 4 - x2  tussen x = 0 en x = 2.
Bereken de coördinaten van het zwaartepunt van V.
3. V is de kwartcirkel met straal 9 en middelpunt de oorsprong, waarvoor x > 0 en y > 0
Bereken de coördinaten van het zwaartepunt van V.
               
4. Geef de coördinaten van het zwaartepunt van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van y = √x
en y = x3  (x tussen 1 en 1)
             

(12/25, 3/7)
5. Vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van y = 2x, de x-as, de y-as en de lijn  x = 2
Geef de coördinaten van het zwaartepunt van V.
               
6. Neem een willekeurige functie  f(x)  met  f(x) > 0.
Bekijk het zwaartepunt van het vlakdeel onder de grafiek van f  tussen x = a en x = b
Toon aan dat voor de x-coordinaat van dat zwaartepunt geldt:
Losse stukken eraan
(volgt later)