|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
| De keerpunten algebraïsch. | |
| Het probleem van het uitrekenen
van de helling in de keerpunten is, dat er uitkwam 0/0
(want dat was nou juist de eigenschap van de keerpunten. Toch is het dan
soms mogelijk om de helling algebraïsch te berekenen. Dat moet dan gebeuren door de formule voor y'/x' anders te gaan schrijven. Laten we het proberen bij de twee gegeven voorbeelden. |
|
| Voorbeeld 1: x(t) = cos(2t) en
y(t) = sin(t) Gaf keerpunten bij t = 1/2p en t = 11/2p en toen we de helling benaderden vonden we bij t = 1/2p ongeveer -0,25. Maar nu exact:  Vul nu in t = 1/2p dan komt er uit helling -1/4. Die gevonden -0,25 was dus niet ongeveer, maar exact!!! Hoe kan dat nu ineens wél berekend worden? |
|
| Dat komt door die
twee rode strepen in de afleiding. Daar deel je teller en noemer van een
breuk beiden door cost Dat mag alleen maar als cost niet
nul is. Dus de formule die er uitkomt (1/-4sint)
is precies hetzelfde als de oorspronkelijke (cost/-2sin2t)
behalve als cost = 0. En cost = 0 precies in de
keerpunten!!!! Dat betekent dat de nieuwe formule 1/-4sint overal de helling geeft, behalve in de keerpunten zélf. Daar bestaat de helling nog steeds niet. Maar overal ernaast is de helling gelijk aan 1/-4sint dus ook oneindig dicht ernaast. Niet zomaar 0,01 of 0,001 of zo ernaast, maar zo dicht als je maar wilt. |
|
| Voorbeeld 2. x(t) = t3
- 3t en y(t) = -2t4 +
4t2 Gaf keerpunten bij t = 1 of t = -1 en toen we de helling benaderden vonden we bij t = 1 vonden we ongeveer -2,67. Maar nu exact. We vonden dat 3t2 - 3 en -8t3 + 8t beiden voor t = 0 NUL opleverden. Laten we ze proberen te veranderen:  En als je nu invult t = 1 geeft dat helling -8/3 = -22/3 dus die -2,67 was afgerond. Bij lastiger formules gaat dat niet altijd lukken natuurlijk. Je zou ook kunnen proberen staartdelingen te gaan maken. Hoe dat moet staat hier maar dat gaat voor nu iets te ver. |
|
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|