© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. Elk geheel getal is te schrijven als  4n of 4n + 1 of 4n + 2 of 4n + 3
De kwadraten modulo 8 zijn dan  0, 1 of 4.
Dus kan er geen rest 6 zijn bij delen door 8. 
       
2. a. 0 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72
1 = 12
2 = -12 - 22 - 32 + 42
3 = -12 + 22
       
  b. (k + 1)2 - (k + 2)2 - (k + 3)2 + (k + 4)2
= k2 + 2k + 1 - k2 - 4k - 4 - k2 - 6k - 9 + k2 + 8k + 16
= (k2 - k2 - k2 + k2) + (2k - 4k - 6k + 8k) + (1 - 4 - 9 + 16)
= 0 + 0 + 4
= 4
       
  c. Je kunt altijd, als je n op de juiste manier met kwadraten heb geschreven, ook n + 4 met kwadraten schrijven, namelijk gewoon door er zo'n k - rijtje achteraan te plakken.
Dat geeft bijvoorbeeld:

4 = 0 + 4 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72 + 82 - 92 - 102 + 112     (k = 7)
5 = 1 + 4 = 12 + 22 - 32 - 42 + 52   (k = 1)
6 = 2 + 4 = -12 - 22 - 32 + 42 + 52 - 62 - 72 + 82   (k = 4)
7 = -12 + 22 + 32 - 42 - 52 + 62   (k = 2)
8 = 4 + 4 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72 + 82 - 92 - 102 + 112  + 122 - 132 - 142 + 152   (k = 10)
       
  d. Maar nu nog het bewijs dat dat op oneindig veel verschillende manieren kan.
Dat gaat op dezelfde manier door te beseffen dat:

0 = 4 - 4 = (k + 1)2 - (k + 2)2 - (k + 3)2 - (k + 4)2 - (k + 5)2 + (k + 6)2 + (k + 7)2 - (k + 8)2

Dus door achter een gevonden rijtje dit rijtje van 8 extra kwadraten te zetten hebben we wéér een oplossing. En dat gaat zo maar door....
       
3. a. n7 - n =
n(n6 - 1) =
n(n3 - 1)(n3 + 1) =
n(n - 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 - n + 1)
       
  b. r = 0 Dan is de factor n deelbaar door 7, dus het geheel ook
    r = 1 Dan is de factor (n - 1) deelbaar door 7, dus het geheel ook
    r = 2 Dan is n te schrijven als 7p + 2 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 2)2 + (7p + 2) + 1 = 49p2 + 35p + 7 en dat is ook deelbaar door 7.
    r = 3 Dan is n te schrijven als 7p + 3 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 3)2 + (7p + 3) + 1 = 49p2 + 35p + 7 en dat is ook deelbaar door 7.
    r = 4 Dan is n te schrijven als 7p + 4 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 4)2 + (7p + 4) + 1 = 49p2 + 63p + 21 en dat is ook deelbaar door 7.
    r = 5 Dan is n te schrijven als 7p + 5 en geldt:
(n2 + n - 1) = (7p + 5)2 - (7p + 5) + 1 = 49p2 + 63p + 21 en dat is ook deelbaar door 7.
    r = 6 Dan is de factor n + 1 deelbaar door 7  
         
    In alle gevallen is n7 - n dus deelbaar door 7.  
         
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)