h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. a. a = p q
b
= (p - q)/2
c = (p + q)/2

a2 + b2
p2q2 + 1/4 (p2 - q2)2
= 1/4 {4p2q2p4 - 2p2q2 + q4)
= 1/4   {p4 + 2p2q2 + q4}
= 1/4 (p2 + q2)2
= c2

       
  b. q = 1  geeft  a = p,  b = 1/2(p2 - 1) en  c = 1/2(p2 + 1)
Door voor p verschillende getallen te kiezen krijg je zeker allemaal verschillen de drietallen want de kleinst is a = p en die verschilt dan steeds.
       
  c. Omdat in dit geval  c = b + 1  zijn de drietallen ook niet te vereenvoudigen (je kunt niet twee opeenvolgende getallen door hetzelfde getal delen om te vereenvoudigen)
       
2. a. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Dus a3 + b3  is deelbaar, dus is geen priemgetal.
       
  b. 1000000000001 = 1012 + 1  = (104)3 + 13  dus een speciaal geval van vraag a) namelijk met a = 104 en b = 1
(in het algemeen is 103n + 1 dus geen priemgetal)
       
3. n!  is deelbaar door de getallen  2 tm n
dus n! + 2 is deelbaar door 2 en geen priemgetal.
dus n! + 3 is deelbaar door 3 en geen priemgetal.
dus n! + 4 is deelbaar door 4 en geen priemgetal.
...
dus n! + n is deelbaar door n en geen priemgetal.
Daar is het gat al.
 
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)