© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. a 81 - 31  is duidelijk deelbaar door 5.

8n - 3n
= 8n + 1 - 3 • 8n + 3 • 8n - 3n + 1
= 8 • 8n - 3 • 8n + 3 • 8n - 3 • 3n
= 8n • (8 - 3) + 3 • (8n - 3n)
= 5 • 8n + 3 • (8n - 3n)
de eerste term is deelbaar door 5 (want een vijfvoud)
de tweede term is deelbaar door 5 (want 8n - 3n) was volgens de inductie-aanname deelbaar door 5.
Dus is het geheel ook deelbaar door 5.
q.e.d.
       
  b. 151 - 1  is duidelijk deelbaar door 7.

Stel dat  15n - 1 deelbaar is door 7.
15n + 1 - 1
= 15 • 15n - 1
= 15 • 15n - 15n + 15n - 1
= 15n(15 - 1) + 15n - 1
= 14 • 15n + (15n - 1)
De eerste term is deelbaar door 7 (want een 14-voud)
De tweede term is deelbaar door 7 (inductie-aanname)
Dus het geheel is deelbaar door 7
q.e.d.
       
2. De afgeleide van x1 is  1 en dat is inderdaad 1 • x0

Stel dat de afgeleide van xn inderdaad gelijk is aan  n • xn - 1 
xn + 1 = x • xn
de productregel geeft voor de afgeleide:  1 • xn + x • n • xn - 1
= xn + n • xn
= (n + 1) • xn 
q.e.d.
       
3. a.  n = 1 geeft  1 = 12  en dat klopt.

Stel dat de regel geldt voor bepaalde n
Bekijk nu n + 1:
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n - 1) + (2n + 1) 
= n2  + (2n + 1)
= (n + 1)2
q.e.d.
       
  b.  n = 1 geeft  13 = 1/4 • 12 • 22  en dat klopt.

Stel dat de regel geldt voor bepaalde n
Bekijk nu n + 1:
13 + 23 + 33 + ... + n3  + (n + 1)3
=   1/4  Χ n2 Χ (n + 1)2  + (n + 1)3
=  1/4 • n2 • (n + 1)2 + (n + 1)(n + 1)2
= 1/4 • (n + 1)2 • {n2 + 4(n + 1)}
= 1/4 • (n + 1)2 • (n2 + 4n + 4)
= 1/4 • (n + 1)2 • (n + 2)2
q.e.d.
       
  c. n = 1 geeft  12 = 1/6 • 1 • 2 • 3  en dat klopt.

Stel dat de regel geldt voor bepaalde n
Bekijk nu n + 1:  
12 + 22 + 32 + ... + n2  + (n + 1)2
=   1/6 Χ n Χ (n + 1) ∙ (2n + 1) + (n + 1)2
= 1/6 • (n + 1) • {n(2n + 1) + 6(n  + 1)}
= 1/6 • (n + 1) • (2n2 + n + 6n + 6)
= 1/6 • (n + 1)(2n2 + 7n + 6)
= 1/6 • (n + 1)(n + 2)(2n + 3)
= 1/6 • (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1)
q.e.d.
       
4. De formule geldt voor n = 0 want dat geeft r0 = (r - 1)/(r - 1) = 1 en dat klopt.

Stel dat de stelling geldt voor bepaalde n
Bekijk nu n + 1:
r0 + r1 + ... + rn + rn + 1   
 

  Hier staat inderdaad de bewering voor rn+ 1
q.e.d.
       
5. a.

n = 1:    (1 + h)1 ³  1 + h   klopt

(1 + h)n + 1   = (1 + h)n ∙(1 + h) 
³  (1 + nh)(1 + h)  = 1 + nh + h + nh2  = 1 + (n + 1)h + nh2
³  1 + (n + 1)h     (want  nh2 ³ 0)
q.e.d.
       
  b.

 n = 4  geeft   4! = 24  > 16 = 24

(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)  ³ 2n ∙ (n + 1)  >  2n  ∙ 2 = 2n+1     (want n + 1 > 2)
q.e.d.
       
6. Voor n = 1 klopt ie:  een toren van 1 schijf verzet je in 1 zet.

Stel dat de stelling klopt voor een toren van n schijven.
Neem nu een toren van n + 1 schijven.
Die verplaats je als volgt:

1. Zet de toren van de bovenste n schijven naar de naastgelegen plaats.
Dat kost 2n - 1 zetten
2. Zet de onderste schijf naar de derde plaats.  Kost 1 zet
3. Verplaats de toren van n schijven van de naastgelegen naar de derde plaats.
Dat kost weer 2n - 1 zetten.

Samen kost dat dus  (2n - 1) + 1 + (2n - 1) = 2 • 2n  - 1 =   2n + 1 - 1 zetten
q.e.d.
       
7. Meteen de eerste stap gaat fout;  van n = 1 naar n = 2
als je n = 1 hebt, en je voegt er eentje toe naar n + 1 dan kun je niet een ander weglaten want die is er niet.
       
8. a.

Drie mensen A, B en C staan op de hoekpunten van een driehoek.
Deze driehoek heeft drie ongelijke zijden (want de afstanden van bijv. B en C tot A moeten verschillend zijn)
Eιn van de drie zijden is dan de kortste zijde, stel dat dit AB is.
Dan gaan A en B elkaar natspuiten, dus blijft C droog.

Daarmee is de stelling voor n = 3 bewezen.
       
  b.

Stel dat de mensen die bij deze kleinste afstand horen P en Q zijn.

Bekijk dan de groep mensen zonder P en Q.
Dit is een groep van n mensen, en volgens de inductieveronderstelling blijft er dan bij het spuiten iemand droog. Noem die persoon X.
Als we daarna P en Q weer toevoegen aan de mensen, dan blijft X nog steeds droog, immers P en Q gaan hem σσk niet natspuiten, omdat zij immers elkaar natspuiten.
(het enige effect van P en Q toevoegen is misschien dat eventueel sommige mensen hιn gaan natspuiten in plaats van het slachtoffer dat zij eerst hadden).

Dus X blijft nog steeds droog, en ook bij n + 2 mensen is er iemand die droog blijft.
       
9. Stel dat het met n vierkanten altijd kan.

Neem dan n + 1 vierkanten.
Maak van twee van die vierkanten ιιn nieuw vierkant als in de tekening van de opgave.
Dan heb je n vierkanten en dan kan het volgens de inductie-aanname.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)