© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. De cykelindex is:
 
  We hebben nu 4C, 1P en 1Q kleur.
1/12 • { (x + y + z)6  + 2(x6 + y6 + z6) + 2(x3 + y3 + z3)2 + 4(x2 + y2 + z2)3 + 3(x + y + z)2(x2 + y2 + z2)2 }
We zoeken de coëfficiënt van x4y1z1  en daarvan vinden we alleen in de eerste term en de laatste term een stukje. 
In die laatste term komt hij 2 keer voor en in die eerste term 30 keer (6 nCr 4)(2 nCr 1), dus dat geeft:
1/12 • {30 + 3 • 2} = 36/12 = 3
       
2 De cykelindex van  een gelijkzijdige driehoek is (zie de theorie):
       
 

       
  x + y + z invullen:
(x + y + z)3 + 3(x + y + z)(x2 + y2 + z2 )  + 2(x3 + y3 + z3)
we weten nog niet welke kleuren, dus maar gewoon alles uitschrijven:
x3 + y3 + z3 + 3x2y  + 3x2z + 3y2x + 3y2z + 3z2x  + 3z2y + 6xyz + 3x3 + 3xy2 + 3xz2 + 3yx2 + 3y3 + 3yz2 + 3zx2 + 3zy2 + 3z3 + 2x3 + 2y3 + 2z3
=  6x3 + 6y3 + 6z3 + 6x2z  + 6x2y + 6y2x + 6y2z + 6z2x + 6z2y + 6xyz
Delen door 6, en wat blijkt:  elke coëfficiënt is 1
Welke combinatie van kleuren je ook kiest:  er is altijd maar één manier om de driehoek te kleuren!!!!
       
3. In totaal zijn er 5! = 120 permutaties.
cykelvorm 1 + 1 + 1 + 1 + 1  heeft  5! • 15 = 120 manieren per permutatie, dus in totaal  120/120 = 1 permutatie.
cykelvorm 1 + 1 + 1 + 2  heeft  3! • 13 • 1! • 21 = 12  manieren per permutatie, dus in totaal 120/12 =  10 permutaties
cykelvorm 1 + 2 + 2  heeft  1! • 11 • 2! • 22 = 8  manieren per permutatie, dus in totaal  120/8 = 15 permutaties.
cykelvorm 1 + 1 + 3  heeft  2! • 12 • 1! • 31 = 6  manieren per permutatie, dus in totaal  120/6 = 20 permutaties.
cykelvorm 1 + 4  heeft  1! • 11 • 1! • 41  = 4 manieren per permutatie, dus in totaal  120/4 = 30 permutaties.
cykelvorm 2 + 3 heeft  1! • 21 • 1! • 31 = 6 manieren per permutatie, dus in totaal  120/6 = 20 permutaties.
cykelvorm 5  heeft  1! • 51 = 5 manieren per permutatie, dus in totaal  120/5 = 24 permutaties.
De cykelindex van S5 is dus:
 

       
4.

  Je kunt roteren om 4 assen.
Bij de verticale as zijn er 2 hoeken mogelijk (102º en 240º)  en dat geeft  2f32  (boven- en ondervlak hebben een cykel van 3)
bij de assen door het midden van een zijvlak is alleen 180º mogelijk en dat geeft  3f23 (alle opstaande ribben hebben een cykel van 2)
Verder is er nog de rotatie over nul graden die "alles op zijn plaats laat"  en dat geeft  f16
Samengevat:
 

       
  met C-C-C-C-P-Q gaat het weer om de coëfficiënt van  x4yz
de  ontwikkeling van (x6 + y6 + z6) + 2(x3 + y3 + z3)2 + 3(x2 + y2 + z2)3  heeft alleen in de eerste term een x+4yy staan en die heeft coëfficiënt (6nCr 4)(2 nCr1) = 30
er zijn inderdaad  30/6 = 5 manieren.
 
       
5. Er zijn 24 mogelijke posities van een kubus:  kies eerst welk van de zes vlakken boven komt, en daarna zijn er nog 4 mogelijkheden welk vlak de voorkant wordt. In totaal 6 • 4 = 24 posities.
Hier zijn de vijf soorten rotaties mogelijk (de draai-as is steeds blauw aangegeven)
       
 

 
  a. Hoekpunten.
 

     
    f1:  1 manier
f4:  6 manieren:  drie mogelijke assen en bij elke as 90º of -90º
f2:  3 manieren:  drie mogelijke assen  (alleen 180º)
f2:  6 manieren:  zes assen  (alleen 180º)
f1f3:  8 manieren:  vier assen, en bij elke as  120º en -120º
       
   

       
  b. Middens van de vlakken.
De aantallen zijn uiteraard precies zoals hierboven 1-6-3-6-8
   
 

       
 

       
  c. Lichaamsdiagonalen.
   
       
  6. Er zijn drie kleuren dus we moeten in de cykelindex  (r + b + g) invullen.
Het gaat om de uiteindelijke coëfficiënt van  r1 • b2 • g5
(r + b + g)8 heeft een term  168 • r1 • b2 • g5  (168 = 8 nCr 1 • 7 nCr 2)
6(r4 + b4 + g4)2  heeft geen term  r1 • b2 • g5
3(r2 + b2 + g2)4 heeft geen term r1 • b2 • g5
6(r2 + b2 + g2)4  heeft geen term r1 • b2 • g5
8(r + b + g)2(r3 + b3 + g3)2 heeft geen termen r1 • b2 • g5
De coëfficiënt van  r1 • b2 • g5  is dus 168, dus er zijn 168/24 = 7 manieren om een kubus zo te kleuren.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)