h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. neem de x-vergelijking en de y-vergelijking:
2 - λ = 6 + 2μ  en   4 + 2λ = 11 + μ
De eerste geeft  λ = -4 - 2μ  en dat kun je invullen in de tweede:   4 + 2(-4 - 2μ) = 11 + μ
4 - 8 - 4μ = 11 + μ ⇒  -15 = 5μ ⇒  μ = -3  en dan is  λ = 2

De z-vergelijking is   1 + 4λ = 12 + μ   en dat klopt voor de gevonden λ en μ.

Het snijpunt is  (0, 8, 9) 
       
  b. neem de x-vergelijking en de y-vergelijking:
1 = 6 + μ  en  -2 + 3λ = 24 + 5μ
De eerste geeft direct  μ = -5  en dan levert de tweede λ = 1

De z-vergelijking is  4 - 2λ = -13 - 3μ  en dat klopt voor de gevonden λ en μ.

Het snijpunt is  (1,  1,  2)
       
  c. neem de x-vergelijking en de y-vergelijking:
6 + λ = 1 + 2μ   en   2 + 2λ = 10 - μ
De tweede geeft  μ = 8 - 2λ en dat kun  je invullen in de eerste:  6 + λ = 1 + 2(8 - 2λ)
6 + λ = 17 - 4λ  ⇒  5λ = 11  ⇒   λ = 11/5  en dan is  μ = 18/5

De z-vergelijking is:  -3 - 2λ = -20 + 2μ   en dat klopt niet met de gevonden λ en μ.

Er is geen snijpunt.
       
  d. neem de x-vergelijking en de y-vergelijking:
-3 + 2λ = -3 + 4μ  en  -7 + 2λ = -1 + μ
de tweede geeft  μ = 2λ - 6 en dat kun je invullen in  de eerste:  -3 + 2λ = -3 + 4(2λ - 6)
-3 + 2λ = -27 + 8λ ⇒   24 = 6λ ⇒  λ = 4  en dat geeft  μ = 2

De z-vergelijking  is  -2 - λ = -2 - 2μ  en dat klopt voor de gevonden λ en μ.

Het snijpunt is  (5, 1, -6)
       
2. a. neem de x-vergelijking en de z-vergelijking want daar zit geen p in:
2 - 3λ = 5 - μ  en   1 + 2λ = 6 + 3μ
de eerste geeft  μ = 3 + 3λ en dat kun je invullen in de tweede:   1 + 2λ = 6 + 3(3 + 3λ)
1 + 2λ = 15 + 9λ   ⇒    -14 = 7λ   ⇒    λ = -2  en dan is  μ = -3

De y-vergelijking moet dan ook kloppen:  1 + λ = 8  + pμ 
Dat geeft   1 + -2 = 8 + -3p   ⇒   -1 = 8 - 3p   ⇒   3p = 9  ⇒    p = 3
       
  b. neem de  y-vergelijking en de z-vergelijking want daar zit geen p in:
-1 + λ = -3 + 2μ  en   -2 + λ = -7 + 3μ
trek die van elkaar af:   1 = 4 - μ  geeft  μ = 3  en dan is λ  = -2

De x-vergelijking moet dan ook kloppen:   p - 3λ = -3 - 2μ
 Dat geeft  p - - - 6 = -3 - 6  ⇒   p = -3
       
3.
       
  Dat geeft de volgende drie vergelijkingen:
λ = 6 - 3μ
λ = 3 + μ(p - 3)
λ = μ(p + 3)

de eerste invullen in de tweede en derde geeft:
6 - 3μ = 3 + μ(p - 3)  ofwel  3 = μp
6 - 3μ = μ(p + 3)  ofwel  6 = μ(p + 6)

De laatste geeft   6 = μp + 6μ  en daar kun je  3 = μp in vervangen:    6 = 3 + 6μ  ⇒  μ = 1/2
Dan is   p = 3/m = 6
       
       
4. a. Hulpvlak  DBG
Snijlijn van de vlakken is TR.
S is snijpunt van TR met DM.

     
  b. Kies D als oorsprong.
D = (0,0,0) en G = (0, 6, 6)
   
    H = (0,0,6) en Q = (0,3,0)
   
    Snijpunt:   0 = 0  en  λ = 3 + μ  en   λ = -2μ
Dat geeft 3 + μ = -2μ  dus  μ = -1
T = (0, 2, 2)
Verder is  R = (3, 3, 0) 
   
    D = (0,0,0) en M = (3,6,3)
   
    Snijpunt TR en DM:   3ρ = τ  en  2 + ρ = 2τ  en   2 - 2ρ = τ
de eerste en de derde geven 3ρ = 2 - 2ρ  dus  ρ = 2/5  en dan is  τ = 6/5
Dat klopt met de tweede vergelijking.
S = (6/5, 12/5, 6/5)
MS = ((9/5)2 + (18/5)2 + (9/5)2) = 1/5486 = 9/56
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)