© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. leg een vlak V door de eerste lijn, evenwijdig aan de tweede:  
   
    V is het vlak   x - z = c  en de steunvector invullen geeft  x - z = 2
    Kies punt P = (-2, -8, -2) van de tweede lijn.
Lijn l door P loodrecht op vlak V:  		 
   
    Snijden van l en V:   -2 + ρ - (-2 - ρ) = 2    ⇒  0 + 2ρ = 2  ⇒  ρ = 1
De lengte van PP' is dus precies gelijk aan de lengte van de gebruikte normaalvector (immers ρ = 1)
Dat is  √(12 + 02 + 12) = √2  en dat is ook de afstand tussen de twee kruisende lijnen.
       
  b. leg een vlak V door de eerste lijn, evenwijdig aan de tweede:
   
    V is het vlak  x - 2y + 4z = c  en de steunvector invullen geeft   x - 2y + 4z = 0
Kies punt P = (7, -7, 0) van de tweede lijn.
Lijn door P loodrecht op vlak V:
   
    Snijden van l en V:   (7 + ρ) - 2(-7 - 2ρ) + 4 • 4ρ = 0 ⇒  21 + 21ρ = 0  ⇒  ρ = -1
De lengte van PP' is  gelijk aan de lengte van de gebruikte normaalvector.
Dat is  √(12 + 22 + 42) = √21 en dat is ook de afstand tussen de twee kruisende lijnen.
       
  c. leg een vlak V door de eerste lijn, evenwijdig aan de tweede:
   
    V is het vlak  5x + 3y + z = c  en de steunvector invullen geeft  5x + 3y + z = -21
Kies punt  P = (0, -1, -3) van de tweede lijn.
Lijn door P loodrecht op vlak V:
   
    Snijden van l en V:   5 • 5ρ + 3(-1 + 3ρ) + -3 + ρ = -21  ⇒  -6 + 35ρ = -21  ⇒  ρ = -3/7
De lengte van PP' is  gelijk aan  3/7 • de lengte van de gebruikte normaalvector.
Dat is  √(52 + 32 + 12) = √35  dus  de afstand tussen de lijnen is  3/7√35
       
  d. leg een vlak V door de eerste lijn, evenwijdig aan de tweede:
   
    V is het vlak  -4x + 7y + z = c  en de steunvector invullen geeft      -4x + 7y + z = 70
Kies punt  P(7, 5, -3) van de tweede lijn
Lijn door P loodrecht op vlak V:
   
    Snijden van l en V:   -4(7 - 4ρ) + 7(5 + 7ρ) + (-3 + ρ) = 70  ⇒  4 + 66ρ = 70  ⇒   ρ = 1
De lengte van PP' is  gelijk aan de lengte van de gebruikte normaalvector.
Dat is  √(42 + 72 + 12) = √66  en dat is ook de afstand tussen de twee kruisende lijnen.
       
2. Kies D als oorsprong en de x-as langs DA.
       
  a. A = (4, 0, 0) en M = (0, 3, 5)
B = (4, 6, 0)  en  E = (4, 0, 5)
leg een v lak V door AM evenwijdig aan BE:
   
    V is het vlak  15x - 20y + 24z = c  en de steunvector invullen geeft  15x - 20y + 24z = 60
Lijn door  B(4, 6, 0) loodrecht op V:
   
    Snijden van l en vlak V:   15(4 + 15ρ) - 20(6 - 20ρ) + 24 • 24ρ = 60 ⇒ -60 + 1201ρ = 60 
⇒  ρ = -120/1201
De lengte van BB' is  gelijk aan  120/1201 • de lengte van de gebruikte normaalvector.
Dat is  √(152 + 202 + 242) = √1201  dus de afstand tussen de lijnen is  120/1201 • √1201  ≈ 3,46.
       
  b. H = (0, 0, 5)  en  B = (4, 6, 0)
C = (0, 6, 0) en M = (0, 3, 5)
leg een vlak V door HB evenwijdig aan  CM:
   
    V is het vlak  -15x + 20y + 12z = c  en de steunvector invullen geeft  -15x + 20y + 12z = 60
Lijn door  C(0, 6, 0) loodrecht op V:
   
    snijden van l en vlak V:    -15 • -15ρ  + 20 • (6 + 20ρ) + 12 • 12ρ = 60   ⇒   120 + 769ρ = 60
⇒  ρ = -60/769
  De lengte van  CC' is gelijk aan  60/769 • de lengte van de gebruikte normaalvector.
Dat is  √(152 + 202 + 122) = √769  dus de afstand tussen de lijnen is   60/769 • √769 ≈  2,16
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)