© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
1. a. (y')2 = xy' + y' - y
Deze is het makkelijkst oplosbaar naar y:    y = -(y')2 + xy' +  y'
Noem y' = p:    y = -p2 + xp + p     ....(1)
Differentieer naar x:    y' =  -2p • p' + p + xp'  + p'   maar y' = p, dus dat geeft:
p
=  -2p • p' + p + xp'  + p'
0 = p' • (-2p + x + 1)
een eerste-orde eerste-graads vergelijking voor p.

We zien uiteraard direct twee oplossingen:
    • p' = 0  geeft  p = c   en in (1) geeft dat   y = -c2 + cx + c   en dat is de algemene oplossing
    • -2p + x + 1 = 0  geeft  p = 1/2x + 1/2   en in (1) geeft dat:
y =  (1/2x + 1/2)2 - x(1/2x + 1/2 ) + 1/2x + 1/2 
haakjes wegwerken en zo:  4y = (x + 1)2   en dat is een particuliere oplossing.
       
  b. y = 2xy' - y(y' )2 
Oplosbaar naar x:
2xy' = y + y(y')2
2x = y/y' + yy'  
noem nu y' = p  dan staat er   2x = y/p + py    ....(1)
differentiλren naar (waarbij  x' = 1/p) :    2 • 1/p  =  1/p + p - y/p² • p' + yp'    (tweemaal productregel)
p'y • (1 - 1/p²) = 1/p - p   en als je vermenigvuldigt met p2  geeft dat  p' • y(p2  - 1) = p - p3
scheiden:   dp • (p² - 1)/(p - p³) = dy • 1/y
dp • (-1/p) = 1/y • dy     of  p = ±1  
  
    • eerste primitiveren:   -lnp + c  = lny  dus    c/p = y  dus  p = c/y   en dat kun je invullen in (1):
2x = y²/c + c   ofwel  y2  = 2cx - c2   en dat is de algemene oplossing. 
    • p = ±1  geeft in (1)  dat  2x = ±2y  ofwel samengevat  x2 = y2  als particuliere oplossing
       
  c. xy' = y + 1/y'
oplosbaar naar y:
y = xy' - 1/y'
noem nu y' = p dan staat er   y = xp - 1/p    ....(1)
differentieer naar (waarbij  y' = p):   p = p + x • p' + 1/p² • p'   
0 = p'• (x + 1/p²)   en dat geeft  p'= 0  of  x =  -1/p²
    • p ' = 0  geeft  p = c  en in (1) levert dat  y = cx - 1/c   en dat is de algemene oplossing
    • x =  -1/p²  geeft  p =  1/(-x)   in (1):   y =  x • 1/(-x) --x =  -(-x) - (-x) = -2(-x)
Dus  y2 = -4x
is een particuliere oplossing.
       
  d. y' =  1 + y • e-y'
oplosbaar naar y:
y'- 1 = y • e-y'
(y' - 1)ey' =  y
stel p = y':   dat geeft   (p - 1)ep = y    ....(1)
differentiλren:   y' =  p =  ((p - 1)ep + 1 • ep) • p
p = pep • p
p = 0  of  p' = e-p
    • p = 0  geeft  in (1)  dat  y = -1  en dat is een particuliere oplossing
    • p' = e-p  geeft  dp • ep = 1dx   dus  ep = x + c  dus   p = ln(x + c)
invullen in (1)     y = (ln(x + c) - 1)eln(x + c)    ofwel   y = (ln(x + c) - 1) • (x + c)  en dat is de algemene oplossing
       
  e. (3y - 1)2 • (y')2 = 4y
oplosbaar naar y'  en dan eenvoudig te primitiveren:
(y')2 = 4y/(3y - 1)²   
y ' = ±2
y/(3y - 1) 
dy • (3y - 1)/±2y  = dx • 1
dy • ±(3/2y - 1/2y-0,5) = dx • 1
primitiveren:   ±(y3/2 - y1/2) = x + c
±y1/2 (y - 1) = x + c
y
(y
- 1)2 = (x + c)2   is de algemene oplossing.
Een particuliere oplossing is y = 0
       
  f. xy' - = y'lny'
oplosbaar naar y:
y = xy' - y'lny' 
stel  y' = p:     y = xp - plnp    .....(1)
differentiλren naar x:     y' = p =  1 • p  + x • p'  - lnp • p' -  1 • p' 
0 = p' • (x - lnp - 1)
Dat geeft twee mogelijkheden:   p' = 0  of   x - lnp - 1 = 0
    • p' = 0  geeft  p = c  en dan geeft  (1) dat  y = cx - clnc  en dat is de algemene oplossing
    • x - lnp - 1 = 0 geeft  lnp = x - 1  dus  p = ex - 1
dan geeft (1):   y = xex - 1 - ex - 1 • (x - 1)
dat is  y = ex - 1 en dat is een particuliere oplossing.
       
  g. cosy' =  y - xy'
oplosbaar naar y:
y = cosy' + xy
stel y' = p:    y = cosp + xp    ....(1)
differentiλren naar x:     p = -sinp • p' + p + x • p'
0  = p' • (x - sinp)
Dat geeft twee mogelijkheden:  p' = 0  of  x - sinp = 0
    • p' = 0 geeft  p = c  en dat geeft in (1):   y = cosc + cx  en dat is de algemene oplossing
    • x - sinp = 0  geeft  x = sindus  p = arcsinx
invullen in (1):   y = cos(arcsinx) + xarcsinx  en dat is een particuliere oplossing
je kunt hem nog verfraaien door te bedenken dat  cos(arcsinx) = √(1 - x2)
       
  h. y' =  ln(xy' - y)
ey'  = xy' - y
y
= xy' - ey' 
Stel y'= p:    y = xp - ep    ....(1)
differentieer naar x:    p = p + xp' - ep • p'
0 = p' • (x - ep)
Dat geeft twee mogelijkheden:   p' = 0  of   x = ep  
    • p' = 0  geeft  p = c en dan levert (1):    y = cx - ec  en dat is een algemene oplossing
    •  x = ep   geeft p = lnx  en dan levert (1):   y = xlnx - x en dat is een particuliere oplossing 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)