h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. F(s) = 2/(s2 + 6s + 9)  =  2/(s + 3)
uit de tabel lijkt die wel wat op  n!/(s - a)n - 1  met n = 3 en a = -3
1/3   6/(s + 3)   maakt het kloppend, dus   f(x) = 1/3 x3 e-3x
       
  b. F(s) = (2 + 2s)/(s2 + 8s + 20)  =  (2 + 2s)/(s + 8s + 16 + 4)  = (2 + 2s)/((s + 4) + 4)
Dat lijkt uit de tabel   eatcosbt  te worden, met a = -4 en b = 2
F(s) = 2 (s + 4 - 3)/((s + 4) + 4) =  2 (s+ 4)/((s + 4) + 4) - 6/((s + 4) + 4) 
Dat eerste deel is nu inderdaad   2 e-4x cos2x   en dat tweede deel is  -3 e-4xsin2x
Samen geeft dat  f(x) = e-4x (2cos2x- 3sin2x)
       
  c. F(s) = 6/(2s - 1)3  = 6/(2(s - 0,5)) = 6/(8(s - 0,5))  = 3/4 1/(s - 0,5) 
dat lijkt de transformatie van xneax  uit de tabel te worden:  n!/(s - a)n - 1  met a = 0,5 en n = 4.
F(s) = 3/4 1/24 4!/(s - 0,5)
Geeft de terug-getransformeerde:   f(x) = 3/96 x4 e0,5x
       
  d. F(s) = 8/ss + 1/s 
Het eerste deel lijkt op de transformatie van x en dat is  √π/ss
Het tweede deel lijkt op den transformatie van x5  en dat is  120/s6
F(s) =  8/√π √π/ss  +  1/120 120/s6 
f(x) = 8/√π x  + 1/120 x5
       
2. a. F(s) = A/(2s + 1) + B/(s - 3)  =  (A(s - 3) + B(2s + 1))/((2s + 1)(s - 3))
A(s - 3) + B(2s + 1) = 14
As - 3A + 2Bs + B = 14
s(A + 2B) + (B - 3A) = 14
A + 2B = 0  en  B - 3A = 14
De eerste geeft  A = -2B en dat kun je invullen in de tweede:  B + 6B = 14
B = 2 en A = -4
F(s) = -4/(2s + 1) + 2/(s - 3) = -2/(s + 0,5) + 2/(s - 3)
Dan is  f(x) = -2e-0,5x + 2e3x  
       
  b. F(s) = (35s + 8)/(4s + s)(35s + 8)/(s (4s + 1))
F(s) = A/s + B/(4s + 1)  =  (A(4s + 1) + Bs)/(s(4s + 1))
A(4s + 1) + Bs = 35s + 8
4As + A + Bs = 35s + 8
s(4A + B) + A = 35s + 8
Dat geeft  A = 8  en  B = 3
F(s) = 8/s + 3/(4s + 1)8/s + 0,75/(s + 0,25)
Dan is  f(x) = 0,75e-0,25x + 8
       
  c. F(s) = A/(s + 1) + B/(s - 2) + C/(s + 3)
F(s) = (A(s - 2)(s + 3) + B(s + 1)(s + 3) + C(s + 1)(s - 2))/((s + 1)(s- 2)(s + 3))  
A(s2 + s - 6) + B(s2 + 4s + 3) + C(s2 - s - 2) =  7s2 - 5s + 8
s2(A + B + C) + s(A + 4B - C) + (-6A + 3B - 2C) = 7s2 + 5s - 8

A + B + C = 7
A + 4B  - C = 5
-6A + 3B - 2C = -8

De eerste geeft  A = 7 - B - C en dat kun  je invullen in de tweede en de derde:
7 - B - C + 4B - C = 5   ⇒   3B - 2C = -2
-6(7 - B - C) + 3B - 2C = -8   ⇒  9B + 4C = 34

De eerste geeft  2C = 2 + 3B en dat kun je invullen in de tweede:  9B + 4 + 6B = 34
15B = 30     B = 2
Dan is  C = 4  en  A = 1
F(s) = 1/(s + 1) + 2/(s - 2) + 4/(s + 3)
f(x) = e-x + 2e2x + 4e-3x
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)