Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

homogene vergelijking: y'' - 2y' + y = 0 en r = -e^x/x
karakteristieke vergelijking: λ² - 2λ + 1 = 0
(λ - 1)² = 0 ⇒ λ = 1
oplossing homogene vergelijking y = (Ax + B)e^x ofwel y₁ = xe^x en y₂ = e^x
y₂ y₁' - y₂' y₁ = e^x• (e^x + xe^x) - e^x• xe^x = e^2x

y = xlnx • e^x - x

homogene vergelijking: y'' - y = 0 en r = xe^x
karakteristieke vergelijking: λ² - 1 = 0 ⇒ λ = 1 ∨ λ = -1
oplossing homogene vergelijking: y = Ae^x + Be^-x dus y₁ = e^x en y₂ = e^-x
y₂ y₁' - y₂' y₁ = e^-x • e^x - -e^-x • e^x = 1 + 1 = 2

y = -¹/₄x²e^x + ¹/₄xe^2x e^-x - ¹/₈e^2xe^-x
y = -¹/₄x²e^x + ¹/₄xe^x - ¹/₈e^x

homogene vergelijking y'' + 9y = 0 en r = -cos3x
karakteristieke vergelijking λ² + 9 = 0 ⇒ λ² = -3 ⇒ λ = 3i ∨ λ = -3i
oplossing homogene vergelijking y = Acos3x + Bsin3x dus y₁ = cos3x en y₂ = sin3x
y₂ y₁' - y₂' y₁ = sin3x • -3sin3x - 3cos3x • cos3x = - 3sin²3x - 3cos²3x = -3(sin²3x + cos²3x) = -3

y = ¹/₃₆cos6x • cos3x + ¹/₆x • sin3x + ¹/₃₆sin6x • sin3x

homogene vergelijking: xy'' - (x + 1)y' + y = 0

y₁ = e^x geeft y ' = y'' = e^x
invullen: xe^x - (x + 1)e^x + e^x = xe^x - xe^x - e^x + e^x = 0 dus dat klopt.

y₂ = x + 1 geeft y' = 1 en y'' = 0
invullen: 0 - (x + 1) + x + 1 = 0 dus dat klopt ook.

Eerst alles delen door x geeft r = -x
y₁ = e^xen y₂ = x + 1 met r = -x geeft:
y₂ y₁' - y₂' y₁ = (x + 1)e^x - 1 • e^x = xe^x

Daarbij is partieel geprimitiveerd.
De oplossing hiervan is c₁ = -xe^-x - 2e^-x

y = (-xe^-x - 2e^-x ) • e^x - x(x + 1) = -x - 2 - x² - x = -x² - 2x - 2 en dat is een particuliere oplossing.

Algemene oplossing:
y = A • e^x + B • (x + 1) - x² - 2x - 2

y(0) = -2 geeft   -2 = A + B - 2 ofwel B = -A
y(1) = 0 geeft   0 = Ae + 2B - 5
vul de eerste in in de tweede:    0 = Ae - 2A - 5
A(e - 2) = 5 ⇒   A = ⁵/_{(e - 2)} en dan is B = ⁵/_{(2
- e)}

De oplossing is   y = ⁵/_{(e
- 2) •} e^x + ^{5(x + 1)}/_{(2
- e)} - x² - 2x - 2