Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y2y' = -xy  - 2y2   met  y(1) = 0
Deel alles door x2 :   (y/x)2 • y'  = -(y/x) - 2(y/x)2
u =  y/x  ⇒  y = ux  ⇒  y' =  u'x + u
invullen:  u2 • (u'x + u) = -u - 2u2
u'x + u = -1/u  - 2
u'x = -1/u - 2 - u =  (1 + 2u + u˛)/-u
-u/(u˛ + 2u + 1) • du =  1/x • dx
-u/(u + 1)˛ • du = 1/x  • dx
(-u - 1 + 1)/(u + 1)˛ • du = 1/x • dx
(-(u + 1)/(u + 1)˛  + 1/(u + 1)˛  ) • du  = 1/x  • dx
primitiveren:   -ln(u + 1)  -  1/(u + 1) = lnx + c
 -ln(y/x + 1)  -  1/(y/x + 1) = lnx + c
y(1) = 0  geeft  0 - 1 = c  dus  c = -1

De oplossing is   -ln(y/x + 1)  -  1 / (y/x + 1) = lnx - 1
       
  b. xy´ = y + √(xy)  met  y(1) = 4
Deel alles door x:    y' = y/x + √(y/x)    .....(1)
u =  y/x  ⇒  y = ux  ⇒  y' =  u'x + u
Invullen in (1):     u'x + u = u + √u
u'x = √u
1/√u • du  =  1/x • dx
primitiveren:   2√u  = lnx + c
u = (1/2lnx + c)2
Dan is  y = xu = x • (1/2lnx + c)2

y(1) = 4  geeft  4 = 1 • (0 + c)2   dus  c = 2
De oplossing is  y =   x • (1/2lnx + 2)2
       
2. a. y'  + 2y  = 4x  met   y(0) = 0
y' = 4x - 2y
u = 4x - 2y  ⇒   u' = 4 - 2y'  ⇒  y'  = (u' - 4)/-2  
 (u' - 4)/-2   = u
u' - 4 = -2u
u' + 2u = 4

integrerende factor zoeken:
f =  2  dus  integrerende factor  h = e∫ f = e2x
hg = 4e2x   dus  ∫ hg = 2e2x
u = (c + 2e2x)/e2x  =  ce-2x + 2 
dan is  y = 2x - 1/2u  =  2x - 1/2ce-2x - 1

y(0) = 0 geeft  0 = 0 - 1/2c - 1  dus  c = -2
De oplossing is   y =  2x + e-2x - 1 
       
  b. y' = ey - x  met   y(0) = ln2
u = y - x  ⇒  u' = y' - 1  ⇒  y' = u' + 1
u' + 1 = eu
u' =  eu - 1
1/(eu - 1) • du =  dx
e-u/(1 - e-u) • du = dx   (zie de tip bij de opgave)
primitiveren   -ln(1 - e-u)  = x + c
e-u - 1  = ce-x 
e-u = 1 + ce-x
-u = ln(1 + cex)
y = u + x = x - ln(1 + cex)

y(0) = ln2  geeft  ln2 = 0 - ln(1 + c)  ofwel  c = -1/2

De oplossing is  y = x - ln(1 - 1/2ex)
       
3. y' = (2x + y - 3)/(x  + 2y )   dat is een gevalletje 3!
x = X + p  en   y = Y + q met   y'(x + 2y) = 2x + y - 3  geeft samen:
Y' • (X + p + 2Y + 2q) = 2X + 2p + Y + q - 3
Dat wordt homogeen als  p + 2q = 0  en  2p + q - 3 = 0   en dat is voor p = 2 en  q = -1 
Geeft   dY • (X + 2Y) = dX • (2X + Y)
Y = uX  geeft dan    (Xdu + udX) • (X + 2uX) = dX • (2X + uX)
dX • (uX + 2u2X  - 2X - uX)  + du • (X2 + 2uX2) = 0
delen door X:   dX • 2 • (u2 - 1) + du • X • (1 + 2u) = 0
2/X  • dX  =  (1 + 2u)/(1 - u˛)  • du 
2/X  • dX  = ( 1/(1 - u˛) +  2u/(1 - u˛)  ) • du 
primitiveren:   2lnX = 1/2ln((1 + u)/(1 - u))  - ln(1 - u2) + c   (het eerste deel met breuksplitsen)
terugsubstitueren:  u = Y/X en  X = x - 2  en  Y = y + 1
ga vooral je gang.....  
       
4. a. (x3 + y3)dx = 3xy2 dy    is homogeen  (alles macht 3)
y = ux  en   dy = udx + xdu  invullen:
(x3 + u3x3)dx = (3x • u2x2 )(udx + xdu)
Alles delen door x3:   (1 + u3)dx = 3u2(udx + xdu)
dx(1 + u3 - 3u3) = du • 3u2x
1/x • dx  =  3u˛/(1 - 2uł) • du
primitiveren:   lnx = -1/2ln(1 - 2u3) + c  dus   -2lnx = ln(1 - 2u3) + c
x -2 = c • (1 - 2u3) 
Maar  u = y/x  dus dat geeft   x -2 = c(1 - 2 • (y/x)3)  ofwel (vermenigvuldig met x3):   x = c(x3 - 2y3)
       
  b. (1 + 2ex/y )dx + 2ex/y (1 - x/y)dy = 0
Een typisch geval van geval 1:  y' = f(x/y)
x/y = u  geeft   x = uy  en  dx = udy + ydu  en na invullen vind je: (1 + 2eu)(udy + ydu) + 2eu(1 - u)dy = 0
dy(u + 2ueu + 2eu - 2ueu) + du • y • (1 + 2eu) = 0
dy(u + 2eu) + du • y • (1 + 2eu) = 0
-1/y • dy = (1 + 2eu)/(u + 2eu) • du
-lny = ln(u + 2eu) + c
y-1 = c(u + 2eu)
terug naar u = x/y:    y-1 = c(x/y + 2ex/y)   ofwel:  1 = c(x + 2yex/y)  of eventueel  c = x + 2yex/y 
       
  c. xy' = y + √(x2 - y2)   ⇒   y' = y/x + √(1 - (y/x)2) = f(y/x)
y = ux en  dy = udx + xdu  invullen:   (udx + xdu) =  (u + √(1 - u2)dx 
xdu =  √(1 - u2)dx 
1/√(1 - u˛) • du = 1/x • dx 
arcsinu = lnx + c
dus  arcsin(y/x) = lnx + c  en dat lijkt me een mooie oplossing.
       
  d. (xsin(y/x) - ycos(y/x))dx + xcos(y/x)dy = 0
deel alles door x:    (sin(y/x) - y/x • cos(y/x))dx + cos(y/x)dy = 0
y = ux  en  dy = udx + xdu  invullen:    (sinu - ucosu)dx + cosu • (udx + xdu) = 0
dx(sinu - ucosu + ucosu) = du(-xcosu)
dx(sinu) = du(-xcosu)
1/x • dx  = -1/tanu • du
primitiveren:  lnx = -ln(sinu) + c    dus  x = c/sinu dus   xsinu = c  en dat geeft  xsin(y/x) = c  
       
  e. 2xy' = 2y + √(x2 + 4y2)
delen door x:    2y' = 2(y/x) + √(1 + 4(y/x)2) en dat is weer een functie van (y/x)
y = ux   geeft:  2(xdu + udx) = 2udx + √(1 + 4u2)dx
2xdu = dx(2u + √(1 + 4u2) - 2u)
2xdu = dx • √(1 + 4u2)
2/√(1 + 4u˛) • du  =  1/x • dx 
ln(2u + √(1 + 4u2)) = lnx + c    (een nogal lastige primitieve  uit deze les)
2u + √(1 + 4u2) = cx
2(y/x) + √(1 + 4(y/x)2) = cx

rest is verfraaiing:
2y + √(x2 + 4y2) = cx2 
√(x2 + 4y2) = cx2 - 2y
x2 + 4y2  =  c2x4 - 4cx2y + 4y2
x2 = c2x4 - 4cx2y
1 = c2x2 - 4cy
       
5. a Stel x = X + p  en  y = Y + q
Dat geeft  dY(X + p + Y + q + 1)2 = 2dX(Y + q + 3)2
Neem dus  q = -3 en dan p = 2
Dan staat er   dY(X + Y)2 = 2Y2dX

Substitueer nu  X = uY  en dus  dX = udY + Ydu
dY(Y + uY)2 = 2Y2(udY + Ydu)
Delen door Y2:    dY(1 + u)2 = 2udY + 2Ydu
dY((1 + u)2 - 2u) = 2Ydu
dY(1 + u2) = 2Ydu
scheiden:    1/Y • dY = 2/(1 + u˛) • du
primitiveren:   lnY = 2arctanu + c
terug naar y en x:    ln(y + 3) = 2arctan((x - 2)/(y + 3)) + c
       
  b. (x + y - 1)2dy = 2(y + 2)2 dx
Stel x = X + p  en  y = Y + q
Dat geeft   (X + p + Y + q  - 1)2 dY  =  2(Y + q + 2)2 dX
Neem dus  q= -2  en dan   p = 3
dY(X + Y)2 = 2Y2dX
Nee maar! dat is dezelfde vergelijking als in de vorige vraag!!
lnY = 2arctanu + c  geeft    ln(y + 2) = 2arctan((x - 3)/(y + 2)) + c
       
6. a. (x + y)dx + (3x + 3y - 4)dy = 0
x = X + p  en  y = Y + q  geeft    (X + p + Y + q)dX + (3X + 3p + 3Y + 3q - 4)dY = 0
p + q = 0  en   3p + 3q - 4 = 0  is een strijdig stelsel.
noem x + y = z,  dan staat er    zdx + (3z - 4)dy = 0
dx = dz - dy  geeft dan    z(dz - dy) + (3z - 4)dy = 0
zdz + dy(2z - 4) = 0
dy =  z/(4 - 2z) • dz  =  (-1/2 + 1/(2 - z)) • dz    (staartdeling gemaakt)
primitiveren:   y =  -1/2z - ln(2 - z) + c
terug substitueren:   y = -1/2(x + y) - ln(2 - x - y) + c
mooier schrijven:   3y + x  + 2ln(2 - x - y) = c
       
  b. (x + 2y + 1)dx  - (2x - 3)dy = 0
x = X + p  en  y = Y + q   geeft:      (X + p + 2Y + 2q + 1)dX  - (2X + 2p - 3)dY = 0
p + 2q + 1 = 0  en   2p - 3 = 0  geeft  p = 11/2  en  q = -11/4 
Dan staat er  dX(X + 2Y) - dY(2X) = 0

Y = uX  en  dY = udX + Xdu  geeft:   dX(X + 2uX) - (udX + Xdu) • 2X = 0
delen door X:   dX(1 + 2u) - 2(udX + Xdu) = 0
groeperen:   dX(1 + 2u - 2u) - 2Xdu = 0
dX • 1/X = 2du
lnX = 2u + c     
terug substitueren:   lnX = 2Y/X + c    en dan   ln(x - 1,5) =  (2y + 4,5)/(x - 1,5) + c
       
7.  (x2 - y2) • y' = 2xy
 (x2 - y2) • dy = 2xy • dx
hier werkt  x = uy beter:
(u2y2 - y2) • dy = 2 uy2 (udy + ydu)
(u2 - 1)dy  = 2u(udy + ydu)
dy(u2 - 1 - 2u2) = du • 2uy
1/y • dy =  2u/(-u˛- 1) • du
lny = -ln(u2 + 1) + c
y = c • 1/(u˛ + 1) 
y(u2 + 1) = c
y((x/y)2 + 1) = c
x2 + y2 = cy  
       
8.  xydx = (x2 - y4)dy   geeft   xdx = (x2 - y4) • 1/y • dy
deze is niet homogeen, maar kan het door een handige substitutie wel worden:
noem y2 = Y  dan is  2ydy = dY  dus  dy = 1/2y • dY
xdx  =  (x2 - Y2) • 1/y • 1/2y • dY
xdx = (x2 - Y2) • 1/2 • 1/Y • dY
2xYdx = (x2 - Y2)dY  en die is homogeen!
x = uY werkt het handigst:
2uY2 (udY + Ydu) = (u2Y2 - Y2)dY
delen door Y2:    2u(udY + Ydu) = (u2 - 1)dY
du • 2uY = dY • (u2 - 1 - 2u2)
du • -2u/(u˛ + 1) = dY • 1/Y 
-ln(u2 + 1) = lnY + c
1/(u˛ + 1) = cY
terug via  u = x/Y  geeft   Y˛/(x˛ + Y˛) = cY
terug via  Y = y2  geeft dan tenslotte  cy2 • (x2 + y4) = y4   ofwel   c(x2 + y4) = y2 
       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)