© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y'  = y + e-x • y -2   met  y(0) = 2
Deel alles door  y-2  (dus vermenigvuldig met y2):   y' • y2 = y3 + e-x 
Substitueer  u = y3  dus  u '  = 3y2 • y'  dus  y' = u' • 1/3y² 
u' • 1/3y² • y2  = u + e-x
u' = 3u + 3e-x   ofwel  u' - 3u = 3e-x

 f = -3 dus  integrerende factor  h = e∫-3dx = e-3x 
hg =  e-3x • 3e-x = 3e-4x   dus  ∫hg = -3/4e-4x
u = (c - 3/4e-4x ) / e-3x  =  c • e-3x - 3/4 • e-x  
y = u1/3  = ( c • e-3x - 3/4 • e-x )1/3  

y(0) = 2  geeft   (c - 3/4)1/3 = 2  ⇒  c - 3/4 = 8  ⇒  c = 83/4 

De oplossing is  y = (35/4 • e-3x  - 3/4 • e-x)1/3
       
  b. y'  - 3y = xy3  met  y(0) = 8
Deel alles door y3 :    1/y³ • y'  - 3/y² = x    .......(1)
Substitueer  u = y-2  dus  y = u-0,5   en daaruit volgt  u' = -2y-3 • y'  dus  y'/y³  = -0,5u'
invullen in (1):   -0,5u'  - 3u  = x     dus  u'  + 6u = -2x

f  = 6  dus integrerende factor  h =   e∫6dx = e6x 
hg =  -2x • e6x
∫hg   = -1/3x • e6x + 1/18e6x   (partieel primitiveren)
u  = (c  -1/3x • e6x + 1/18e6x ) / e6x  =  ce-6x - 1/3x + 1/18
y  =  u-0,5 =  ( ce-6x - 1/3x + 1/18 )-0,5

y(0) = 6  geeft  6 = (c + 1/18 )-0,5   |
c + 1/18  = 1/36 
c = -1/36

De oplossing is  y =  ( -1/36e-6x - 1/3x + 1/18 )-0,5
       
  c. y' + xy  = xy2  met  y(0) = 3
Deel alles door  y2 :   1/y² • y' + x/y = x    ......(1)
Substitueer  u =  y-1   dus  y = u-1  en daaruit volgt  u' = -y-2 • y'  dus  y'/y² = -u'
invullen in (1):   -u' + xu  = x   dus  u' - xu  = x
f = -x  dus integrerende factor  e∫-xdx = e-0,5x² 
hg = x •  e-0,5x²   
∫hg =  -e-0,5x²
u =  (c  - e-0,5x² ) / e-0,5x²   = ce0,5x² - 1
y = u-1  =  ( ce0,5x² - 1)-1

y(0) = 3 geeft   3 = (c - 1)-1 
c - 1 = 1/3
c = 4/3

De oplossing is  y = ( 4/3e0,5x² - 1)-1
       
  d. y' +  xy = x3y3   met  y(0) =
delen door y3  geeft  y' y -3 + x • y -2 = x3 
Substitueer  u = y-2   en  u' = -2y-3 • y'  dus  y' • y-3 = -1/2u'    
invullen:    -1/2u' + xu  =  x3   ofwel   u' - 2xu = -2x3 
Dat is een lineaire differentiaalvergelijking geworden.
Stel  u = pq
(p'q + pq') - 2xpq = -2x3    ....(1)
kies nu q zó dat  q'p -  2pqx = 0  dus  q' = 2qx  dus  q = ex²
Dat geeft in   ....(1)  dat    p'q = -2x3  ⇒  p' •   ex² = -2x3  ⇒  p' = -2x3 • e-x²  = -2xe-x² • x2
partieel  primitiveren:   p =  x2e-x²  - ∫2xe-x²  =  x2e-x²  - e-x² + c
u = pq =  (x2e-x²  - e-x² + c) •  ex²  = x2 - 1 + cex² 
Maar dat was  1/y²  dus   1/y² =  x2 - 1 + cex²
1/y(0)² =  -1 + c  = 1/1 = 1  geeft  c = 2   dus   1/y² =  x2 - 1 + 2ex²
       
  e. y' -  y = xy5
y' = y + xy5
delen door y5:    y-5 • y' = y-4 + x
u = y -4  geeft  u' = -4y-5 • y'   dus  y' • y-5  = -1/4u'
invullen:  -1/4u' =  u + x
Dat is een lineaire differentiaalvergelijking geworden.
Stel u = pq
(p'q + pq') = -4pq + -4x    ....(1)
Kies  q zó dat  alles met p erin nul wordt, dus  pq' + 4pq = 0  dus  q' = -4q  dus  q = e-4x
Dat geeft in (1):    p'q = -4x  ⇒ p' = -4x • e4x   ⇒   p = e4x (1/4 - x) + c    (partieel)
u = pq = (1/4 - x) + ce-4x
Maar u = y-4   dus    1/y4 = 1/4 - x + ce-4x
       
  f. y' + 2xy + xy4 = 0
y' =  -2xy - xy4
delen door y4:    y-4 • y' = -2xy-3 - x
u = y-3  geeft    u' = -3y-4 • y'    dus  y-4 • y' = -1/3u' 
invullen:  -1/3u' = -2xu - x
Dat is een lineaire differentiaalvergelijking geworden.
Stel u = pq
(p'q + pq') =  6xpq + 3x   ....(1)
Kies  q zó dat  alles met p erin nul wordt, dus  q' - 6xq = 0  dus  q ' = 6xq  dus  q = e3x²
Dat geeft in  (1):   p'q =  3x  ⇒  p' = 3xe-3x²  ⇒  p = -1/2e-3x² + c
u = pq = -1/2 + ce3x²  
Maar  u = y-3   dus  1/y3 = -1/2 + ce3x²  
       
  g. yy' - xy2 + x = 0
y' - xy + xy-1 = 0
delen door  y-1  geeft   y' • y - xy2 + x = 0 
grappig! Dat was de oorspronkelijke vergelijking. We hadden ook direct kunnen gaan substitueren! 
u = y2  geeft  u' = 2yy'  dus  yy' = 1/2u' 
1/2u' - xu + x = 0  is een lineaire differentiaalvergelijking.
Stel  u = pq
(p'q + pq') = 2pqx - x    ....(1)
Kies  q zó dat  alles met p erin nul wordt, dus  q' - 2qx = 0  dus  q' = 2qx  dus  q = ex² 
Dat geeft in (1):   p'q = -x  ⇒  p' = -xe-x²  ⇒  p =  1/2e-x²+ c 
u = pq = 1/2 + cex²  
Maar u = y2   dus  y2 = 1/2 + cex²  
       
2.   F = d/dt(mv) = mg
Maar als de dichtheid van het touw ρ is, en het vrijhangende stuk heeft lengte x dan geldt  m = ρx
Dat geeft  ρxg = mdv/dt + vdm/dt
ρxg = ρxdv/dt + vdρx/dt 
ρxg = ρxdv/dt + ρvdx/dt    immers  ρ is constant.
xg = xdv/dt + vdx/dt   Maar hier staat  dx/dt en dat is de snelheid v:
xg = xdv/dt + v2    maar  dv/dt = dv/dx • dx/dt = dv/dx • v
xg = xvdv/dx + v2     deel nu alles door xv
dv/dx   + 1/x • v = g/v
Dat is de gezochte Bernouilli-differentiaalvergelijking.
       
  b. Alles delen door  v-1  geeft    v • dv/dx + 1/x • v2  = g 
u = v2  geeft   v = u  dus  dv/dx = -2u • u-3 • du/dx
Dat geeft  u -2 • -2u • u-3 • du/dx + 1/x • u = g 
du/dx + 2u • 1/x = 2g
Dat is een lineaire differentiaalvergelijking
u = pq
dan staat er   (p'q + pq') + 2pq • 1/x = 2g
p(q' + 2/x • q) + p'q = 2g    ......(1)
Kies nu  q'+ 2/x • q = 0  dat geeft  q = 1/x²
Invullen in (1):    p' • 1/x² = 2g   ⇒   p' = 2gx2  ⇒   p =  2/3gx3 + c
De algemene oplossing is:   v2 = ( 2/3gx3 + c) • ( 1/x² ) = 2/3gx + c/x²

op t = 0  is  v = 0  en  x = 0,20  en dat geeft    c = -2/375 • g
als x = 1  geeft dat  v2 = 0,661g   en dat geeft  v ≈  2,55 m/s
       
3.  (x/y - x3cosy) • y' = 2
deze lijkt niet op een Bernouilli-vergelijking, behalve als je de rol van x en y verwisselt!
y' = 1/x' geeft:
2x' =  1/y • x  - x3cosy  en nou is 't wél een Bernouilli-vergelijking!
Delen door x3:    2x-3 • x' = 1/y • x-2 - cosy 
u = x-2   geeft  u ' = -2x-3 • x'  dus  dan staat er   -u'  = 1/y • u - cosy   ofwel   u' = -1/y • u + cosy
Dat is een lineaire differentiaalvergelijking.
u = pq  geeft:   (p'q + pq') = -1/y • pq + cosy    ....(1)
Kies  q zó dat  alles met p erin nul wordt, dus   q' + 1/y • q = 0  dus  q' = -1/y •  q   ofwel  q = 1/y 
Invullen in (1)   p' • 1/y  = cosy   ⇒  p' =  ycosy  ⇒  p = ysiny + cosy  + c   (partieel)
u = pq  = siny + 1/y • cosy + c/y    en dat is x-2 
Dus geldt:   x-2 =  siny + 1/y • cosy + c/y 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)