© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  y' = x2 - 2y + 4x
y
= ax2 + bx + c   geeft  y' = 2ax + b
invullen in de differentiaalvergelijking:    2ax + b =   x2 - 2ax2  - 2bx - 2c + 4x
Herrangschikken:   x2 (2a - 1) + x(2a  + 2b - 4) + (b + 2c) = 0
2a - 1 = 0  geeft  a = 0,5
2a + 2b - 4 = 0  geeft dan  b = 1,5
b + 2c = 0  geeft dan  c = -0,75

Het is de parabool   y = 0,5x2 + 1,5x - 0,75
       
2. Als ze elkaar snijden dan hebben ze in het snijpunt een verschillende helling dus een verschillende y'
Maar als ze beiden aan de differentiaalvergelijking voldoen, dan hebben ze in het snijpunt dezelfde y' immers die volgt uit de differentiaalvergelijking.

Dat is tegenstrijdig met elkaar dus ze kunnen elkaar niet snijden.
       
3. a. dy/dx = 1/4x + y - 1
1/4x + y - 1 = -4  geeft  y = -3 - 1/4x
1/4x + y - 1 = -2  geeft  y = -1 - 1/4x
1/4x + y - 1 = 0  geeft  y = 1 - 1/4x
1/4x + y - 1 = 2  geeft  y = 3 - 1/4x

Zie de figuur linksonder
       
 

       
  b. Zie de figuur rechtsboven  
       
  c. y = ax + b  geeft   y' = a
Invullen in de differentiaalvergelijking:  a = 1/4x + ax + b - 1
0 = x(a + 1/4) + (b - 1 - a)
Dat klopt voor elke x als   a + 1/4 = 0  dus  a = -1/4  en  b - 1 - a  = 0  dus  b = 3/4
Het is de lijn  y = -1/4x + 3/4
       
4. a. dy/dx = (x + 2)/(y - 1)  heeft de volgende isoklinen:
(x + 2)/(y - 1) = -1  geeft  x + 2 = -(y - 1)  dus   y = -x - 1
(x + 2)/(y - 1) = 0  geeft  x + 2 = 0  dus   x = -2
(x + 2)/(y - 1) = 1  geeft  x + 2 = y - 1  dus   y = x + 3
(x + 2)/(y - 1) = 2  geeft  x + 2 = 2(y - 1)  dus   y = 0,5x + 2
enz. 

Dat geeft het volgende lijnelementenveld:
       
   

       
  b. x = 2, y = 4 geeft   dy/dx = (2 + 2)/(4 - 1)  dus  dy/dx = 4/3
4/3(x + 2)/(y - 1)  geeft  x + 2 = 4/3(y - 1)  ⇒  3/4x + 6/4 = y - 1  ⇒    y = 3/4x + 21/2
       
5. a. Op het oog lijken de krommen vormen als hiernaast te hebben.

     
  b. y = a + b/x
y
' =  -bx-2
Dat geeft   2x • -bx-2 + 4a + 4b/x = 3
-2bx-1 + 4a + 4bx-1 = 3
x-1(2b) + (4a - 3) = 0
Dat kan alleen voor elke x gelden als  2b = 0 en  4a - 3 = 0
Dat geeft echter b = 0 en a = 3/4  dus de oplossing wordt dan   y = 3/4  en dat is niet meer van de gevraagde vorm.
       
  c. y = a + 1/x²  = a + x-2
y
' = -2x-3
invullen:  2x • -2x-3 + 4a + 4x-2 = 3
4a = 3
a
= 3/4  dus   y = 3/4 + 1/x²  is een oplossing
       
  d.  y = a + 1/xn  = a + x-n
y ' = -nx-n -1
invullen:   2x • -nx-n - 1 + 4a + 4x-n = 3
-2nx-n + 4x-n  + (4a - 3) = 0
Dat is voor elke x geldig als   -2n  = 0  en   4 = 0  en   4a - 3 = 0  en dat kan niet.
       
  e. y '  = c  geeft   2xc + 4y = 3
Dat geeft  y =  -c/2x + 3/4
x =
0 geeft  y = 3/4  dus ze gaan allemaal door (0, 3/4)
       
  toegift:  als je nieuwsgierig bent naar hoe de krommen er wél uitzien, dan zie je dat hiernaast. Dat stuk tussen x = -1 en x = 1 dat weer omhoog gaat was niet goed te zien in het lijnelementenveld......

       
6. a. y = ax + b  en  dy/dx = a invullen in de vergelijking geeft:
a • 2x (x - ax - b) = x2 - (ax + b)2 + 1
2ax2 - 2a2x2 - 2axb = x2 - a2x2 - 2axb - b2 + 1
x2(2a - 2a2 - 1 + a2)  + x(-2ab + 2ab) + (b2 - 1) = 0
x2(2a - a2 - 1) + (1 - b2) = 0
Dat geldt voor elke x als  2a - a2 - 1 = 0  en   b2 - 1 = 0
de eerste geeft   (a - 1)2 = 0  dus  a = 1
de tweede geeft  b = 1 ∨  b = -1
De oplossingen zijn dus  y = x + 1  en   y = x - 1
       
  b. y = x + (1 - px)  geeft:  y ' = 1 - p/2(1 - px)    en  y2  = x2 +  2x(1 - px) + (1 - px)
invullen in de vergelijking:
   
       
    vermenigvuldig beide kanten met 2(1 - px) en neem zoveel mogelijk termen samen:
2(1 - px) - p  = (-2x(1 - px) + px) /-x  
2(1 - px) - p  =  2(1 - px) - p
Dat klopt inderdaad, dus is de gegeven vergelijking een oplossing.
       
7. a. y = px - lngeeft   dy = (p - 1/x)dx
vul dat in in de vergelijking: 
 x •  (p - 1/x)dx = (px - lnx - 1 + lnx)dx
(px - 1)dx  = (px - 1)dx
Dat klopt inderdaad
       
  b.  xdy = (y - 1 + lnx)dx   betekent  dy/dx = (y - 1 + lnx)/x
r.c. = 1 geldt als  (y - 1 + lnx)/x = 1  dus als  y - 1 + lnx = x

De kromme  y = 1 + x - lnx  moet de kromme  f y = px - lnx  dus loodrecht snijden.

y =
1 + x - lnx
y'
=  1 - 1/x  =  (x - 1)/x

Als de functie f  loodrecht gesneden moet worden, dan moet de helling van f gelijk zijn aan  -x/(x - 1)
f ' =  p - 1/x  geeft dat   p - 1/x = -x/(x - 1)  ofwel  p = 1/x - x/(x - 1)     .....(1)

De functies moeten gelijk zijn (gaan door hetzelfde punt):  1 + x - lnx  =  px -  lnx
Samen met  (1) geeft dat  1 + x - lnx  =  1 - x²/(x - 1) -  lnx
1 + x = 1 - x²/(x - 1)
x
(x - 1) =  - x2 
x
2 - x =  - x2
2x2 - x = 0
x = 0    x = 1/2  
x =
1/2  geeft  p = 1/0,5 - 0,5/(0,5 - 1) = 3
       
8. a. y = kx2  geeft  dy = 2kxdx

(x2 + 2y)dy = (p - 2xy)dx  wordt dan     (x2 + 2kx2) • 2kxdx = (p - 2xkx2 )dx
2kx3 + 4k2x3 = p - 2kx3
x3( 4k + 4k2) - p = 0
Als dat voor elke x een oplossing moet zijn, dan moet gelden   4k + 4k2 = 0  en   p = 0
Dat betekent  k = -1  (of k = 0  maar dan is het geen parabool meer)  en p = 0 
       
  b. Dp:  (x2 + 2y)dy = (p - 2xy)dx  dus   dy/dx(p - 2xy)/(x² + 2y)
D-3:  (x2 + 2y)dy = (3 - 2xy)dx  dus   dy/dx(-3 - 2xy)/(x² + 2y)

Dat staat loodrecht op elkaar als    (p - 2xy)/(x² + 2y•   (-3 - 2xy)/(x² + 2y= -1
Bij  x = 1, y = p (punt (1, p))  geeft dat:     (p - 2p)/(1 + 2p•   (-3 - 2p)/(1 + 2p= -1
(p - 2p)(-3 - 2p) = -1 • (1 + 2p)2
p(-3 - 2p)  = 1 + 4p + 4p2
-3p - 2p2 = 1 + 4p + 4p2
6p2 + 7p + 1 = 0
p = -1/6  ∨  p = -1
       
9. a. x = lnt  geeft  dx = 1/t • dt
y = 2t + 1/t2  geeft   dy = (2 - 2t-3)dt
invullen in de differentiaalvergelijking:    (2 - 2t-3)dt = (3elnt - 4t - 2t -2) • 1/t • dt
2 - 2t-3 = (3t - 4t - 2t-2) • 1/t
t •
(2 - 2t-3) = (-t - 2t-2)
2t - 2t -2 = -t - 2t -2
Dat is niet gelijk dus K is geen oplossingskromme van D.
       
  b.  y = ex + g(x)   geeft  dy = exdx + g'(x)dx
invullen:   exdx + g'(x)dx  = (3ex - 2ex - 2g(x))dx
ex
+ g'(x) = ex - 2g(x)
g
'(x) = -2g(x)
Dat is zo als  g(x) = c • e-2x   dus dan is  y =  ex + c • e-2x
Dat moet door (0, 3) gaan   dus  3 = e0 + c • e-2•0     3 = 1 +   c = 2 
Dus   g(x) = 2e-2x
       
10.  (y - x2 + x )dy = (2y - 2x + 2)dx
dy/dx =  (2y - 2x + 2)/(y - x² + x)

2y - 2x + 2 = 0  is de lijn  y = x - 1
y - x2 + x  = 0  is de parabool  y = x2 - x
Het lijnelement heeft negatieve r.c. als 2y - 2x + 2   en   y - x2 + x   verschillend van teken zijn
Dat betekent  (y > x - 1  en   y < x2 - x)     OF    (y < x - 1  en   y > x2 - x)
Hieronder zie je die gebieden.
       
 

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)