h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  
       
2. a. Zo te zien worden alle lijnstukken twee keer zo lang, en wordt er over 90 gedraaid.
Dat zou betekenen een vermenigvuldiging met  2i
Het hoekpunt 3 + 2i zou dan terechtkomen op  -4 + 6i en dat klopt precies, dus is er geen verschuiving meer nodig
Kortom:  f(z) = 2iz
       
  b De oorspronkelijke zijden zijn  √25, √26 en √13  en de zijden van het beeld zijn  √50, √52 en √26  dus dat is √2 keer zo lang.
-5 - 3i komt bijv. terecht op 2 + 8i dus   (-5 - 3i)(a + bi) = (-5a + 3b) + i(-3a - 5b)
Dus -5a + 3b = 2  en   -3a - 5b = 8
-15a + 9b = 6  en   15a + 25b = -40
optellen:  34b = -34  dus b = -1 en dan is a = -1  (-1 - i heeft inderdaad lengte √2)
Kortom  f(z) = (-1 - i)z
       
  c. De lijnstukken worden 1,25 keer zo lang, en er wordt gedraaid over 90
Dat betekent vermenigvuldiging met  1,25i
Kortom:  f(z) = 1,25iz
       
3. a. Het punt (x, y) in het rele vlak komt overeen met  (Rez, Imz) in het complexe vlak.
Dus y = ax  betekent  Imz = a Rez
Dus als Rez = x dan is  Imz = ax  en dan is z het punt  x + iax
       
  b. (p + iq) (x + iax) =  px + iqx + ipax - qax
(p - qa)x + ix(q + pa)
In het rele vlak is dat het punt    ((p - qa)x ,   x(q + pa))
Voor  zo'n punt P geldt:  helling OP is    y/x =  x(q + pa)/x(p - qa) = (q + pa)/(p - qa)    
       
  c. Je begint met y = 2x  dus  a = 2
Je eindigt met  y = 5dus   (q + pa)/(p - qa)= 5 
Daaruit volgt  q + pa = 5(p - qa)  dus  q + 2p = 5(p - 2q)
q + 2p = 5p - 10q
3p = 11q
q
= 3/11p
Het complexe getal  (p + iq)  heeft dan in het rele vlak cordinaten waarvoor  y = 3/11x
       
5. a. f(-3 + 4i) =  (-1 + 4i) (-3 + 4i) + 1 + 2i =  3 - 4i - 12i - 16 + 1 + 2i  =  -12 - 14i
f
( 5 + 10i) =  (-1 + 4i) ( 5 + 10i)  + 1 + 2i  = -5 - 10i  + 20i - 40 + 1 + 2i = -44 + 12i
f
(3 - 4i) = (-1 + 4i) ( 3 - 4i)  + 1 + 2i  =  -3 + 4i + 12i + 16 + 1 + 2i  =  14 + 18i
f
(11 + 2i) (-1 + 4i) (11 + 2i)  + 1 + 2i  =  -11 - 2i + 44i - 8 + 1 + 2i  =  -18 + 44i
       
   

       
  b. z = (-1 + 4i) z + 1 + 2i
z
- (-1 + 4i)z = 1 + 2i
z
(2 - 4i) = 1 + 2i
z
= (1 + 2i)/(2 - 4i)
z = (1 + 2i)/ (2 - 4i) (2 + 4i)/(2 + 4i) = (2 + 4i + 4i - 8)/(4 + 16)  = (-6 + 8i)/20 =  -0,3 + 0,4i :  het groene punt uit de tekening
       
  c. Het is het punt dat in beide vierkanten op dezelfde plaats ten opzichte van de hoekpunten ligt.
       
  d. (-1 + 4i) z + 1 + 2i   =  (-1 + 4i) 1/z + 1 + 2i 
(-1 + 4i) z2 + (1 + 2i) z  = (-1 + 4i)  + (1 + 2i) z
(-1 + 4i) z2 = (-1 + 4i)
z2 =  1
z = 1  ∨   z =  -1
       
6. a. (1 + i) z - 3 + 2i = 0
(1 + i) z = 3 - 2i
z
(3 - 2i)/(1 + i)
z = (3 - 2i)/(1 + i)   (1 - i)/(1 - i)  =  (3 - 3i - 2i - 2)/(1 + 1) = (1 - 5i)/2 =  0,5 - 2,5i
       
  b. z = (1 + i) z - 3 + 2i
z
- (1 + i)z = -3 + 2i
-iz = -
3 + 2i
z = (-3 + 2i)/-i  = 3/i - 2  = -2 - 3i
       
  c. (1 + i) z  betekent vermenigvuldigen met factor  2  en draaien over 45
-3 + 2i is daarna een translatie
Dat geeft het volgende beeld:
       
   

       
    Het groene deel is na vermenigvuldiging met 1 + i ,  het rode is daarna na translatie  -3 + 2i
       
  d. Het is het paarse punt. Dat is het punt dat in beide cirkeldelen op "dezelfde plaats"  ligt.
       
7. a.  (1 + i) z  + 1 3i = z
z
(1 + i - 1) = 3i - 1
z i  = 3i - 1
z = 3 - 1/i = 3 + i
       
  b.  (1 + i) z  betekent draaien over 45 en vermenigvuldigen met factor 2  (geeft het blauwe gebied hieronder)
 + 1 3i   is daarna een translatie  (geeft het rode gebied hieronder)
       
 

       
  c. De hoek van elk getal wordt dubbel zo groot, dus dat geeft hoeken tussen 0 en 60
De afstand tot de oorsprong wordt gekwadrateerd dus dat geeft afstanden tussen 0 en 22 = 4
Samen geeft dat het blauwe gebied hieronder
       
   

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)