© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Kies de oorsprong als hiernaast, en loop van O  naar het bovenste punt van de zevenhoek.
De eerste stap is 3.
Elke volgende wordt gedraaid over 360/7 º en dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met het complexe getal z =  cos(360/7) + isin(360/7)

Bereken met je GR 3 + 3z + 3z2 + 3z3
Dat geeft 1,5  + 6,5719i

De hoogte is dus  6,57

       
2. Kies het aangrijpingspunt van de krachten als oorsprong, en schrijf de krachten als complexe getallen:
F1 = 3,2 • (cos(-54) + isin(-54))
F2 = 4,0 • cos(23 + isin23)
F3 = -5,1
Bereken F1 + F2 + F3
Dat geeft  0,463 - 1,026i
ABS  daarvan is  1,126  en  angle daarvan is  -65,71º
       
3. z1 = 20(cos(-26) + isin(-26)) :  de waterstroming per uur
z2 = 80(cos(-126) + isin(-126))  :  varen van het schip per uur
samengesteld:  z3 = z1 + z2 =  -29,047 + i • -73,489  de netto beweging van het schip
Na 3 uur geeft dat  3z3 = -87,141 + i • -220,466
B is de vector  zB  = 240(cos(-126) + isin(-126))
De vector daartussen is   3z3 - zB = 53,928 + i • 26,302
De afstand is   abs(3z3 - zB)  = 60 km 
       
4. a. B = a + bi  en  C = 0
Dan is de vector  BC het complexe getal   -a - bi
Draaien over 90º  betekent vermenigvuldigen met i:    b - ia
Van C (0)  naar S1 lopen:    S1 =  b - ia
       
   b. B = a + bi  en  A = 4 + 5i
Dan is de vector BA het complexe getal  (4 - a) + i(5 - b)
Draaien over -90º is vermenigvuldigen met  -i:   (5 - b) + i(a - 4)
Van A naar S2:   4 + 5i + (5 - b) + (a - 4)i  =  (9 - b) + i(1 + a)
       
  c. Het midden van  S1 en S2:    (41/2 + 1/2i)
       
  d. De route met punt B:
Stel dat  A = (p + qi)  en  B = (a + bi)
S1 = b - ia  (zie  vraag a)

BA is het complexe getal  (p - a) + i(q - b)  dus draaien over -90º  is  (q - b) + i(a - p)
Dan is  S2:   (p + qi) + (q - b) + i(a - p)  =  (p + q - b) + i(q + a - p)

Het midden van S1 en S2 is dan   1/2(p + q) + 1/2i • (q - p)

De route zonder B:
C = 0 en  A = p + qi  dus de vector CA  is  p + qi  en  1/2AC = 1/2(p + qi)
90º rechtsom draaien is vermenigvuldigen met -i  dus dat is het complexe getal  1/2(q - ip)
Tel dat bij 1/2AC op:  1/2(p + qi) + 1/2(q - ip)  = 1/2(p + q) + 1/2i(q - p)
en dat is inderdaad hetzelfde punt als bij de vorige route. 
       
5. Loop via vectoren (dus met complexe getallen) van O naar B naar C
B = (6, 2)  dus in het complexe vlak is  zB = 6 + 2i 
A = (1, 8)  dus in het complexe vlak is  zA = 1 + 8i  en de vector  BA is  het complexe getal  -5 + 6i
Draaien over -45º en vermenigvuldigen met 0,5  betekent vermenigvuldigen met het complexe getal 
z = 0,5(cos(-45) + isin(-45))  = 1/4√2  - i • 1/4√2
Dat geeft voor de vector BC:   (-5 + 6i) • ( 1/4√2  - i • 1/4√2)
Punt C krijg je als je deze vector vanaf B toepast:
OC = OB + BC = (6 + 2i) +  (-5 + 6i) • ( 1/4√2  - i • 1/4√2) =  6,36 + 5,89i
C is ongeveer het punt   (6.36, 5.89)
       
6. a. Draaien over 20º en de lengte reduceren tot 70%  is vermenigvuldigen met het getal  z = 0,7(cos20 + isin20)
De eerste stap is 5.
Na 12 stappen:  5 + 5z + 5z2 + ... + 5z11  =  (5z12 - 5)/(z - 1) = 9,795 + i • 7,028
       
  b. oneindig veel termen:   S = 5/(1 - z) = 9,810 + i • 6,863
       
7. Als elke keer wordt vermenigvuldigd met het getal z, dan zal hij uiteindelijk in  S =  -10/(z - 1)  belanden
Dat moet gelijk zijn aan  4 + 4i
z - 1 =  -10/(4 + 4i)  dus  z = 1 - 1/(4 + 4i) = 0,875 + 0,125i
Dat is draaien over een hoek waarvoor  tan-1(0,125/0,875) = 8,1301º   en vermenigvuldigen met factor 
r = √(0,8752 + 0,1252) = 0,8839   
       
8. a. Elk getal ontstaat uit het vorige door te vermenigvuldigen met 0,5 en te draaien over 180º
Dat betekent vermenigvuldigen met  -0,5
De eerste stap is 1, dus uiteindelijk geeft dat  S = 1/(1 - - 0,5) = 2/3
       
  b.  1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ...
= (1 + 1/4 + 1/16 + ....) - (1/2 + 1/8 + 1/32 + ...)
=  (1 + 1/4 + 1/16 + ....)  - 1/2 •  (1 + 1/4 + 1/16 + ....)
= 1/2 •  (1 + 1/4 + 1/16 + ....)
= 1/2 + 1/8 + 1/32 + ....
de factor is  1/4  dus  S =  1/2/(1 - 1/4) = 2/3
       
9. Halveren en draaien over hoek α betekent vermenigvuldigen met  z = 0,5(cosα + i • sinα)
Eerste stap is 1, dus uiteindelijk loopt dat naar   1/(1 - z) =  1/(1 - 0,5cosα - 0,5isinα)
 
  Dat is zo ver mogelijk van de x-as af als het imaginaire deel maximaal is.
plotten en dan calc - maximum geeft een hoek van  α = 36,87º

Maar algebraïsch natuurlijk veel leuker:
 
  quotiëntregel voor de afgeleide nul stellen:
 
  0,625cosα - 0,5 = 0  ⇒   cosα = 0,8  ⇒  α = 36,87º
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)