© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.      

       
2. a (3 + 3i)   heeft  r = 3√2  en  φ = 45º
(2 + 2i)   heeft  r = 2√2  en φ = 45º
Samen geeft dat r = 12 en φ = 90º
       
  b. 4 - i   heeft r = √17 en φ = tan-1 (-1/4) = -14º
in het kwadraat geeft dat r = 17  en φ = -28º
       
  c. i   heeft r = 1 en φ = 90º
-6Ö3 - 6i  heeft  r = √(144) = 12  en φ = 210º
samen geeft dat  r = 12 en φ = 300º
       
  d. (1 - i)  heeft r = √2  en  φ = -45º
(3 + 4i) geeft r = 5 en φ = tan-1 (4/3) = 53,1º
samen geeft dat  r = 52  en   φ = 8,1º
       
3. a. i   heeft r = 1 en φ = 90º
Dat r = 1 doet niets met de afstand, dus er wordt allen gedraaid over
90º
       
  b. Dan moet je vermenigvuldigen met het getal waarvoor r = 1 en φ = 30º
Dat is  z = cos30º + i sin30º = 1/2√3 + 1/2i
       
4. a. Dan kom je midden tussen beide punten (wat de hoeken betreft) op de cirkel uit.
zie hiernaast.
  b. Als z1 · z2 op de cirkel ligt, dan heeft het vermenigvuldigen met z2 de afstand  niet veranderd, dus ligt z2 op de eenheidscirkel.
Dat geeft de plaats van i
       
5. Als je uitrekent z1/z2
Dan moet je doen  φ1 - φ2  en  r1/r2 
Controleer dat zelf maar......
       
6. z heeft straal 3 en hoek de helft van die van z (rood)

i
z vind je door √z over 90º te draaien  (blauw)
-iz is de andere kant op (groen)

Tel die groene vector bij z op (kop aan staart) , en je komt uit bij z- iz
       
7. a. 3 + heeft  r = √10  en  φ = tan-1(1/3) = 18,4º
(3 + i)4 heeft dan  r = (√10)4 = 100  en  φ = 4 · 18,4º = 73,7º
Dat is het getal  100 (cos73,7º + isin73,7º) = 28 + 96i
       
  b. -1 - 0,3i  heeft r = √(1,09) en  φ = tan-1 (0,3/1) = 16,7º  maar dan 180º verder, dus 196,7º
(-1 - 0,3i)100  heeft  r = (√1,09))100 = 74,35  en  φ = 100 · 196,7º = 19670º
Dat is het getal  74,35 · (cos19670º + isin19670º) = -47,9 - 56,9i  
       
  c. 1/2 - 1/2i√3  heeft   r = 1  en  φ = -60º
(1/2 - 1/2i√3)10  heeft dan  r = 110 = 1  en  φ = 10 • -60 = -600º
Dat is het getal  cos(-600º) + isin(-600º)) = -0,5 + 0,5i√3
       
  d. 1 - i heeft  r = √2  en  φ = tan-1(-1) = -45º
(1 - i)5 heeft dan  r = (√2)5 = 4√2  en  φ = 5 • -45º = -225º
Dat is het getal  4√2(cos(-225º) + isin(-225º)) = -4 + 4i
       
  e. 2 + 2 heeft  r = √8  en  φ = tan-1(1) = 45º
(2 + 2i)3 heeft dan  r = (√8)3 = 8√8  en  φ = 3 • -45º = -135º
Dat is het getal  8√8(cos(-135º) + isin(-135º)) = -16 - 16i
       
  f. √2 + i√2  heeft  r = 2  en  φ = tan-1(1) = 45º
(√2 + i√2)6 heeft dan  r = 26 = 64  en  φ = 6 • 45º = 270º
Dat is het getal  64(cos(270º) + isin(270º)) = -64i
       
8. De hoek van 1 + i is 45º
Dus (1 + i)2  heeft een hoek van 90º en ligt op de imaginaire as.
na nog vier keer vermenigvuldigen is er 4 • 45º = 180º bijgekomen, dus ligt het getal weer op de imaginaire as.
Dus  (1 + i)2  en  (1 + i)6   en (1 + i)10  en  (1 + i)14  en (1 + i)18 en ...... liggen op de imaginaire as.
De vijfde in de rij is  (1 + i)18 
1 + i heeft r = √2 en φ = 45º
(1 + i)18  heeft  r = (√2)18 = 512 en  φ = 18 • 45º = 810º = 90º
Dat is het getal 512i
       
9. a. (cosφ + isinφ)2 = cos2φ + 2icosφsinφ - sin2φ = (cos2φ - sin2φ) + i(2cosφsinφ)
(cosφ + sinφ)2 = cos2φ + isin2φ

van die getallen moeten het reële deel en het imaginair deel gelijk zijn,
dus moet gelden  cos2φ = cos2φ - sin2φ  en   sin2φ = 2sinφcosφ
       
  b. (cosφ + isinφ)3 = (cosφ + isinφ)2 • (cosφ + isinφ)
=  (cos2φ + 2icosφsinφ - sin2φ) • (cosφ + isinφ)
=  cos3φ + icos2φsinφ + 2icos2φsinφ - 2cosφsin2φ - sin2φcosφ - isin3φ
=  (cos3φ - 2cosφsin2φ - sin2φcosφ)  +  i • (cos2φsinφ + 2cos2φsinφ - sin3φ)
=  (cos3φ - 3sin2φcosφ)  + i • (3cos2φsinφ - sin3φ)

(cosφ + sinφ)3 = cos3φ + isin3φ

van die getallen moeten het reële deel en het imaginair deel gelijk zijn,
dus moet gelden  cos3φ = cos3φ - 3sin2φcosφ   en  sin3φ = 3cos2φsinφ - sin3φ
       
  c. z1 = 1 • (cosα + isinα)
z2 = 1 • (cosβ + isinβ)
Dan is  z1 • z2 = 1 • (cos(α + β) + i(sin(α + β))    (hoeken optellen)   ........(1)

Maar ook is 
z1 • z2 = (cosα + isinα)(cosβ + isinβ)
= cosαcosβ + icosαsinβ + isinαcosβ - sinαsinβ
= (cosαcosβ - sinαsinβ) + i(cosαsinβ + sinαcosβ)     .........(2)

De imaginaire delen en de reële delen van (1) en (2) moeten aan elkaar gelijk zijn, en dat geeft direct de gezochte fomules.
       
10. a. Neem z = cosφ + isinφ
Dan heeft  z-1  dezelfde straal maar de hoek tegengesteld, dus  z-1 = cos(-φ) + isin(-φ)
Dat geeft  z-1 = cosφ - isinφ  en dat is inderdaad de geconjugeerde (reële deel gelijk, imaginaire deel tegengesteld)
       
  b. zz-1 = 1 =  (cosφ + isinφ)(cosφ - isinφ) =  cos2φ + isinφcosφ - icosφsinφ + sin2φ = cos2φ + sin2φ
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)