h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.      

       
2. a (3 + 3i)   heeft  r = 3√2  en  φ = 45
(2 + 2i)   heeft  r = 2√2  en φ = 45
Samen geeft dat r = 12 en φ = 90
       
  b. 4 - i   heeft r = √17 en φ = tan-1 (-1/4) = -14
in het kwadraat geeft dat r = 17  en φ = -28
       
  c. i   heeft r = 1 en φ = 90
-63 - 6i  heeft  r = √(144) = 12  en φ = 210
samen geeft dat  r = 12 en φ = 300
       
  d. (1 - i)  heeft r = √2  en  φ = -45
(3 + 4i) geeft r = 5 en φ = tan-1 (4/3) = 53,1
samen geeft dat  r = 52  en   φ = 8,1
       
3. a. i   heeft r = 1 en φ = 90
Dat r = 1 doet niets met de afstand, dus er wordt allen gedraaid over
90
       
  b. Dan moet je vermenigvuldigen met het getal waarvoor r = 1 en φ = 30
Dat is  z = cos30 + i sin30 = 1/2√3 + 1/2i
       
4. a. Dan kom je midden tussen beide punten (wat de hoeken betreft) op de cirkel uit.
zie hiernaast.
  b. Als z1 z2 op de cirkel ligt, dan heeft het vermenigvuldigen met z2 de afstand  niet veranderd, dus ligt z2 op de eenheidscirkel.
Dat geeft de plaats van i
       
5. Als je uitrekent z1/z2
Dan moet je doen  φ1 - φ2  en  r1/r2 
Controleer dat zelf maar......
       
6. z heeft straal 3 en hoek de helft van die van z (rood)

i
z vind je door √z over 90 te draaien  (blauw)
-iz is de andere kant op (groen)

Tel die groene vector bij z op (kop aan staart) , en je komt uit bij z- iz
       
7. a. 3 + heeft  r = √10  en  φ = tan-1(1/3) = 18,4
(3 + i)4 heeft dan  r = (√10)4 = 100  en  φ = 4 18,4 = 73,7
Dat is het getal  100 (cos73,7 + isin73,7) = 28 + 96i
       
  b. -1 - 0,3i  heeft r = √(1,09) en  φ = tan-1 (0,3/1) = 16,7  maar dan 180 verder, dus 196,7
(-1 - 0,3i)100  heeft  r = (√1,09))100 = 74,35  en  φ = 100 196,7 = 19670
Dat is het getal  74,35 (cos19670 + isin19670) = -47,9 - 56,9i  
       
  c. 1/2 - 1/2i√3  heeft   r = 1  en  φ = -60
(1/2 - 1/2i√3)10  heeft dan  r = 110 = 1  en  φ = 10 -60 = -600
Dat is het getal  cos(-600) + isin(-600)) = -0,5 + 0,5i√3
       
  d. 1 - i heeft  r = √2  en  φ = tan-1(-1) = -45
(1 - i)5 heeft dan  r = (√2)5 = 4√2  en  φ = 5 -45 = -225
Dat is het getal  4√2(cos(-225) + isin(-225)) = -4 + 4i
       
  e. 2 + 2 heeft  r = √8  en  φ = tan-1(1) = 45
(2 + 2i)3 heeft dan  r = (√8)3 = 8√8  en  φ = 3 -45 = -135
Dat is het getal  8√8(cos(-135) + isin(-135)) = -16 - 16i
       
  f. √2 + i√2  heeft  r = 2  en  φ = tan-1(1) = 45
(√2 + i√2)6 heeft dan  r = 26 = 64  en  φ = 6 45 = 270
Dat is het getal  64(cos(270) + isin(270)) = -64i
       
8. De hoek van 1 + i is 45
Dus (1 + i)2  heeft een hoek van 90 en ligt op de imaginaire as.
na nog vier keer vermenigvuldigen is er 4 45 = 180 bijgekomen, dus ligt het getal weer op de imaginaire as.
Dus  (1 + i)2  en  (1 + i)6   en (1 + i)10  en  (1 + i)14  en (1 + i)18 en ...... liggen op de imaginaire as.
De vijfde in de rij is  (1 + i)18 
1 + i heeft r = √2 en φ = 45
(1 + i)18  heeft  r = (√2)18 = 512 en  φ = 18 45 = 810 = 90
Dat is het getal 512i
       
9. a. (cosφ + isinφ)2 = cos2φ + 2icosφsinφ - sin2φ = (cos2φ - sin2φ) + i(2cosφsinφ)
(cosφ + sinφ)2 = cos2φ + isin2φ

van die getallen moeten het rele deel en het imaginair deel gelijk zijn,
dus moet gelden  cos2φ = cos2φ - sin2φ  en   sin2φ = 2sinφcosφ
       
  b. (cosφ + isinφ)3 = (cosφ + isinφ)2 (cosφ + isinφ)
=  (cos2φ + 2icosφsinφ - sin2φ) (cosφ + isinφ)
=  cos3φ + icos2φsinφ + 2icos2φsinφ - 2cosφsin2φ - sin2φcosφ - isin3φ
=  (cos3φ - 2cosφsin2φ - sin2φcosφ)  +  i (cos2φsinφ + 2cos2φsinφ - sin3φ)
=  (cos3φ - 3sin2φcosφ)  + i (3cos2φsinφ - sin3φ)

(cosφ + sinφ)3 = cos3φ + isin3φ

van die getallen moeten het rele deel en het imaginair deel gelijk zijn,
dus moet gelden  cos3φ = cos3φ - 3sin2φcosφ   en  sin3φ = 3cos2φsinφ - sin3φ
       
  c. z1 = 1 (cosα + isinα)
z2 = 1 (cosβ + isinβ)
Dan is  z1 z2 = 1 (cos(α + β) + i(sin(α + β))    (hoeken optellen)   ........(1)

Maar ook is 
z1 z2 = (cosα + isinα)(cosβ + isinβ)
= cosαcosβ + icosαsinβ + isinαcosβ - sinαsinβ
= (cosαcosβ - sinαsinβ) + i(cosαsinβ + sinαcosβ)     .........(2)

De imaginaire delen en de rele delen van (1) en (2) moeten aan elkaar gelijk zijn, en dat geeft direct de gezochte fomules.
       
10. a. Neem z = cosφ + isinφ
Dan heeft  z-1  dezelfde straal maar de hoek tegengesteld, dus  z-1 = cos(-φ) + isin(-φ)
Dat geeft  z-1 = cosφ - isinφ  en dat is inderdaad de geconjugeerde (rele deel gelijk, imaginaire deel tegengesteld)
       
  b. z z-1 = 1 =  (cosφ + isinφ)(cosφ - isinφ) =  cos2φ + isinφcosφ - icosφsinφ + sin2φ = cos2φ + sin2φ
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)