© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. r = √(32 + 42) = 5
φ = tan-1(4/3) = 53,1º  en dat klopt met de plaats.
z = 5 • (cos53,1 + isin53,1)
       
  b. r = √((-2)2 + 32) = √13
φ = tan-1(3/-2) = -56,3º  en daar moet 180º bij:  φ = 123,7º
z = √13 • (cos123,7º + isin123,7º)
       
  c. r = √(12 + (-1)2) = √2
φ = tan-1(-1/1) = -45º  en dat klopt met de plaats
z = √2 • (cos-45º + isin-45º)
       
  d. r = √(2,82 + 5,22) = 34,88
φ = tan-1(5,2/2,8) = 61,7º  en dat klopt met de plaats
z = √34,88 • (cos61,7º + isin61,7º)
       
  e. r = 8, φ = 0  dus  z = 8 • (cos0 + isin0)
       
  f. r = 4, φ = 90º  dus  z = 4 • (cos90º + isin90º)
       
  g. r = √((-3)2 + (-4)2) = 5
φ = tan-1(-4/-3) = 53,1º   en daar moet 180º bij:  φ = 233,1º
z = 4 • (cos233,1º + isin233,1º)
       
  h. r = √(1,52 + 1,52) = 1,52
φ = tan-1 (-1,5/1,5) = -45º
z = 1,5√2(cos(-45º) + isin(-45º))
       
  i. r = √(3 + 1) = 2
φ = tan-1(1/3) = 30º
z = 2 • (cos30º + isin30º)
       
  j. r = √(2 + 2) = 2
φ = tan-1 (-√2/√2) = -45º
z = 2 • (cos(-45º) + isin(-45º)
       
  k. r = √(82 + 122 ) = √208
φ = tan-1(12/-8) = -56,31º  en daar moet 180º bij op:  123,7º
z = √208 • (cos123,7º + isin123,7º)
       
  l. sin10º = cos80º  en  cos10º = sin80º
Dus is z = 3cos80º + 3isin80º = 3(cos80º + isin80º)
       
2. a. 2(cos40º + isin40º) = 2cos40º + 2isin40º = 1,53 + 1,29i
       
  b. cos120º + isin120º = -1/2 + 1/2i√3
       
  c. 4isin30º + 4cos30º = 4 • 1/2√3 + 4i1/2  = 2√3 + 2i
       
  d. -2(cos10º - isin10º) = -2cos10º + 2isin10º = -1,97 + 0,35i
       
  e. cos(90º) + 3isin(90º) = 0 + 3i • 1 = 3i
       
  f. 5 + isin420º - 2i - 2 = (5 - 2) + i(sin420º - 2) = 3 - 1,13i
       
  g. 4(cos60º + isin45º) = 4cos60º + 4isin45º  = 4 • 1/2  + 4i1/2√2 = 2 + 2i√2
       
  h. -2 + isin80º = -2 + 0,98i  
       
  i. i(sin50º + icos50º)  = isin50º - cos50º = -0,64 + 0,77i  
       
3. a. Alles buiten de cirkel met straal 3 en de oorsprong als middelpunt.
       
  b. Het eerste kwadrant.
       
  c. Het gebied tussen de cirkels met straal 2 en 4 en middelpunt de oorsprong.
       
  d. Het gebied binnen de cirkel met straal 2 en middelpunt de oorsprong, en dan alleen tussen 135º en 180º
       
  e. De negatieve reële as vanaf -3 naar links (-3 zelf hoort er niet bij).
       
  f. Hoe groter de hoek, hoe verder je van de oorsprong afkomt. Dat geeft een soort spiraal zoals hiernaast.
Die kun je trouwens zó op je GR krijgen:
MODE - Pol (vierde regel)
Y=
r1 = θ
window:  θmin = 0, θmax = 30
Xmin = -20, Xmax = 20
Ymin = -20, Ymax = 20
       
4. Optellen is vectoren kop-aan-staart leggen.
Wanneer geldt dat de lengte van de somvector gelijk is aan de twee afzonderlijke lengtes bij elkaar opgeteld?
Precies! Als de vectoren dezelfde richting hebben.
Dus als φ1 = φ2  dan geldt  | z1 + z2 | = | z1 | + | z2 |
       
5. Stel  z = a + bi,  dan is  |z| = (a2 + b2)  dus    | z |2 = a2 + b2
 
  Dat is inderdaad hetzelfde!!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)