|
||||||
| 1. | a. | x3 - x2 +
2x + 4 = 0 x = y + 1/3 geeft: (y + 1/3)3 - (y + 1/3)2 + 2(y + 1/3) + 4 = 0 y3 + y2 + 1/3y + 1/27 - y2 - 2/3y - 1/9 + 2y + 2/3 + 4 = 0 y3 + 5/3y + 124/27 = 0 neem nu y = m + n m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 + 5/3(m + n) + 124/27 = 0 m3 + n3 + 124/27 + (3mn + 5/3)(m + n) = 0 kies nu 3mn = -5/3 dus n = -5/9m m3 + -125/729m3 + 124/27 = 0 729m6 + 3348m3 - 125 = 0 m3 , n3 = (-3348 ± √(3348² + 4 • 729 • 125))/1458 = (-3348 ± 3402)/1458 = 1/27 of -125/27 y = m + n = -4/3 Dan is x = -1 Staartdeling: |
||||
 |
||||||
| x2
- 2x + 4 = 0 x = (2 ± √(4 - 16))/2 = (2 ± √-12)/2 = (2 ± 2i√3)/2 = 1 ± i√3 Samen geeft dat de oplossingen {-1, 1 + i√3 , 1 - i√3 } |
||||||
| b. | x3 + 2x2
+ 3x + 6 = 0 x = y - 2/3 geeft: (y - 2/3)3 + 2(y - 2/3)2 + 3(y - 2/3) + 6 = 0 y3 - 2y2 + 4/3y - 8/27 + 2y2 - 8/3y + 8/9 + 3y - 2 + 6 = 0 y3 + 5/3y + 124/27 = 0 neem nu y = m + n m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 + 5/3(m + n) + 124/27 = 0 m3 + n3 + 124/27 + (m + n)(3mn + 5/3) = 0 kies nu 3mn = -5/3 dus n = -5/9m m3 - (125/729m3) + 124/27 = 0 729m6 + 3348m3 - 125 = 0 m3 , n3 = (-3348 ± √(3348² + 4 • 729 • 125))/1458 = (-3348 ± 3402)/1458 = 1/27 of -125/27 y = m + n = -4/3 Dan is x = -2 Staartdeling: |
|||||
 |
||||||
| x2
+ 3 = 0 x2 = -3i x = ±i√3 Samen geeft dat de oplossingen {-2, i√3 , -i√3 } |
||||||
| c. |
2x3 + 14x2
+ 14x + 12 = 0 x3 + 7x2 + 7x + 6 = 0 neem x = y - 7/3 (y - 7/3)3 + 7(y - 7/3)2 + 7(y - 7/3) + 6 = 0 y3 - 7y2 + 49/3y - 343/27 + 7y2 - 98/3y + 343/9 + 7y - 49/3 + 6 = 0 y3 - 28/3y + 407/27 = 0 neem nu y = m + n (m + n)3 - 28/3(m + n) + 407/27 = 0 m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 - 28/3(m + n) + 407/27 = 0 m3 + n3 + 407/27 + (m + n)(3mn - 28/3) = 0 kies nu 3mn = 28/3 dus n = 28/9m m3 + 21952/729m3 + 407/27 = 0 729m6 + 10989m3 + 21952 = 0 m3, n3 = (-10989 ± √(56746089))/1458 = (-10989 ± 7533)/1458 = -64/27 of -343/27 Dat geeft m, n = -4/3 en - 7/3 Dat geeft y = -11/3 Dat geeft x = -6 Staartdeling: |
|||||
 |
||||||
| x2
+ x + 1 = 0 x = (-1 ± √(-3))/2 = (-1 ± i√3)/2 = -1/2 ± 1/2i√3 Samen geeft dat de oplossingen {-6, -1/2 + 1/2i√3, -1/2 - 1/2i√3) |
||||||
| d. | x3 - 6x2
+ 9x - 4 = 0 neem x = y + 2 (y + 2)3 - 6(y + 2)2 + 9(y + 2) - 4 = 0 y3 + 6y2 + 12y + 8 - 6y2 - 24y - 24 + 9y + 18 - 4 = 0 y3 - 3y - 2 = 0 neem nu y = m + n (m + n)3 - 3(m + n) - 2 = 0 m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 - 3(m + n) - 2 = 0 m3 + n3 - 2 + (m + n)(3mn - 3) = 0 neem nu 3mn = 3 dus n = 1/m m3 + 1/m3 - 2 = 0 m6 - 2m3 + 1 = 0 (m3 - 1)2 = 0 m3 = 1 m = 1 dat geeft y = 2 dat geeft x = 4 Staartdeling: |
|||||
 |
||||||
| x2
- 2x + 1 = 0 (x- 1)2 = 0 x = 1 Samen geeft dat de oplossingen {1, 1, 4} |
||||||
| 2. |
 |
|||||
| Als dat op nul moet
uitkomen geldt 36 - 2p = 0 dus p = 18 Dat geeft voor de andere oplossingen x2 + 6x - 6 = 0 x = (-6 ± √(36 + 24))/2 = (-6 ± 2√15)/2 = -3 ± √15 |
||||||
| 3. | a. | -1 + i√5 want de complexe oplossingen komen in koppeltjes van geconjugeerde getallen voor. | ||||
| b. | (z + 1 - i√5)(z
+ 1 + i√5) = z2
+ z(1 - i√5) + z(1 +
i√5) + (1 - i√5)(1
+ i√5) = z2 + z - zi√5 + z + zi√5 + 1 + 5 = z2 + 2z + 6 |
|||||
| c. |
 |
|||||
| z2
- 4z + 11 = 0 z = (4 ± √(16 + 44))/2 = (4 ± 2√15)/2 = 2 ± √15 |
||||||
| 4. | Als z = 1 – i
een oplossing is, dan is de geconjugeerde z = 1 +
i ook een oplossing. Dan geldt dus: z3 + bz2 + cz + d = (z - 1)(z - 1 + i)(z - 1 - i) = (z - 1)(z2 - z - iz - z + 1 + i + iz - i + 1) = (z - 1)(z2 - 2z + 2) = (z3 - 2z2 + 2z - z2 + 2z - 2) = (z3 - 3z2 + 4z - 2) Dus moet gelden b = -3, c = 4, d = -2 |
|||||
| 5. | De eerste oplossing
was gelijk aan z = 2 Staartdeling: |
|||||
 |
||||||
| x2
+ 2x + 10 = 0 x = (-2 ± √(-36))/2 = (-2 ± 6i)/2 = -1 ± 3i |
||||||
| 6. | a. |
 |
||||
| x2
+ 4x + 1 = 0 x = (-4 ± √(16 - 4))/2 = (-4 ± √12)/2 = (-4 ± 2√3)/2 = -2 ± √3 |
||||||
| b. | x3 - 15x
- 4 = 0 x = m + n geeft (m + n)3 - 15(m + n) - 4 = 0 m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 - 15(m + n) - 4 = 0 m3 + n3 - 4 + (m + n)(3mn - 15) = 0 kies nu 3mn = 15 dus n = 5/m m3 + 125/m3 - 4 = 0 m6 - 4m3 + 125 = 0 m3, n3 = (4 ± √(-484))/2 = (4 ± √(-484))/2 = (4 ± 22i)/2 = 2 ± 11i Dat geeft x = (2 + 11i)1/3 + (2 - 11i)1/3 Dat is gelijk aan één van de drie oplossingen, in dit geval gelijk aan x = 4 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||