h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. (2i)2 + 8
= 2i 2i + 8
= -4 + 8 = 4
       
  b. (-6i)3
= -6i -6i -6i
= (-6 -6 -6) i3
= -216 -i
= 216i
       
  c. 2i4 + 2
= 2 -1 -1 + 2 = 4
       
  d. -2i 6i
=
(-2 6) i2
= -12 -1 = 12
       
  e. (-i)3 - 4i
= -13 i3 - 4i
= -1 -1i - 4i
= i
- 4i
= -3i
       
  f. 1 + i2 + 6i4 
= 1 + -1 + 6 -1 -1
= 1 - 1 + 6 = 6
       
  g. (-3i)3 - 4i
=
(-3)3 i3 - 4i
= -27 -i - 4i
= 27i - 4i = 23i
       
  h. i - i2 - i3 - i4 - i5
= i - - 1 - -1i - 1 - i
= i + 1 + i - 1 - i
= i
       
  i. i3000
= (i2)1500
= (-1)1500
= -1
       
  j. (2 - i)(2 + i)
= 2 2 + 2 i - 2 i - i i
= 4 + 2i - 2i + 1
= 5
       
2. a. i (2 + 3i)
= 2i + 3i2
= 2i - 3
= -3 + 2i
       
  b. (6 - 2i) (5 + 3i)
= 6 5 + 18i - 10i - 6i2
= 30 + 18i - 10i + 6
= 36 + 8i
       
  c. (1 - i)2
= (1 - i)(1 - i)
= 1 - i - i + i2
= 1 - 2i - 1
= -2i
       
  d. -4i (-2i - 6)
= 8i2 + 24i
= -6 + 24i
       
  e. i - (6 - 3i)
= i - 6 + 3i
= -6 + 4i
       
  f. i + 2 - (3 - 5i)
= i + 2 - 3 + 5i
= -1 + 6i
       
  g. (2i - 1)3
= (2i - 1)(2i - 1)(2i - 1)
= (2i - 1)(4i2 - 2i - 2i + 1)
= (2i - 1)(-4 - 4i + 1)
= (2i - 1)(-3 - 4i)
= -6i - 8i2 + 3 + 4i
= -6i + 8 + 3 + 4i
= 11 - 2i
       
  h. (4i - 2) (-3 - i)
= -12i - 4i2 + 6 + 2i
= -12i + 4 + 6 + 2i
= 10 - 10i
       
  i. 3i (2i (i - 1))
= 3i (2i2 - 2i)
= 3i (-2 - 2i)
= -6i - 6i2
= 6 - 6i
       
3. a.
       
  b.
       
  c.
       
  d.
       
  e.
       
  f.
       
  g.
       
  h.

       
  i.
       
4. a. z2 + 4 = 0
z2 = -4
z = 2i
       
  b. z2 + 2z + 8 = 0
z = (-2 √(4-32))/2
= (-2 √-28)/2
= -1 1/2√(-28)
=  -1 i√7
       
  c. z3 + 6z2 + 16z = 0
z(z2 + 6z + 16) = 0
z = 0 ∨  z = (-6 √(36 - 4 16))/2
z = 0 ∨  z = (-6 √-28)/2
z = 0 ∨ z = -2 1/2√(-28)
z = 0 ∨  z = -2 i√7
       
  d. (z - 2)( + 1) = 4z2  
z
2 - 2z + z - 2 = 4z2
3z2 + z + 2 = 0
z = (-1 (1 - 4 3 2))/6
z = (-1 (-13))/6
z = -1/6 1/6i13
       
  e. z4  + 6z2 + 8 = 0
(z2 + 2)(z2 + 4) = 0
z2 = -2 ∨  z2 = -4
z = i√2 ∨  z = 2i
       
  f. 2z3 + z5 = 0
z3(2 + z2) = 0
z3 = 0  ∨  2 + z2 = 0
z = 0  ∨   z2 = -2
z = 0  ∨ z = i√2
       
5. eigenschap 1:
Stel z1 = a + bi  en   z2 = c + di
(a + bi) + (c + di) =  (a + b) + (c + d)i  en de geconjugeerde daarvan is   (a + b) - (c + d)i

De geconjugeerden van z1 en z2 zijn  a - bi  en c - di
(a - bi) + (c - di) =  (a + b) - (c + d)i  en dat is inderdaad gelijk aan de som hierboven.

eigenschap 2.
Stel z1 = a + bi  en   z2 = c + di
z
1 z2 =  (a + bi) (c + di)  = ac + adi + bci + bdi2  =  (ac - bd)  + (ad + bc)i
de geconjugeerde daarvan is     (ac - bd)  - (ad + bc)i

De geconjugeerden van z1 en z2 zijn  a - bi  en c - di
(a - bi) (c - di) =  ac - adi  - bci + bdi2  =  (ac - bd)  - (ad + bc)i  en dat is inderdaad gelijk aan de som hierboven.

eigenschap 3.
volgt eigenlijk direct uit eigenschap 2, door voor z1 en z2 dezelfde z te nemen.
 
  Hier is zn  opgevat als twee getallen, en die zijn met eigenschap 2 in twee geconjugeerden veranderd.
Maar datzelfde kun je bij die delen steeds weer doen, net zolang totdat je allemaal losse z's hebt.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)