© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. citroen:  x + 0,5y + 2/3z  <  12000  ofwel   6x + 3y + 4z  ≤  72000
cactus:  0,5y  <  3000  ofwel  y  ≤  6000
druiven:  1/3z  <  3500  ofwel  z  ≤  10500
verder is natuurlijk  x, y, z  ≥ 0
       

       
  De opbrengst is  O = 0,55x + 0,30y + 0,40z

O = (0,0,0)  en  OO = 0

P = (12000, 0, 0) en  OP = 6600

R = (0, 6000, 0)  en  OR = 1800

Q:  z = 0 en    6x + 3y + 4z  =  72000  en  y = 6000 geeft punt (9000, 6000, 0)  en  OQ = 6750

S:  y = 0  en  6x + 3y + 4z  =  72000  en  z = 10500  geeft punt  (5000, 0, 10500)  en  OS = 6950

V = (0, 0, 10500)  en  OV = 4200

U = (0, 6000, 10500)  en  OU = 6000

T:  y = 6000 en   z = 10500 en  6x + 3y + 4z  =  72000 geeft punt  (2000, 6000, 10500)  en  OT = 7100

De opbrengst is maximaal  7100  in punt T.
(2000 kg lemon en 6000 kg citroen-cactus  en  10500 kg druif-citroen)
       
2. Stel hij neemt x kisten Cavendish, y kisten Bakbanaan en z kisten Rode banaan.

logisch  x, y, z  ≥  0
voorraad:  x  ≤  100,  y  ≤  200,  z  ≤  100
vrachtwagen:  20x + 15y + 25z  ≤  6000

Dat geeft het volgende gebied:
       
 

       
3. a. logisch:  A, B, C  ≥  0
voorraad A:   A ≤ 200
vrachtwagen:  17A + 10B + 25C  ≤  5100
totaal aantal:  A + B + C  ≤  300
       
  b. P:  A = 200 en  17A + 10B + 25C = 5100  en    A + B + C = 300
A = 200 geeft in de andere twee:   10B + 25C = 1700  en   B + C = 100
B = 100 - C invullen in de eerste geeft   10(100 -  C) + 25C = 1700
1000 - 10C + 25C = 1700  ⇒ 15C = 700  ⇒  C = 462/3  en dan is B = 531/3
Dat punt is  (200, 46, 53)
       
  c. A + B + C = 300  geeft  C = 300 - A - B en dat kun je invullen in de andere vergelijkingen.
Dat geeft:

A, B  >  0
300 - A - B  >  0  dus  A + B  <  300
A  <  200
17A + 10B + 25(300 - A - B) < 5100  ofwel  8A + 15B  >  2400
Dat geeft het volgende toelaatbare gebied: 
       
   

       
    Het aantal kilogram is  K = 17A + 10B + 25C = 17A + 10B + 25(300 - A - B)
K = 7500 - 8A - 15B

Q(0, 300)  geeft  KQ = 3000
R:  A = 200 en  A + B = 300  geeft  (200, 100)  en dan is  KR = 1400
S:  A = 200 en  8A + 15B = 2400  geeft  (200, 53) en dan is  KS = 5105
T(0, 160)  en dan is  KT = 5100 

Het grootst aantal kilogram is 5105:    200 kisten A, 53 kisten B en 46 kisten C  (door het afronden op hele kisten wordt  K trouwens gelijk aan  5080)
(Dat was punt P uit vraag b)
       
4. a. Stel R Retrievers, B boxers en H herdershonden.

logisch:  R, B, H  ≥  0
aanschafgeld:  80R + 40B + 100H  ≤  1600
onderhoudskosten:  600R + 400B + 400H  ≤  12000
       
   

       
  b. P(0, 0, 16)  dus 16 honden

Q:  R = 0 en   80R + 40B + 100H  = 1600 en  600R + 400B + 400H  =  12000
4B + 10H = 160  en  4B + 4H = 120   geeft  6H = 40  dus  H = 62/3 en B = 231/3  dus  6 + 23 = 29 honden

R(0, 30, 0)  dus  30 honden

S(20, 0, 0) dus  20 honden

O(0,0,0) dus 0 honden.

Het maximale aantal honden is 30, namelijk 30 boxers en verder geen honden.
       
  c. Winst:
Retriever:  980 - 80 - 600 = 300
Boxer:  700 - 400 - 40 = 260
Herder:  850 - 400 - 100 = 350 
W = 300R + 260B + 350H

WP = 5600
WQ = 8080
WR = 7800
WS = 6000
WO = 0

De winst is maximaal €8080  bij  6 Herders en 23 boxers
       
5. a. Beperkende voorwaarden:
machine I: A + 3B + C  ≤  450  in dit geval  A + 3B  ≤  450 
machine II:  A + 2B + 2C  ≤  510  in dit geval  A + 2B  ≤  510
machine III:  2A + 3B + C  ≤  600  in dit geval  2A + 3B  ≤  600
logisch: A, B, C  ≥  0

Doelstellingsfunctie:  Winst is  W = 100A + 110B + 120C  in dit geval  W = 100A + 110B.
       
    De winst is maximaal in punt P:
A + 3B = 450  en   2A + 3B = 600
van elkaar aftrekken levert direct  A = 150 en dan is  B = 100

WP = 26000

       
  b. Beperkende voorwaarden:
machine I:  A + 3B + C  ≤  450
machine II:  A + 2B + 2C  ≤  510
machine III:  2A + 3B + C  ≤  600
logisch: A, B, C  ≥  0
       
   

       
    Doelstellingsfunctie:  Winst is  W = 100A + 110B + 120C

P(150,100, 0)  (vraag a)  geeft  WP = 26000
Q(0, 150, 0) geeft  WQ = 16500
R(300, 0, 0) geeft  WR = 30000
O(0,0,0)  geeft  WO = 0
U(0, 0, 255)  geeft  WU = 30600

S:   A + 2B + 2C  =  510  en  B = 0  en  2A + 3B + C  =  600
B = 0 geeft  A + 2C = 510  en   2A + C = 600
De tweede is  C = 600 - 2A en dat kun je invullen in de eerste:   A + 2(600 - 2A) = 510
Dat geeft  A = 230  dus  S = (230, 0, 140)  en   WS = 39800

T:  A + 2B + 2C  =  510  en  A + 3B + C  = 450  en  A = 0
A = 0 geeft  2B + 2C = 510  en  3B  + C = 450
De tweede is  C = 450 - 3B en dat kun je invullen in de eerste:  2B + 2(450 - 3B) = 510
Dat geeft  B = 97,5  dus  T = (0, 97.5, 157.5)  en  WT = 29625

De winst is maximaal  39800  voor  A = 230 en B = 0 en C = 140 
       
6. a. Beperkende voorwaarden:

zand:  2A + B  ≤  24
water:  500A + 300B  ≤  5100
vervoer:  2A + 3B  ≤  24
logisch:  A, B  ≥  0

     
  b. Doelstellingsfunctie:  opbrengst  O = 4000A + 3000B

punt P:  2A + 3B = 24 en 500A + 300B = 5100
De eerste is 500A + 750B = 6000 en daar kun je de tweede van aftrekken:  900 = 450B  dus B = 2 en A = 9
Dat geeft  O = 35000
       
    Q(0, 8)  geeft  O = 32000
R(10.2, 0) geeft  O = 40800

De opbrengst is maximaal 40800 bij productie van 10,2  A en  B = 0
       
  c. Kosten:   K = 300(2A + B) + 0,50(500A + 300B) + 300A + 800B = 1150A + 1250B
Winst = O - K = (4000A + 3000B) - (1150A + 1250B) = 2850A + 1750B

WQ = 14000
WP = 29150
WR = 29070

De winst is maximaal 29150:   9A en 2B maken.
       
  d. Beperkende voorwaarden:

zand:  2A + B + 2C ≤  24
door (12,0,0)(0,24,0)(0,0,12):  vlak IDEGH

water:  500A + 300B + 300C  ≤  5100
door (10.2, 0,0)(0,17,0)(0,0,17):  vlak  EGF

vervoer:  2A + 3B  ≤  24
door (12,0,0)(0,8,0):  vlak  BCHGF

maximum:  A  ≤  6:  vlak  ABFED

logisch:  A, B  ≥  0:  coördinaatvlakken
       
  e. O =  4000A + 3000B + 2000C

O(0,0,0)  geeft  OO = 0
A(6, 0,0) geeft  OA = 24000
B:  A = 6 en  2A + 3B = 24  geeft  (6, 4)  en dus  OB = 36000
C(0,8,0)  geeft  OC = 24000
D:  B = 0 en  2A + B + 2C = 24 en  A = 6  geeft  (6, 0, 6)  en dus  OD = 36000
F(6, 4, 3)  geeft  OF = 42000
G(3, 6, 6) geeft  OG = 42000
H:  A = 0 en  B = 8 en  2A + B + 2C = 24  geeft  (0, 8, 8)  en dus  OH = 40000

E:   2A + B + 2C =  24  en  A = 6  en   500A + 300B + 300C  = 5100
A = 6 geeft  B + 2C = 12  en   300B + 300C = 2100.
De eerste geeft  B = 12 - 2C en dat kun je invullen in de tweede:  300(12 - 2C) + 300C = 2100
Dat geeft  C = 5  dus  E(6, 2, 5)  en dan is  OE = 40000

De opbrengst is maximaal 42000 (op lijnstuk  FG).
       
7. Stel dat er D, O en C aandelen  Divi, Optie en Coup worden belegd
Beperkende voorwaarden:
logisch:  D, O, C  >  0
maximumbedrag:  12D + 10O + 50C ≤ 15000
risico-index:  0,50D + 0,20O + 0,25C  ≤  425
D  ≤  600
O  ≤  1200
       
  a. 12D + 10O + 50C = 15000   geeft  C =  300 - 0,24D - 0,2O
Dan worden de beperkende voorwaarden:

•  D, O ≥  0
•  C ≥ 0  geeft  300 - 0,24D - 0,2O  ≥  0   ofwel  2,4D + 2O  ≤  3000
•  risico-index:  0,50D + 0,20O + 0,25(300 - 0,24D - 0,2O)  ≤  425  ofwel  0,44D + 0,15O ≤ 350
•  D ≤ 600
•  O ≤ 1200
       
   

     
    Winst:  W = 3D + 1,5O + 5C =  3D + 1,5O + 5(300 - 0,24D - 0,2O) = 1,8D + 0,5O + 1500

P(0, 1200)  en  WP = 2100
Q:  O = 1200 en  2,4D + 2O = 3000  geeft  Q(250, 1200)  en   WQ = 2550

R:  2,4D + 2O = 3000 en   0,44D + 0,15O = 350
De eerste geeft  O = 1500 - 1,2D en dat kun je invullen in de tweede:   0,44D + 0,15(1500 - 1,2D) = 350
0,26D =125  dus  D = 480  en  R(480, 924)  en  WR = 2826 

S:  D = 600 en  0,44D + 0,15O = 350 geeft  (600, 573)  en  WS = 2866,5

T(600, 0) en WT = 2580
O = (0,0) en WO = 1500

De maximale winst is  in punt S:  koop  600 aandelen D, 573 aandelen O  en 41 aandelen C.
Dat geeft  W = 2864,50
       
  b. logisch:  D, O, C  ≥  0
risico-index:  0,50D + 0,20O + 0,25C  ≤  425
maximumbedrag:  12D + 10O + 50C ≤ 15000
D  ≤  600
O  ≤  1200
Winst:  3D + 1,5O + 5C
       
   

       
    (PQRST zijn de overeenkomstige punten uit opgave a)

O:  WO = 0
P:  (0, 1200, 60)  en  WP = 2100
Q: (250, 1200, 0)  en  WQ = 2550
R:  (480, 924, 0) en WR = 2826
S:  (600, 573, 207)  en  WS = 2864,5 
T:  (600, 0, 156)  en  WT = 2580

en nu de nieuwen nog: 
U:  (0, 0,300)  en  WU =  1500
V:  (600, 0, 0) en  WV = 1800
W:  D = 600 en  C = 0 en   0,50D + 0,20O + 0,25C  = 425  geeft  (600, 625, 0) en WW = 2737,5

De maximale winst is weer   W = 2864,50 in punt S
       
8. a. gist:  0,2x + 0,1y + 0,1z  ≤  180
eieren:  2x + 6y + 4z  ≤ 5400
glazuren:   z  ≤  800
logisch:  x, y, z  ≥  0
       
  b. gist:  vlak  ABFE
eieren:  vlak BCFG
glazuren:  vlak DEFG

O = (0, 0, 0)
A = (900, 0, 0)
C = (0, 900, 0)
D = (0, 0, 800)

E:  y = 0 en  0,2x + 0,1y + 0,1z = 180 en  z = 800
E = (500, 0, 800)

G:  x = 0 en  z = 800  en   2x + 6y + 4z  =  5400
G = (0, 3662/3, 800)

    B:   z = 0 en  2x + 6y + 4z = 5400 en   0,2x + 0,1y + 0,1z = 180
2x + 6y = 5400  en   0,2x + 0,1y = 180
De tweede geeft  y = 1800 - 2x en dat kun je invullen in de eerste:  2x + 6(1800 - 2x) = 5400
Dat geeft  x = 540  en   B = (540, 720, 0)

F:  z = 800 en    2x + 6y + 4z = 5400 en   0,2x + 0,1y + 0,1z = 180
2x + 6y = 2200  en   0,2x + 0,1y = 100
De tweede geeft  y = 1000 - 2x en dat kun je invullen in de eerste:  2x + 6(1000 - 2x) = 2200
Dat geeft  x =  380  en   F = (380, 240, 800)
     
  c. W = 25x + 20y + 23z

WA = 22500
WB = 27900
WC = 18000
WD = 18400
WE = 30900
WF = 32700
WG = 25733
WO = 0

De maximaal haalbare winst is  32700 cent.
     
9. a. Stel p parels, r robijnen en d diamanten
Hoogstens 2 kg:   2p + 2r + 8d  ≤  2000    (op de assen bij 1000, 1000, 250)
30000 aan edelstenen:  100p + 50r + 50d  ≤  30000   (op de assen bij  300, 600,  600)
maximaal aantal:   p, d, r  ≤  300
logisch:  p, d, r  ≥  0

Zo te zien  is de z-as  de  diamanten-as  (vanwege de 250)
Dan is de y-as de parel-as  (daar is de 300 een grens van het schuine vlak)
Dan is de x-as de robijnen -as.
     
  b. P:   r = 300  en   2p + 2r + 8d  = 2000   en    100p + 50r + 50d  =  30000
r = 300 invullen:   2p + 8d  = 1400  en   100p + 50d = 15000
De eerste vergelijking geeft  p = 700 - 4d en dat kun je invullen in de tweede:  100(700 - 4d) + 50d = 15000
70000 - 400d + 50d = 15000
350d = 55000
d = 157,14  en dan is  p = 71,43
P is het punt  (300, 71.43,  157.14)
     
10.  a. De kolomsommen zijn steeds 30,  de rijen zijn  achtereenvolgens 50 en 70, dus dat geeft:
   
     
  b. vermenigvuldig met de kosten:

K = 12x + 15y + 15z + 9(50 - x - y - z) + 15(30 - x) + 17(30 - y) + 12(30 - z) + 10(x + y + z - 20)
K = 12x + 15y + 15z + 450 - 9x - 9y - 9z + 450 - 15x + 510 - 17y + 360 - 12z + 10x + 10y + 10z - 200
K =  1570 - 2x - y + 4z
     
  c.

     
    Driehoek ABC is het vlak  x + y + z - 20 = 0
A:  (0, 0, 20)
B:  (0, 20, 0)
C:  (20, 0, 0)

DIKLJH is het vlak  x + y + z = 50 en de kubus heeft ribben van 30
D: (20, 0, 30)
I:  (30, 0, 20)
K: (30, 20, 0)
L: (20, 30, 0)
J:  (0, 30, 20)
H: (0, 20, 30)

E:  (30, 0, 0)
F:  (0, 0, 30)
G: (0, 30, 0)  
     
  d. Bereken K  =  1570 - 2x - y + 4z  in elk hoekpunt:
KA = 1650
KB = 1550
KC = 1530
KD = 1650
KE = 1510
KF = 1690
KG = 1540
KH = 1670
KI = 1590
KJ = 1620
KK = 1490
KL = 1500

K is minimaal 1490  (in punt K)
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)