© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De verkochte aantallen zijn 15 • 1064 = 15960  en  24 • 1159 = 27816  en  30 •  484 = 14520 bonbons.
Samen zijn dat  58296 bonbons
Naar verhouding zijn dat dan:
15960/58296 • 105000 = 28745 bonbons Trés Chichque  (1916 dozen)
en  27816/58296 • 105000 = 50101 bonbons Magnifique (2088 dozen)
en  14520/58296 • 105000 = 26153 bonbons Epicure  (872 dozen) 
       
  b. Als er T bonbons Tres Chique en M bonbons Magnifique zijn, dan zijn er 105000 - T - M  bonbons Epicure.

1200 dozen tres Chicque:   T ≥  1200 • 15   dus  T ≥ 18000
1200 dozen  Magnifique:  M ≥ 1200 • 24   dus  M ≥ 28800
400 dozen Epicure:    105000 - T - M  ≥  400 • 30   dus   T + M  £ 93000
Niet meer T dan M:   T  ≤  M
T niet meer dan drie maal Epicure:   T ≤ 3(105000 - T - M)   dus  4T + 3M  ≤  315000
       
   
       
    Het totaal aantal dozen is   D = T/15 + M/24 + (105000 - T - M)/30

Loop de hoekpunten langs:
T :    T = 18000  en  M = 28800  en  dus D = 4340

S:    T = 28800  en  T = M  = 28800  en dus  D = 4700

R:    T = M   en  4T + 3M  = 315000  dus  T = M  = 45000  en   dan is  D = 5375

Q:    4T + 3M  = 315000  en  T + M  = 93000
uit de tweede volgt  M = 93000 - T en dat kun je invullen in de eerste:  4T + 3(93000 - T) = 315000
4T +  279000 - 3T = 315000  ⇒   T =  36000  en dan is M = 57000  en dan is  D = 5175

P:    T = 18000  en  T + M = 93000  dus M = 75000 en dan is  D = 4725

Voor het maximale aantal dozen zal men 45000 bonbons aan Tres Chique en aan Magnifique uitgeven en dus 15000 bonbons aan  Epicure.
Dat zijn  3000 dozen en 1875 dozen en 500 dozen    
       
  N.B.  Had je door dat dit precies dezelfde vraag is als vraag 8 uit de vorige les?.....
       
2. a. Als er x ton I en  y ton II wordt gebruikt, dan is er dus  54 - x - y ton III 

180x + 300y + 150(54 - x - y) ≥ 200 • 54
180x + 300y + 8100 - 150x - 150y  ≥  10800
30x + 150y ≥ 2700
delen door 30:   x + 5y ≥ 90
       
  b. basismengsel B :   20x + 6y + 16(54 - x - y) ≥ 10 • 54   en dat geeft   -4x + 10y  ≤ 324
basismengsel C:    90x + 50y + 40(54 - x - y) ≥ 60 • 54  en dat geeft   5x + y  ≥  108
verder geldt  x, y ≥ 0
en ook   54 - x - y  ≥  ofwel  x +  y  ≤  54
Dat geeft het volgende toelaatbare gebied:
       

       
    De kosten zijn  K  =  800x + 400y + 600z  =  800x + 400y +  600(54 - x - y) = 200x - 200y + 32400

P:   -4x + 10y  = 324  en   5x + y  = 108
De tweede geeft  y = 108 - 5x  en dat kun je invullen in de eerste:  -4x + 10(108 - 5x) = 324
-4x + 1080 - 50x = 324  ⇒  54x = 756   ⇒   x = 14  en dan is  y = 38  en  K = 27600

Q:   -4x + 10y  = 324  en  x + y = 54
De tweede geeft  y = 54 - x en dat kun je invullen in de eerste:  -4x + 10(54 - x) = 324
-4x + 540 - 10x = 324  ⇒   14x =  216  ⇒  x = 15,43  en dan is y = 38,57  en  K = 27772

R:   x + y = 54  en  x + 5y = 90
De eerste geeft  y = 54 - x  en dat kun je invullen in de tweede:  x + 5(54 - x) = 90
x + 270 - 5x = 90  ⇒  180 = 4x  ⇒   x = 45  en dan is y = 9  en K = 43200

S:  x + 5y = 90  en  5x + y = 108
De eerste geeft  x = 90 - 5y en dat kun je invullen in de tweede:   5(90 - 5y) + y = 108
450 - 25y + y = 108  ⇒  342 = 24y  ⇒   y = 14,25  en dan is  x = 18,75  en  K = 33300

Minimale inkoopskosten vinden we in punt P en dan moeten er resp.  14,  38  en  2 ton worden ingekocht.  
       
  c. K  =  800x + 400y + 500z  =  800x + 400y +  500(54 - x - y) = 300x - 100y + 27000
KP = 27400
KQ = 27772
KR = 39600
KS = 31200
P geeft nog steeds minimale inkoopskosten, dus die verlaging zal geen reden zijn om de mengverhouding te wijzigen.
       
3. a. Stel men gebruikt R liter rum en L liter likeur, en dus  10 - R - L  liter  Jus d'Orange

15% alcohol:   0,3R + 0,1L  ≥  0,15 • 10  dus   3R + L  ≥  15
rum niet meer dan dubbele:   R ≤ 2L
logisch:  R, L  ≥  0
Jus d'Orange niet negatief:   10 - R - L  ≥  0  ofwel  R + L  ≤  10

Dat geeft het volgende toelaatbare gebied:
       
   

       
  b. De niveaulijnen met constant alcoholpercentage lopen evenwijdig aan de linkerrand van het toelaatbare gebied.
Het maximale alcoholpercentage zal worden bereikt in het rechter punt van het toelaatbare gebied.
Dat is het snijpunt van  R + L = 10  en R = 2L
Invullen:  2L + L = 10  geeft  L = 31/3  en dan is  R = 62/3
Je krijgt het maximale alcoholpercentage met 62/3 liter rum en 31/3 liter likeur  (dat is dan 231/3 %)
       
  c. K = 15R + 8L + 2(10 - R - L)  = 13R + 6L + 20

R + L = 10 en  R = 2L hebben snijpunt  (62/3, 31/3) en dat geeft  K = 1262/3

R + L = 10 en  3R + L = 15   hebben snijpunt   3(10 - L) + L = 15  dus  L = 7,5 en dan is R = 2,5
In dat geval is K = 97,50

3R + L = 15 en  R = 2L  hebben snijpunt  6L + L = 15  dus  L = 15/7 en dan is R = 30/7
In dat geval is K = 884/7 

De kosten zijn minimaal bij  R = 30/7 en L = 15/7   (en  Jus d'Orange dus 25/7 liter)
Alcohol:   15%  want op die lijn ligt het gevonden hoekpunt met minimale kosten.
       
  d. L = 10 - R - L
L = 5 - 0,5R
   

       
    Dat is de blauwe lijn in de figuur hierboven. Het gedeelte PQ daarvan binnen het oude toelaatbare gebied wordt nu het nieuwe toelaatbare gebied.
       
4. a. Stel dat hij B zakken borrelnootjes, P zakken paprikachips en C zakken chipito's koopt.
2,50B + 1P + 1,50C = 800  geeft  P = 800 - 2,5B - 1,5C

Beperkende voorwaarden:
logisch:  B, C ≥ 0
paprika's positief:   800 - 2,5B - 1,5C  ≥  0

niet meer aan borrelnootjes dan aan paprika's:   2,5B  ≤  P  dus  2,5B ≤ 800 - 2,5B - 1,5C
Dat geeft  5B + 1,5C  ≤  800

minimum aantal borrelnootjes:  B  ≥  30

hoogstens 400 zakken borrelnootjes plus paprika's:   B + P  ≤  400  dus  B + 800 - 2,5B - 1,5C  ≤  400
Dat geeft  1,5B + 1,5C  ≥  400
       
   

  b. Q:    B = 30  en   1,5B + 1,5C = 400  geeft  B = 30  en C = 2362/3 en  P = 370
Dat zijn in totaal 637 zakken 

R:  B = 30 en  5B + 1,5C = 800  geeft  B = 30  en  C = 4331/3  en  P = 75
Dat zijn in totaal  538 zakken

S:   1,5B + 1,5C = 400  en   5B + 1,5C = 800.  De eerste geeft  1,5C = 800 - 5B en dat kun je invullen in de eerste:  1,5B + 800 - 5B = 400  geeft  B = 800/7  en dan is  C = 3200/21  en P = 2000/7
Dat zijn in totaal 552 zakken.

Het maximale aantal is 637 zakken
       
  c. G = 400B + 300P + 200C = 400B + 300( 800 - 2,5B - 1,5C) + 200C =  240000 - 350B - 250C
Hieronder staat de lijn  G = 150000 g.
       
   

       
  d. 2,5B = 1,5C  geeft  B = 0,6C en die kun je er bij in tekenen  
     
   

       
    Zoals je ziet loopt hij nog net een klein stukje door het toelaatbare gebied. Dus dat is mogelijk.
       
5. a. De aandelen onroerend goed zijn dan 30 - x - y
opbrengst = O = 0,08x + 0,07y + 0,09(30 - x - y) =  2,7 - 0,01x - 0,02y
       
  b. x ≥ 3
y ≥ 3
30 - x - y  ≥  3  dus  x + y  ≤  27
tenminste de helft in aandelen en obligaties:   x + y  ≥  15
aandelen niet meer dan het dubbele van obligaties:   x  ≤  2y
       
  c.

       
    P:   (0, 27)  en dan is  O = 2,16

Q:   x + y = 27  en   x = 2y  geeft  (18, 9)  en O = 2,34

R:   x + y  = 15  en   x = 2y  geeft  (10, 5)  en  O = 2,50

S:   (0, 15)  en  O = 2,40

De maximale opbrengst is  2,5 miljoen, bij   10 miljoen aandelen,  5  miljoen obligaties en  15 miljoen onroerend goed.  
       
  d. De opbrengst wordt   px + 0,07y + 0,09(30 - x - y) =  2,7 + px - 0,02y  - 0,09x
Er zijn meerdere verdelingen als twee aangrenzende hoekpunten dezelfde opbrengst leveren.

OR = OQ:    2,7 + 10p - 0,02 • 5 - 0,09 • 10 =  2,7 + p • 18 - 0,02 • 9 - 0,09 • 18
1,7 + 10p = 0,9 + 18p
8p = 0,8  dus  p =  0,10  en dan is O = 2,70 miljoen

OR = OS:   2,7 + 10p - 0,02 • 5 - 0,09 • 10  = 2,7 - 0,02 • 15
1,7 + 10p = 2,4
10p = 0,7   dus  p = 0,07  en dan is  O =  2,40 miljoen

De maximale opbrengst is 2,70 miljoen en dat is als p = 0,10 bij elk punt van het lijnstuk  QR.
       
6. a. 6,5 • 60 • 70 +  7,1 • 40 • 75  +  8,4 • 50 • 90 = f 86400,-
       
  b. graan:  8,4 ha dus 8,4 • 10 = 84 arbeidsuren nodig. Er zijn 3 • 5 • 8 = 120  arbeidsuren voorradig
erwten:  7,1 ha dus  7,1 • 15 = 106,5 arbeidsuren nodig. Er zijn  2 • 5 • 8 = 80 arbeidsuren voorradig
aardappels: 6,5 ha dus  6,5 • 12 = 78 arbeidsuren nodig. Er zijn 2 • 5 • 8 = 80 arbeidsuren voorradig.

Dat gaat niet lukken:  in de erwtenoogstperiode zijn er niet genoeg oogsters.
       
  c. Het aantal ha voor graan is dan  22 - x - y

logisch:  x,  y  ≥  0
graan positief:  22 - x - y   ≥  0  dus  x + y  ≤  22

aardappeloogst:  12x  ≤  2 • 5 • 8   dus  x  ≤  62/3 
erwtenoogst:  15y  ≤  2 • 5 • 8  dus   y  ≤  51/3
graanoogst:  10 • (22 - x - y)  ≤   3 • 5 • 8  dus    100  ≤  10x + 10y  ofwel  x + y ≥  10 

Zie het rode gebied hieronder.
       
   

     
  d. winst = W = 70x + 75y + 90(22 - x - y)
W = 1980 - 20x - 15y  
Er zijn twee blauwe niveaulijnen getekend in het gebied hierboven.
Daaraan kun je zien dat de maximale winst zal plaatsvinden in punt P van het toelaatbare gebied.

P:   y = 51/3  en   x + y = 10  geeft  x = 42/3  en dan is  W = f1806,67
       
  e. punt P ligt niet op  de grenslijnen x = 62/3  van de aardappeloogst
In P is  x  = 42/3 dus zijn  42/3 • 12 = 56 arbeidsuren nodig.
Er zijn 2 • 5 • 8 = 80 arbeidsuren beschikbaar, dus blijven  24 arbeidsuren over. 
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)