© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. In totaal zijn er 19 • 12 + 20 • 12 + 24 • 12 = 756 werkdagen in een jaar.
Voor  aardappelen, suikerbieten en granen zijn al 9 • 19 + 9 • 20 + 9 • 24 = 567 dagen nodig
Dus zijn nog 756 - 567 = 189 dagen over voor de nieuwe gewassen.
       
  b. akkermoesbloem heeft een totale oogst van 9 • 1000 = 9000 kg en dat is teveel (meer dan 8400)
komkommmerkruid vergt 9 • 22 = 198 werkdagen en dat is teveel (meer dan 189)
teunisbloem vergt 9 • 24 = 216 werkdagen en dat is teveel (meer dan 189)
       
  c. de totale oogst wordt  x • 1000 + y • 800 + (9 - x - y) • 800 = 1000x + 800y + 7200 - 800x - 800y
dat is 200x + 7200 en dat moet minder zijn dan de opslagcapaciteit 8400
200x + 7200 ≤ 8400  Þ  200x ≤ 1200  ⇒  (delen door 200) ⇒ x ≤ 6

Het totale aantal werkdagen wordt  16 • x + 22 • y + 24 • (9 - x - y) = 16x + 22y + 216 - 24x - 24y
dat is -8x - 2y + 216 en dat moet minder zijn dan 189
-8x - 2y + 216 ≤ 189 ⇒ -8x - 2y ≤ -27  ⇒ 8x + 2y ≥ 27
       
  d. Teken de vijf grenslijnen die boven opgave 15 staan in een toelaatbaar gebied:
       
   

       
    Hoekpunten:  A = (3.375 , 0)  B = (6,0)  C = 6,3)
D:  x + y = 9  ⇒  2x + 2y = 18
trek deze vergelijking af van 8x + 2y = 27; dat geeft  6x = 9  ⇒  x  = 1,5  en  D = (1.5 , 7.5)
 
De opbrengst is 3 • 1000 • x + 4 • 800 • y + 4,5 • 800 • (9 - x - y) = 3000x + 3200y + 32400 - 3600x - 3600y
Dat is 32400 - 600x - 400y

Invullen in de vier punten A,B,C en D geeft achtereenvolgens  30375 , 28800 , 27600 en 28500
De opbrengst is maximaal in punt A, dus bij de verdeling:  3,375 ha akkermoesbloem en 0 ha komkommerkruid en 5,625 ha teunisbloem.
       
2. a. m mondials kost 2m manuren, en  t travellers kost 3t manuren.
samen is dat  2m + 3t manuren,  dus 2m + 3t  ≤  616

m mondials kost 1,5m m2 leer  en  t travellers kost ook 1,5t m2 leer
samen is dat  1,5m + 1,5t  ≤  387
       
  b.

       
    A:  t = 0  en  2t + 3m = 616  geeft  3m = 616, dus m » 205 en het is punt  (0, 205)
C:  m = 0 en  1,5t + 1,5m = 387  geeft  1,5t = 387  dus  t = 258  en het is het punt  (258, 0)

B:  1,5t + 1,5m = 387 en  2t + 3m = 616
de eerste is gelijk aan  t + m = 258 (delen door 1,5)  ofwel  t = 258 - m
invullen in de tweede geeft  2(258 - m) + 3m = 616  ⇒  516 - 2m + 3m = 616  ⇒  m = 100
t = 258 - m = 258 - 100 = 158, dus het is het punt  ( 158, 100)

O(0,0)

Bereken de winst in deze 4 punten:
WA = 44 • 0 + 56 • 205 = 11480
WB = 44 • 158 + 56 • 100 = 12552
WC = 44 • 258 + 56 • 0 = 11452
WO = 44 • 0 + 56 • 0 = 0

De maximale winst is 12552 euro, bij productie  158 koffers traveller en 100 koffers mondial
       
  c. Teken de lijn t = 2m in de figuur:  
   

       
    De maximale winst vinden we in punt P, en dat is het snijpunt van   t = 2m met 1,5t + 1,5m = 387
In de laatste vergelijking t vervangen door 2m  geeft  1,5 • 2m + 1,5m = 387
ofwel 4,5m = 387, dus m = 86  en dan in  t = 2 • 86 = 172
W = 44 • 172 + 56 • 86 = € 12384
       
3. a. bijvoorbeeld:
In gebied B ligt het punt  (800, 300) en dat klopt niet met de laatste voorwaarde: het aantal Silver ballen is 800 en dat is meer dan het dubbele van 300.

In gebied C ligt punt  (400, 400) niet en dat voldoet wel aan alle voorwaarden

       
  b. Er zijn twee gevallen te onderscheiden:  y ≥ 300 of  y ≤ 300.
De lijn y = 300 verdeelt het toegestane gebied in twee delen; het groene en het paarse deel hiernaast.
Bekijk de kosten in beide delen apart.

Het paarse gebied heeft  y ≤ 300, dus K = x + 1,2y
De hoekpunten zijn  R(300,300) en Q(400,200) en S(600,300)
Invullen geeft  KR = 660,  KQ = 640 en  KS = 960

Het groene gebied heeft  y ≥ 300 dus K = x + 1,1y
De hoekpunten zijn P(200,400) en R(300,300) en S(600,300)
Invullen geeft  KP = 640,  KR = 630 en KS = 930

minimale kosten dus in punt R met  KR = 630.
       
4. a. h, m  ≥ 0
machinetijd:   1/150 • m  + 1/30 • h  ≤ 1  ofwel   m + 5h  ≤ 150
medewerkerstijd:   1/2h + 1/5m ≤ 20  ofwel   5h + 2m ≤ 200  
doelstellingfunctie:  de winst  W = 55h + 20m  moet maximaal.
       
  b.

       
    A:   (30, 0)  en dan is  W = €1650
B:   m + 5h = 150  en  5h + 2m = 200
de eerste geeft  5h = 150 - m en invullen in de tweede geeft dan   150 - m + 2m = 200
dan is m = 50  en h = 20 dus  B = (20, 50)  en dan is  W = €2100
C:  (0, 100)  en dan is  W = €2000
Maximale winst in punt B:   maak dus  20 houten en 50 metalen rackets.
       
  c. Als er p medewerkers aanwezig zijn, dan geldt:    1/2h + 1/5m ≤ p   ofwel  5h + 2m ≤  10p
punt B:   5h + 2m = 10p  en   m + 5h = 150
5h = 150  - m  invullen in de eerste:   150 -  m +  2m = 10p  dus  m = 10p - 150
Dan is 5h =  300 - 10p   dus  h = 60 - 2p

Als de verhouding  5 : 14  is, dan geldt dus  5h = 14m
Invullen:   300 - 10p =  14(10p - 150)
300 - 10p  = 140p - 2100
150p  = 2400
p = 16 
Er zijn dus 4 medewerkers afwezig.
       
5. a. Stel dat er B banken en F fauteuils gemaakt worden.

productiemedewerkers:  B + F ≤ 60
stoffeerders:  B + 2F  ≤  100   (12,5 dagen)
magazijn:  3B + F ≤ 120
B, F ≥ 0

Dat geeft het gebied hiernaast.

     
  b. A is  (0, 50)
B:  B + F = 60 en  B + 2F = 100
van elkaar aftrekken geeft  F = 40, dus B = 20
C:  3B + F = 120 en  B + F = 60
van elkaar aftrekken geeft  B = 30  dus  F = 30
D:  (40, 0)

 
    De winst is  W = 600B + 450F
Dat geeft achtereenvolgens  €22500 - €30000 - €31500 - €24000
De winst is maximaal (€31500) bij een productie van  30 banken en 30 fauteuils.
       
  c. W = pB + 450F
C en B geven dezelfde winst als   30p + 30 • 450 = 20p + 40 • 450  ⇒  p = €450
C en D geven dezelfde winst als  30p + 30 • 450 = 40p  ⇒   p = €1350
Als de winst onder de €450 of boven de €1350 komt zal men een ander productieschema gaan volgen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)