© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. proteοne:  0,1x + 0,3y  ≥ 60
vitamines:  0,0004x + 0,0002y ≥ 0,1
mineralen: 0,01x + 0,02y  ≥ 5,2
logisch:  x, y  ≥ 0
       
   

       
    Doelstellingsfunctie  K = 0,40x + 0,30y   (K is het aantal centen) moet minimaal.
Hoekpunten:

P = (0, 500)

Q:   0,0004x + 0,0002y = 0,1  en  0,01x + 0,02y  = 5,2
uit de eerste volgt  x = 250 - 0,5y en dan geeft de tweede:  0,01(250 - 0,5y) + 0,02y = 5,2
2,5  + 0,015y = 5,2  ⇒   0,015y = 2,7  ⇒  y = 180  en dan is x = 160  dus  Q = (160, 180)

R:   0,1x + 0,3y  = 60  en  0,01x + 0,02y  = 5,2
Uit de tweede volgt  x = 520 - 2y  en dan geeft de eerste:   0,1(520 - 2y) + 0,3y = 60
52 - 0,2y + 0,3y = 60
0,1y = 8  ⇒   y = 80  en dan is  x = 360  dus  R = (360, 80)

S = (600, 0)

De kosten:
KP = 150
KQ = 118
KR = 168
KS = 240
De fabrikant moet kiezen  x = 160 en y = 180  om de kosten zo laag mogelijk te houden.
       
  b. Stel de prijs p  dan geldt  K = px + 0,3y
Als je vanaf punt Q meer graan gaat gebruiken dan zul je in P terechtkomen. In het grensgeval zullen daarom de punten P en Q dezelfde kosten opleveren.
Dat geeft  p • 0 + 0,3 • 500 = p • 160 + 0,3 • 180
150 = 160p + 54
160p  = 96
p = 0,6
Vanaf 60 eurocent per gram zal de fabrikant de inhoud van de zakjes gaan veranderen naar 0 gram soja en 500 gram graan.  
       
2. a. Stel dat men A Abrinas en P Perzinoos gaat maken.

sinaasappelen:  5A + 4P  ≤ 2000
abrikozen:  A + 2P  ≤  600
perziken:  2P  ≤  500
logisch:  A, P  ≥  0

Doelstellingsfunctie:  opbrengst is  O = A + 1,1P - 200
       
   

       
    Q = (0, 250)  en  OQ = 75

R:  A + 2P = 600 en  P = 250  geeft het punt  R = (100, 250)  en  OR = 175

S:  A + 2P = 600 en  5A + 4P = 2000
De eerste geeft  A = 600 - 2P  en dan geeft de tweede:   5(600 - 2P) + 4P = 2000
3000 - 10P + 4P = 2000  ⇒   1000 = 6P ⇒   P = 1662/3  en dan is  A = 2662/3 
Het dichtstbijzijnde roosterpunt  binnen het gebied  is  (267, 166) of  (266, 167)
Dat geeft respectievelijk:  OS = 249,60 en  249,70

T = (400, 0)  en  OT = 200

De feestcommissie kan maximaal 249,70 verdienen, namelijk in punt S(266, 167)
       
  b. Er blijft over:   (2000 - 5A - 4P) sinaasappelen  en  (600 - A - 2P) abrikozen  en   (500 - 2P) perziken.
Dat is in totaal  2000 - 5A - 4P + 600 - A - 2P + 500 - 2P = 3100 - 6A - 8P stuks
Dat levert op  0,02 • (3100 - 6A - 8P) = 62 - 0,12A - 0,16P
Dan is de opbrengst:  A + 1,1P - 200 + 62 - 0,12A - 0,16P
O = 0,88A + 0,94P - 138
       
3. a. Stel dat men besluit A keer met busje A en B keer met busje B te rijden. Dan zijn de beperkende voorwaarden:

288 ME-ers  16A + 6B  ≥ 288
materiaal:  40A + 200B  ≥ 2200
twee uur:   A ≤  40  en   B  ≤ 32
       
   

       
  b. Doelstellingsfunctie:  K = 10A + 4B

P:   B = 32 en  16A + 6B  = 288  geeft  P = (6, 32)   en   KP = 188

S = (40, 32)   en   KS = 528

R:  40A + 200B  = 2200 en  A = 40  geeft  R = (40, 3)  en  KB = 412

Q:  40A + 200B  = 2200  en   16A + 6B  = 288
De laatste geeft  B = 48 - 22/3A  en dat kun je invullen in de eerste:  40A + 200(48 -  22/3A) = 2200
40A + 9600 - 5331/3A = 2200  ⇒  4931/3A = 7400  ⇒   A = 15  en dan is B = 8  en  Q = (15, 8)
KQ = 182

Minimale kosten zijn  182   (15 keer met busje A en 8 keer met busje B rijden).
       
4. a. Voor timmeren zijn twee personeelsleden beschikbaar, dus er kan maximaal 80 uur per week getimmerd worden.
Dat is 80 • 60 = 4800 minuten.
x poppenhuizen kost 60x minuten, en y treinen kost 40y minuten. Samen is dat  60x + 40y
De voorwaarde wordt dus  60x + 40y ≤ 4800.  Delen door 20 geeft  3x + 2y ≤ 240
       
  b. Aan x poppenhuizen wordt 24x minuten gezaagd en 60x minuten getimmerd en 40x minuten geverfd.
Samen is dat 124x minuten werk.
Aan y treinen wordt 15y minuten gezaagd en 40y minuten getimmerd en 10y minuten geverfd.
Samen is dat 65y minuten werk
De personeelsleden kosten 30 euro per uur, dat is 0,5 euro per minuut.
De totale kosten aan personeelsleden zijn dan  0,5 • 124x + 0,5 • 65y = 62x + 32,5y  euro.
De materiaalkosten voor x poppenhuizen en y treinen zijn 17x + 17y
De totale kosten worden dan  TK = 62x + 32,5y + 17x + 17y = 79x + 49,5y  euro.

De opbrengst van x poppenhuizen en y treinen is 97x + 58,50y

Winst = Opbrengst - Kosten = (97x + 58,50y) - (79x + 49,5y) = 97x + 58,5y - 79x - 49,5y = 18x + 9y
       
  c. Het toegestane gebied heeft vier hoekpunten. Drie van de vier zijn zo af te lezen:  (0,0) en (60,0) en (0,120)
Het vierde hoekpunt is het snijpunt van de timmer-grenslijn en de verf-grenslijn.
De vergelijkingen daarvan zijn   3x + 2y = 240  en  4x + y = 240
Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 2:  8x + 2y = 480
Trek de eerste vergelijking van deze nieuwe vergelijking af:  5x = 240  ofwel  x = 48
Invullen in bijv. de verf-vergelijking geeft  4 • 48 + y = 240  dus  y = 48
Het vierde hoekpunt is dus (48,48)

Bereken de winst in alle vier de hoekpunten:
(0,0) geeft W = 0
(60,0) geeft W = 18•60 + 9•0 = 1080
(0,120) geeft  W = 18•0 + 9•120 = 1080
(48,48) geeft  W = 18•48 + 9•48 = 1296

 De grootste winst is te behalen in het punt (48,48) en bedraagt € 1296,-
       
  d. Vergelijkingen II, IV en V geven als toegestaan gebied een driehoek met hoekpunten (0,0) en (0,120) en (80,0)
De lijnen bij beide nieuwe vergelijkingen moeten daarbuiten vallen.
Je kunt daar het handigst voor zorgen door naar de snijpunten met de assen te kijken:

8x + 5y = 800 - 20d
Snijpunt met de x-as:  y = 0  dus  8x = 800 - 20d ofwel  x = 100 - 2,5d
Dat moet buiten de driehoek vallen, dus moet x > 80, dus  100 - 2,5d > 80  dus  2,5d < 20  dus  d < 8
Snijpunt met de y-as:  x = 0 dus  5y = 800 - 20d ofwel  y = 160 - 4d
Dat moet buiten de driehoek vallen, dus moet  160 - 4d > 120  dus  4d < 40  dus  d < 10

4x + y  = 240 + 6d
Snijpunt met de x-as:  y = 0  dus  4x = 240 + 6d  ofwel  x = 60 + 1,5d
Dat moet buiten de driehoek vallen, dus moet x > 80 dus  60 + 1,5d > 80 dus 1,5d > 20 dus  d > 13,333...
Snijpunt met de y-as:  x = 0 dus y = 240 + 6d
Dat moet buiten de driehoek vallen, dus moet  240 + 6d > 120  dus  6d > -120  dus  d > -20

 d moet aan alle vier de voorwaarden voldoen, en dat kan niet: d kan niet groter dan 13,3333.. zijn en kleiner dan 8.
Het is dus niet mogelijk.

       
5. a. (1):  totale oppervlakte maximaal 60%
60% van 1000000 is 600000
voor elke m2 woonruimte is 2 m2 nodig, dus benodigde ruimte voor woonoppervlak = 2x
voor elke 50 m2 winkel is 20 m2 extra nodig. Per m2 is dat 20/50 = 0,4  m2 extra dus is 1,4y m2 nodig,
In totaal is dus 2x + 1,4y  nodig en dat moet minder zijn dan 600000

(2):  regionale winkelfunctie:
y ³ 50000 + 4x en breng dan 4x naar de andere kant; dat geeft vergelijking (2)

(3): maximaal 3000000 verontreiniging.
elke x levert 40 verontreiniging, dus in totaal 40x
elke y levert 4 verontreiniging dus in totaal 4y
samen is dat 40x + 4y en dat moet kleiner zijn dan 3000000
Delen door 4 geeft  10x + y ≤ 750000
       
  b. 2400x + 800y ≤ 400000000  
       
  c. Hiernaast staat aangegeven welke vergelijking bij welke grenslijn hoort.
Het gekleurde gebied is het toelaatbare gebied.

Je ziet dat vergelijking (4) geen grenslijn van het toelaatbare gebied is, dus vergelijking (4) heeft geen invloed.

 
       
  d. x is maximaal in punt P van het toelaatbare gebied.
Dat is het snijpunt van (2) en (3)

-4x + y = 50000    (2)
10x + y = 750000   (3)

(3) - (2)   levert:
14x = 700000 ⇒  x = 50000
uit (2) volgt dan  y = 50000 + 4x = 250000

De totale oppervlakte is dan  x + y = 300000
       
6. a. metselwerk:  1000A + 1500B  ≤ 60000
timmerwerk:  800A + 1000B ≤ 44000
overig werk: 200A + 600B  ≤ 21000
logisch:  A, B  ≥ 0
       
   

       
  b. Doelstellingsfunctie:   W = 5000A + 10000B en hieronder zie je een paar niveaulijnen.
       
   

       
    Maximale winst valt in punt P:   snijpunt van  1000A + 1500B  = 60000  en  200A + 600B  = 21000
Uit de eerste volgt  A = 60 - 1,5B en dat kun je invullen in de tweede:  200(60 - 1,5B) + 600B = 21000
12000 - 300B + 600B = 21000 ⇒  300B = 9000  ⇒  B = 30  en dan is  A = 15
Dat geeft maximale winst  5000 • 15 + 10000 • 30 = 375000
       
  c. Dat is vanaf het moment dat de winst gelijk is in punt  Q  als in punt  (55, 0)
Q is het snijpunt van   1000A + 1500B  = 60000  en   800A + 1000B = 44000
Uit de eerste volgt  A = 60 - 1,5B en dat kun je invullen in de tweede:   800(60 - 1,5B) + 1000B = 44000
48000 - 1200B + 1000B = 44000  ⇒  4000 = 200B ⇒  B = 20  en dan is A = 30

stel dat de winst op B gelijk is aan w
Dan geldt   30 • 5000 + 20w = 55 • 5000  en daaruit volgt  w = 6250
Zodra de winst op B minder dan 6250 wordt is het voordeliger alleen nog maar A te maken.
       
7. a. Neem A kg van grondstof A en B kg van grondstof B.
R1:    60A + 30B  ≥ 600
R2:    10A + 15B  ≥ 190
logisch:  A, B  ≥ 0

Dat geeft het gebied hiernaast

P = (0, 20) en daar is dus 20 kg nodig

R = (19,0) en daar is dus 19 kg nodig.

Q is het snijpunt van 60A + 30B = 600 en 10A + 15B = 190
De eerste geeft  B = 20 - 2A en dat kun je invullen in de tweede:   10A + 15(20 - 2A) = 190
10A + 300 - 30A  = 190  ⇒  20A = 110  ⇒   A = 5,5  
    Dan is  B = 20 - 2 • 5,5 = 9  en dus is er  14,5 kg nodig.

De minimaal benodigde hoeveelheid is dus 14,5 kg per patiλnt.
       
  b. Kosten per patiλnt:  K = 15A + pB en het toelaatbare gebied is hetzelfde als hierboven.
Men zal uitsluitend A gaan gebruiken vanaf het moment waarop de kosten in punt Q en R gelijk zijn
KQ = 5,5 • 15 + p • 9
KR = 19 • 15
82,5 + 9p = 285  ⇒   9p = 202,2  ⇒   p = 22,5
Zodra de kosten voor B meer dan 22,5 worden zal men uitsluitend A gaan gebruiken.  
       
8. a. minimum aantal jeugdboeken:  j/15  ≥  1200  dus  j ≥ 18000 
minimum aantal romans:  r/24 ≥ 1200 dus  r ≥ 28800
minimum aantal studieboeken:  ( 105000 - j - r)/30 ≥ 400   dus  93000 ≥ j + r
jeugd niet meer geld dan romans:   j  ≤  r
jeugd niet meer dan drie keer studie:   j  ≤  3( 105000 - j - r)   dus   4j + 3r  ≤  315000

Dat geeft het volgende gebied:
       
   

       
  b. Het totaal aantal boeken is   T =  j/15 + r/24 + (105000 - j - r)/30
Loop de hoekpunten langs:
T :    j = 18000  en r = 28800  en  dus T = 4340

S:    r = 28800  en  j = r = 28800  en dus  T = 4700

R:    j = r  en  4j + 3r  = 315000  dus  j = r = 45000  en   dan is  T = 5375

Q:    4j + 3r  = 315000  en  j + r = 93000
uit de tweede volgt  r = 93000 - j en dat kun je invullen in de eerste:  4j + 3(93000 - j) = 315000
4j +  279000 - 3j = 315000  ⇒   j =  36000  en dan is r = 57000  en dan is  T = 5175

P:    j = 18000  en  j + r = 93000  dus r = 75000 en dan is  T = 4725

Voor het maximale aantal boeken zal men  45000 aan jeugdboeken en romans uitgeven en dus 15000 aan studieboeken.
Dat zijn  3000 jeugdboeken en 1875 romans en 500 studieboeken    
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)