h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
       
  b. Het grensgeval vinden we als  x = 0,5x3  want dan is u1 = -u0  en dan draaien we in de weggrafiek een vierkantje.
Dat geeft  0,5x3 - x = 0 
⇒  x(0,5x2 - 1) = 0 
⇒  x = 0  ∨  x2 = 2 
⇒  x = 0  ∨  x = √2  ∨  x = -√2
De rij convergeert naar nul voor -√2 < u0 < √2
       
2. a. u4 = f(1/2u3) = f(2/5) = √(4 2/5 - 4/25) = 1,2
       
  b. Volg de rode pijlen hiernaast.

Via de lijn y = 1/2x en de lijn y = x kunnen we van een un naar 1/2un op de x-as komen.

Via de lijn y = x en de grafiek van f kunnen we van een 1/2un  naar 
f
(1/2un ) = un + 1 komen. 

       
3. a.
       
  b. hiernaast
 

       
  c. Die limiet is het snijpunt van beide grafieken:  x = 1 + 1/x
⇒  x2 = x + 1  ⇒  x2 - x - 1 = 0 
De ABC-formule geeft de oplossingen  x = (1 + √5)/2 = 1/2 + 1/2√5  en   x = (1 - √5)/2 = 1/2 - 1/2√5 
De oplossing moet positief zijn, dus dat is de eerste:  x = 1/2 + 1/2√5
       
4. a. GR:  mode seq.  nmin = 0,  u(n) = 0,9918 u(n - 1) + 0,075,  u(nmin) = 10,4
TABLE geeft bij n = 89 een waarde van  W = 9,75 sec.

Maar het kan natuurlijk ook met u(nmin) = 9,80 (2000) en dan kijken bij n = 10....

       
  b. Hiernaast zijn de lijn y = x en de lijn y = 0,9918x + 0,075 getekend
(flink inzoomen!).

Met beginwaarde 10,4 op de x-as zijn een aantal stappen getekend.
Je ziet dat de stappen steeds verder naar links lopen, naar het punt (9.146, 9.146) toe.

x = 0,9918x + 0,075
0,0082x = 0,075
x = 9,146

Dit laatste punt levert de evenwichtswaarde W = 9,146. 

       
5. a. P(1) = 9 25 0,9925 = 175,00 begin 1985
P(2) = 9 175 0,99175 = 271,28  begin  1986
P(3) = 9 271,28 0,99271,28 = 159,80  begin 1987
Het daalt met 271,28 - 159,80 = 111,48 en dat is 111,48/271,28 100% = 41%
       
  b. x = 9x 0,99x  ⇒  x = 0  ∨  1 = 9 0,99x
De tweede geeft  0,99x = 1/9  ⇒   x = log(1/9)/log(0,99) ≈ 218,62
       
  c. Hiernaast zie je met een voorbeeld dat het tweede evenwichtspunt niet stabiel is.

De rode lijnen verwijderen zich van het snijpunt.

       
  d. Y1 = 9x0.99x  en dan calc - maximum geeft een maximum bij x = 99,50
P(0) = 99,50 geeft dus direct voor P(1) het maximum.
       
  e. dan moet gelden P(X) = X + 150
Y1 = X + 150 en Y2 = 9x0.99x
intersect levert X = 149,48
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)