Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bekijk de afgeleides van ¹/_x² = x^-2 rondom, x = -1

f⁽⁰⁾ = ¹/_x2 dus f⁽⁰⁾(-1) = 1

f⁽¹⁾ = -2x^-3= -^2!/_x³    dus f⁽¹⁾ (-1) = 2!

f⁽²⁾ = 6x^-4 = ^3!/_x⁴   dus f⁽²⁾(-1) = 3!

f⁽³⁾ = -24x^-5 = -^4!/_x⁵ dus f ⁽³⁾(-1) = 4!

enz.

conclusie:    f⁽ⁿ⁾(-1) = (n + 1)!

Dat geeft in de Taylorreeks:   f(x) = ^2!/_1! • (x + 1)¹ + ^3!/_2! • (x + 1)² + ^4!/_3! • (x + 1)³ +   ....
f(x) = 2 • (x + 1)¹ + 3 • (x + 1)² + 4 • (x + 1)³ +   ....
en dat is inderdaad de gegeven reeks.

f⁽⁰⁾(x) = lnx dus f⁽⁰⁾(1) = ln1 = 0
f⁽¹⁾(x) = 1/_x dus f⁽¹⁾(1) = 1
f⁽²⁾(x) = -¹/_x2 dus f ⁽²⁾(1) = -1!
f⁽³⁾(x) = ²/_x³ dus f⁽³⁾(1) = 2 = 2!
f⁽⁵⁾(x) = -⁶/_x4 dus f ⁽⁵⁾(1) = -6 = -3!
enz.

f ⁽ⁿ⁾(1) = (-1)ⁿ⁺¹• (n - 2)!

Dan wordt de Taylorreeks:

Daarbij is gebruikt dat n! = n • (n - 1) • (n - 2)!

f⁽⁰⁾(x) = e^-x dus f⁽⁰⁾(3) = e^-3
f⁽¹⁾(x) = -e^-x dus f ⁽¹⁾(3) = -e^-3
f⁽²⁾(x) = e^-x dus f⁽²⁾(3) = e^-³enz.

f⁽ⁿ⁾(3) = (-1)ⁿ • e^-3
Dan wordt de Taylorreeks:

f⁽⁰⁾(x) = e^xcosx dus f⁽⁰⁾(0) = e⁰cos0 = 1
f⁽¹⁾(x) = e^xcosx - e^xsinx dus f⁽¹⁾(0) = 1
f⁽²⁾(x) = e^xcosx - e^xsinx - e^xsinx - e^xcosx = -2e^xsinx dus f⁽²⁾(0) = 0
f⁽³⁾(x) =-2e^xsinx - 2e^xcosx dus f⁽³⁾(0) = -2
f⁽⁴⁾(x) = -2e^xsinx - 2e^xcosx - 2e^xcosx + 2e^xsinx = -4e^xcosx dus f⁽⁴⁾(0) = -4

f⁽⁰⁾ (x) = ln(1 + x) dus f⁽⁰⁾(0) = 0
f⁽¹⁾ (x) = (1 + x)^-1 dus f⁽¹⁾ (0) = 1
f⁽²⁾(x) = -(1 + x)^-2 dus f⁽²⁾ (0) = -1
f⁽³⁾ (x) = 2(1 + x)^-3 dus f⁽³⁾ (0) = 2
f⁽⁴⁾ (x) = -2 • 3 (1 + x)^-4 dus f⁽⁴⁾(0) = -2 • 3
f⁽⁵⁾ (x) = 2 • 3 • 4 (1 + x)^-5 dus f ⁽⁵⁾ (0) = 2 • 3 • 4
enz.
Die afgeleiden vallen steeds, op één factor na, weg tegen de faculteiten:

f(x) = x - ¹/₂x² + ¹/₃x³ - ¹/₄x⁴ + ¹/₅x⁵ - ¹/₆x⁶ + ....

dus ¹/_{(1
+ x)} = 1 - x + x² - x³ + x⁴ - ...
primitiveren: ln(1 + x) = x - ¹/₂x² + ¹/₃x³ - ¹/₄x⁴ + ¹/₅x⁵ - ¹/₆x⁶ + ....

De MacLaurinreeks ziet er zó uit:

En die laatste limiet is nul (dus < 1) voor alle x ∈ R