h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.   Zie de boom hiernaast.
Bij de blauwe V's wordt er geverfd.
De laatste twee ballen zijn onder de boom getekend.
Onder elke tak staat hoe vaak er geverfd is.

Er wordt 1 of 3 keer geverfd.
De kans op 3 keer verven is:
P(3) = P(RGRG, RGGR, GRRG, GRGR)
= 3/6 3/5 2/4 2/33/6 3/5 2/4 2/3+ 3/6 3/5 2/4 2/3 + 3/6 3/5 2/4 2/3
= 1/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10 = 4/10

    Dat geeft de volgende kansverdeling:  
   
aantal keer verven 1 3
kans 0,6 0,4
       
    Het gemiddeld aantal keer verven is dan  0,6 1 + 0,4 3 = 1,8.
       
2. a. Zie de kansboom hiernaast.
Joke wint bij de drie rode takken.
Kans: 
0,65 0,65 + 0,65 0,35 0,65 + 0,35 0,65 0,65 = 0,71825

     
  b. P(2 sets) = 0,65 0,65 + 0,35 0,35 = 0,545
P(3 sets) = 1 - 0,545 = 0,455
Gemiddelde:  2 0,545 + 3 0,455 = 2,455 sets.
Dat duurt 2,455 14  = 34,37 minuten.
       
3. P(1600) = 1/3 1/3 1/3 = 1/27
P(400) = 1/3 1/3 2/3 3 = 6/27
P(100) = 1/3 2/3 2/3 3 = 12/27
P(25) = 2/3 2/3 2/3 = 8/27
     
 
bedrag 1600 400 100 25
kans 1/27 6/27 12/27 8/27
     
  E = 1600 1/27 + 400 6/27 + 100 12/27 + 25 8/27 = 200
       
  Dat is gelijk aan het beginbedrag. Conclusie:  het maakt niet uit!
       
4. a. Binomiaal met n = 40 en p = 0,02
P(X > 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - binomcdf(20, 0.02, 3) = 0,0082
       
  b. P(geen verf) = 0,985 = 0,9039  en dan kost het 2 minuten
P(wel verf) = 1 - 0,9039 = 0,0961  en dan kost het 5 2 + 2 = 12 minuten
       
   
aantal minuten 2 12
kans 0,9039 0,0961
       
    E = 2 0,9039 + 12 0,0961 = 2,961 minuten voor 5 mensen.
Dat was oorspronkelijk 10 minuten dus de besparing is  7,039/10 = 70,39%
       
5. a. Voor de laatste worp geldt:
   
aantal ogen 1 2 3 4 5 6
kans 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
    De verwachtingswaarde daarvan is 3,5
       
  b. Dus bij 1, 2 en 3 krijg je gemiddeld 3,5 (want dan gooi je nog eens)  en bij 4,5 en 6 krijg je dat bedrag.
Dat geeft deze kansverdeling:
   
aantal ogen 1 of 2 of 3 4 5 6
bedrag 3,5 4 5 6
kans 3/6 1/6 1/6 1/6
    De verwachtingswaarde is nu   3/6 3,5 + 1/6 4 + 1/6 5 + 1/6 6 = 4,25
       
  c. Je weet dat je vanaf de tweede worp gemiddeld 4,25 krijgt. Dus besluit je bij de eerste worp met 5 of 6 te stoppen en anders door te gaan.
Dat geeft deze kansverdeling:
   
aantal ogen 1 of 2 of 3 of 4 5 6
bedrag 4,25 5 6
kans 4/6 1/6 1/6
    De verwachtingswaarde is nu  4/6 4,25 + 1/6 5 + 1/6 6 = 42/3.
       
6. a. Methode I levert altijd  6000 2 + 6000 1,30 = 19800

Als het goed gaat levert het  2,30 12000 = 27600  en dat is winst van 7800
Als het fout gaat levert het 12000 1,30 = 15600 en dat is  verlies van 4200
       
  b. Dit is binomiaal verdeeld met n = 14 en p = 0,15
P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - binomcdf(14, 0.15, 2) = 0,3521
       
  c. Voor methode II geldt deze kansverdeling:
   
opbrengst 27600 15600
kans 0,6479 0,3521
    De gemiddelde opbrengst is dan   27600 0,6479 + 15600 0,3521 =  23374,80
Dat is meer dan de 19800 van methode I dus de kweker kan het best methode II kiezen.
       
7. a. P(2 gelijk) = P(11) + P(22) + P(33) =  1/3 1/4 + 1/3 1/4 + 1/3 1/4 = 1/4
       
  b. P(B hoger dan A) = P(12) + P(13) + P(14) + P(23) + P(24) + P(34) = 6 1/3 1/4 = 1/2
       
  c. Dit is binomiaal met n onbekend.
P(X > 4) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(n, 0.5, 4)
Voer in  Y1 = 1 - binomcdf(X, 0.5, 4)  en kijk dan in TABLE wanneer dat groter is dan 0,8
Dat geeft  X = n = 12
Je moet dus minstens 12 keer draaien.
       
  d. P(EE) = P(22) + P(24) = 2/12
P(OO) = P(11) + P(33) + P(13) + P(31) = 4/12
P(EO) = 1 - 2/12 - 4/12 = 6/12
Dat geeft deze kansverdeling:
   
gebeurtenis EE OO EO
bedrag 1 1,30 0
kans 2/12 4/12 6/12
    De verwachtingswaarde is  E = 1 2/12 + 1,30 4/12 + 0 6/12 =  0,60
       
  e. De eerste schijf(A) heeft verwachtingswaarde 2.
Dus moet deze schijf (C) verwachtingswaarde 6 - 2 = 4 hebben.
De volgende kansverdeling geldt:
   
waarde 1 2 3 4 X
kans 0,25 0.125 0,25 0,25 0,125
    1 0,25 + 2 0,125 + 3 0,25 + 4 0,25 + X 0,125 = 4
2,25 + 0,125X = 4
0,125X = 1,75
X = 14
       
8. zie de kansboom hiernaast.
P(5) = 1/2 1/2 + 1/2 = 3/4
P(8) = 1/2 1/2 = 1/4

E = 5 3/4 + 8 1/4 = 5,75

       
9. zonder overtreding.
P(2 punten) = 0,572  en  P(0 punten) = 0,428
verwachtingswaarde is  E = 2 0,572 + 0 0,428 = 1,144 punten.

met overtreding.
P(0) punten = P(mis-mis) = 0,487 0,487 = 0,237169
P(2 punten) = P(raak-raak) = 0,513 0,513 = 0,263169
P(1 punt) = 1 - 0,237169 - 0,263169 = 0,499662
verwachtingswaarde is  E = 0 0,237169 + 2 0,263169 + 1 0,499662 =  1,026 punten

Het is dus inderdaad een goede strategie om een overtreding te maken.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)