© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. (50 ⇒ 10, 10, 10, 20, 30, 30)
       
    Banzhaf:
      10-persoon is doorslaggevend als:
•  50-59 VOOR en hijzelf ook vσσr. 
    Dat betekent  vσσr waren  (10-10-10-20) of (10-10-30)
    dat zijn  1 + 2 • 2 = 5 manieren  
•  40-49 VOOR en hijzelf tegen
    Dat betekent  vσσr  waren  (10-10-20)  of (10-30)
    dat zijn  1 + 2 • 2 = 5 manieren
in totaal 10 manieren

20-persoon is doorslaggevend als:
•  50-69 VOOR en hijzelf ook vσσr
    Dat betekent  vσσr waren   (10, 10, 10, 20) of (20, 30) of (10, 20, 30)
    dat zijn  1 + 2 + 3 • 2 = 9 manieren
•   30 - 49 VOOR en hijzelf tegen
    Dat betekent vσσr waren  (10, 10, 10) of (10, 30) of (30)
    dat zijn  1 + 3 • 2 + 2 = 9 manieren
in totaal 18 manieren

30-persoon is doorslaggevend als:
•  50 - 79 VOOR en hijzelf ook
   Dat betekent vσσr waren  (10, 10, 30)  of  (20, 30)  of (10, 20, 30)  of  (10, 10, 20, 30) of (30, 30) 
   of  (30, 30, 10) of  (30, 10, 10, 10)
    dat zijn  3 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 1 = 15 manieren
•  20 - 49 VOOR en hijzelf tegen
    Dat betekent vσσr waren  (30) of (30,10) of (10, 10) of (10,10,10) of (10,10,20) of (20) of (20, 10)
    dat zijn  1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 = 15 manieren
in totaal 30 manieren
    De Banzhaf-indices zijn   (10, 10, 10, 18, 30, 30)   of vereenvoudigd  (5, 5, 5, 9, 15, 15)
       
    Shapely-Shubik:
      bij een 10-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is: 
(10, 10, 20) (10) (30, 30)  zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 12 manieren
(10, 30) (10)(10, 20, 30)  zijn  2 • 2 • (2 • 1) • 1 • (3 • 2 • 1) = 48 manieren
in totaal 60 manieren.

bij een  20-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is:
(10, 10, 10)(20)(30, 30)  zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 12 manieren
(10, 30)(20)(10, 10, 30)  zijn  3 • 2 • (2 • 1) • 1 • (3 • 2 • 1) = 72 manieren
(30)(20)(10, 10, 10, 30)  zijn  2 • 1 • (4 • 3 • 2 • 1) = 48 manieren
in totaal 132 manieren.

bij een 30-persoon wordt er bij hem voor het eerst aangenomen als de volgorde is:
(10, 10, 10)(30)(20, 30) zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 12 manieren
(10, 10, 20)(30)(10, 30) zijn  3 • (3 • 2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 36 manieren
(10, 20)(30)(10, 10, 30) zijn  3 • (2 • 1) • 1 • (3 • 2 • 1) = 36 manieren
(10, 10)(30)(10, 20, 30)  zijn  3 • (2 • 1) • 1 • (3 • 2 • 1) = 36 manieren
(10, 30)(30)(10, 10, 20)  zijn  3 • 1 • (2 • 1) • 1 • (3 • 2 • 1) = 36 manieren
(20)(30)(10, 10, 10, 30) zijn  1 • 1 • (4 • 3 • 2 • 1) = 24 manieren
(30)(30)(10, 10, 10, 20)  zijn  1 • 1 • (4 • 3 • 2 • 1) = 24 manieren
in totaal 204 manieren.
    De Shapely-Shubik indices zijn  (60, 60, 60, 132, 204, 204)
       
  b. (13 ⇒ 8, 8, 5, 5, 5)
       
    Banzhaf:
      5-persoon is doorslaggevend als
•  13-17 VOOR en hijzelf ook vσσr
    Dat betekent vσσr waren  (5,8) of (5,5,5)
    dat zijn  2 + 1 = 3 manieren
•   8-12 VOOR en hijzelf tegen
    Dat betekent vσσr waren  (5, 5) of (8)
    dat zijn 1 + 2 = 3 manieren
in totaal 6 manieren

8-persoon is doorslaggevend als:
•  13 - 20 VOOR en hijzelf ook vσσr
    Dat betekent vσσr waren   (8, 5) of (8, 5, 5)  of (8, 8)
    dat zijn  3 + 3 + 1 = 7 manieren
•  5 - 12 VOOR en hijzelf tegen
    Dat betekent vσσr waren  (5)  of (5,5)  of (8)
    dat zijn  3 + 3 + 1 = 7 manieren
in totaal 14 manieren
    De Banzhaf-indices zijn  (14, 14, 6, 6, 6)  of vereenvoudigd  (7, 7, 3, 3, 3)
       
    Shapely-Shubik:
      bij een 8-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is: 
(5, 5)(8)(5, 8)  zijn  3 • (2 • 1) • 1 • 2 • 1 = 12 manieren.
(5)(8)(5, 5, 8)  zijn  3 • 1 • (3 • 2 • 1) = 18 manieren.
(8)(8)(5, 5, 5)  zijn  1 • 1 • (3 • 2 • 1) = 6 manieren.
in totaal 36 manieren.

bij een 5-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is:
(5, 5)(5)(8, 8)  zijn  (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 4 manieren
(8)(5)(5, 5, 8)  zijn  2 • 1 • 1 • (3 • 2 • 1) = 12 manieren
in totaal 16 manieren
    De Shapely-Shubik indices zijn  (36, 36, 16, 16, 16)
       
  c. (45 ⇒ 10, 10, 15, 15, 20)
       
    Banzhaf:
      10-persoon is doorslaggevend als:
•  45-54 VOOR en hijzelf ook vσσr.
   Dat betekent vσσr waren   (10, 10, 15, 15) of (10, 20, 15).
   dat zijn  1 + 2 = 3 manieren.
•  35-44  VOOR en hijzelf was tegen.
    Dat betekent  vσσr waren  (10, 15, 15)  of  (15, 20).
    dat zijn  1 + 2 = 3 manieren.
in totaal 6 manieren.

15-persoon is doorslaggevend als:
•  45-59 VOOR en hijzelf ook vσσr.
    Dat betekent vσσr waren  (10, 10, 15, 15)  of  (10, 10, 15, 20)  of (10, 15, 20) en  (15, 15, 20).
   dat zijn  1 + 1 + 2 + 1 = 5 manieren.
•  30-44  VOOR en hijzelf was tegen.
    Dat betekent vσσr waren   (10, 10, 15)  of  (10, 20)  of  (10, 10, 20) of  (20, 15).
    dat zijn  1 + 2 + 1 + 1 = 5 manieren.
in totaal  10 manieren.

20-persoon is doorslaggevend als:
•  45-64 VOOR en hijzelf ook vσσr
    Dat betekent vσσr waren (10, 10, 15, 20) of (15, 15, 20) of (10, 15, 20) of  (10, 15, 15, 20).
    dat zijn  2 + 1 + 2 • 2 + 2 = 9 manieren.
•  25-44  VOOR en hijzelf was tegen.
    Dat betekent vσσr waren (10, 10, 15)  of  (10, 15, 15)  of (10, 15)  of  (15, 15).
    dat zijn  2 + 2 + 2 • 2 + 1 = 9 manieren.
in totaal 18 manieren.
    De Banzhaf-indices zijn  (6, 6, 10, 10, 18)  of vereenvoudigd  (3, 3, 5, 5, 9).
       
    Shapely-Shubik:
      bij een 10-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is: 
(10, 15, 15)(10)(20)  zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • 1 = 6 manieren
(20, 15)(10)(10, 15)  zijn  2 • (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 8 manieren
in totaal 14 manieren

bij een 15-persoon wordt er bij hem het eerst aangenomen als de volgorde is:
(10, 10, 15)(15)(20)  zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • 1 = 6 manieren
(15, 20)(15)(10, 10)  zijn  (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 4 manieren
(10, 20)(15)(15, 10)  zijn  2 • (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 8 manieren
(10, 10, 20)(15)(15)  zijn  (3 • 2 • 1) • 1 • 1 = 6 manieren
in totaal 24 manieren

bij een 20-persoon wordt er bij hem voor het eerst aangenomen als de volgorde is:
(10, 10, 15)(20)(15)  zijn  2 • (3 • 2 • 1) • 1 • 1 = 12 manieren
(15, 15)(20)(10, 10)  zijn  (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 4 manieren
(15, 15, 10)(20)(10)  zijn  2 • (3 • 2 • 1) • 1 • 1 = 12 manieren
(10, 15)(20)(10, 15)  zijn  2 • 2 • (2 • 1) • 1 • (2 • 1) = 16 manieren
in totaal 38 manieren
    De Shapely-Shubik indices zijn  (14, 14, 24, 24, 44)
       
2. a. Banzhaf.
Er zijn 215  mogelijke volgorden dus dat valt niet uit te schrijven. Laten we het proberen te beredeneren....
    Noem de permanente leden A1 tm A5 en de overige leden B1 tm B10.

 Wanneer is de stem van een A-land doorslaggevend?      
    1. In alle gevallen dat een motie wordt aangenomen.
Immers een A-land heeft vetorecht.
Dat is zo als alle A-landen vσσr stemmen en ook minstens 5 B-landen.
     
    2. Als de motie verworpen wordt, maar de andere A-landen hebben allemaal vσσr gestemd en verder minstens 5 B-landen. Dat is dus weer 638 volgorden.
       
   

Dus een A-land kan de uitslag veranderen in 1276 volgorden (van de totaal 215 = 32768)
       
   

Wanneer is de stem van een B-land doorslaggevend?
    1 Als de motie wordt aangenomen met alle A-landen en als het B-land vσσr heeft gestemd, en verder nog precies 4 andere B-landen. Dat kan op  (9 nCr 4)  = 126 volgorden
       
    2. Als de motie wordt verworpen terwijl alle A-landen vσσr stemden en verder precies 4 B-landen, maar het betreffende B-land stemde tegen. Dat is weer 126 volgorden.
    Dus een B-land verandert de uitslag in 252 volgorden.
       
   

De Banzhaf-indices zijn daarom  (1276, 1276, 1276, 1276, 1276, 252, 252, …)
       
  b. Shapely-Shubik
       
   

Wanneer is een A-land het land dat voor het eerst een meerderheid geeft?

Dan moeten er voor dit A-land precies alle 4 de andere A-landen staan, ιn minstens 5 B-landen.
5 B-landen:   (4A, 5B) – (A) – (5B)  geeft   (10 nCr 5)  • 9! • 5! » 1,097 • 1010
6 B-landen:   (4A, 6B) – (A) – (4B)  geeft   (10 nCr 6)  • 10! • 4! » 1,829 • 1010
7 B-landen:   (4A, 7B) – (A) – (3B)  geeft   (10 nCr 7)  • 11! • 3! » 2,874 • 1010
8 B-landen:  (4A, 8B) – (A) – (2B)  geeft   (10 nCr 8)  • 12! • 2! »  4,311 • 1010
9 B-landen:  (4A, 9B) – (A) – (B)  geeft   (10 nCr 9)  • 13!  » 6,227 • 1010
10 B-landen:  (4A, 10B) – (A)  geeft  14! = 8,718 • 1010
Dat is in totaal  25,056 • 1010  volgorden.

Wanneer is een B-land het land dat voor het eerst een meerderheid geeft?

Dan moeten er voor dit B-land precies alle vijf de A-landen en 4 andere B-landen staan.
Dus (5A, 4B) – (B) – (5B)  geeft   (9 nCr 4)  • 9! • 5! = 0,549 • 1010 volgorden

(Controle:  in totaal geeft dit  5 • 25,056 • 1010 + 10 • 0,549 • 1010  » 1,308 • 1012 volgorden
Dat is inderdaad precies gelijk aan 15!)

In procenten geeft dat een A-land  19,2%  en een B-land  0,4%.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)