h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De snijlijn van beide vlakken is EG.
In het rode vlak is de meest voor de hand liggende lijn loodrecht op EG de lijn DM.
Daarom nemen we in het blauwe vlak de lijn MN
Het gaat om de hoek DMN.

DN2 = 22 + 22 = 8  dus  DN = √8
MN = 4

tanDMN = DN/MN√8/4 = 0,7071

∠DMN = 35,3˚

       
  b.

       
    De snijlijn van beide vlakken is PQ.
In het rode vlak zou ik AM kiezen loodrecht op PQ.
Daarom ook in het blauwe vlak een lijn door M loodrecht op PQ.  Dat is GD.
Het gaat om de hoek tussen AM en GD.
GD2 = 42 + 42 = 32  dus  GD = 4√2
QPD is gelijkvormig met CHD met factor 3/4  dus is MD = 3/4 ND = 3/4 2√2 = 3/2√2
Dan is  tanAMD = 4/1,5√2 = 1,8856
∠AMD = 62,1˚
     
  c. De snijlijn van beide vlakken is CS, dus ik zou in het blauwe vlak lijn AH daar loodrecht op kiezen.
Dan moet er in het rode vlak een lijn door S loodrecht op CS getekend worden. Dat is SP (rechts)
Het gaat om de hoek tussen AH en SP, dus HSP
Maar wacht eens even.......
AH staat loodrecht op vlak EDCF (want loodrecht op ED en op DC)
Maar dan staat AH loodrecht op ELKE lijn uit EDCF dus ook op SP.
De hoek is dus 90˚

       
2. a. De snijlijn is de groene lijn hiernaast.
AT staat daar in het blauwe vlak loodrecht op, en DT in het rode vlak.
Het gaat om de hoek tussen AT en DT
Die is 45˚  (driehoek ADT is rechthoekig gelijkbenig)
       
  b. De snijlijn van beide vlakken is TC
In het blauwe vlak staat AM daar loodrecht op (ACT is immers gelijkbenig), en in het rode vlak staat DM daar loodrecht op.
Het gaat om de hoek tussen AM en DM
DM2 = 32 + 32 = 18  dus  DM = √18
∠ADM is 90˚ 
tan(AMD) = AD/DM = 6/√18 = 1,4142
∠AMD = 54,7˚
 

       
  c. De snijlijn is TM.
In het groene vlak staat AC daar loodrecht op

Teken een lijn MP in het blauwe vlak, loodrecht op TM.
Het gaat om de hoek tussen MP en AC.

Maar AC staat loodrecht op het hele vlak TDB (want loodrecht op DB en op TD)
Dus ook loodrecht op MP

De hoek is daarom 90˚
 
       
3. a. BTD is dezelfde driehoek als BAD (zijden 8-8-BD) dus is ∠BTD = 90˚ net als ∠BAD.

De snijlijn van de vlakken is TD.
In het groene vlak staat AM daar loodrecht op (ATD is gelijkzijdig).
Teken daarom in het blauwe vlak een lijn door M loodrecht op TD. Dat is een lijn evenwijdig aan BT, dus dat is MN.
Het gaat om de hoek tussen AM en MN

MN = 1/2BT = 4
AN2 = 42 + 42 = 32  dus AN = √32

    ∠ANM is een rechte hoek want driehoek AMC is gelijkbenig.
tanAMN = AN/MN = √32/4 = 1,4142
Dus ∠AMN = 54,7˚
       
  b. De snijlijn is TA.
In het blauwe vlak staat BM daar loodrecht op en in het groene vlak DM (beiden zijn hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek)
Het gaat om de hoek tussen DM en BM

BM2 = TB2 - MT2 = 82 - 42 = 48
Dus BM = DM = √48
MN = 1/2TC = 4
cosDMN = MN/DM = 4/√48 = 0,5774
∠DMN = 54,7˚
Dan is ∠DMB = 2 54,7˚ = 109,5˚
De hoek tussen de vlakken is dan 180˚ - 109,5˚ = 70,5˚

       
  c. De snijlijn is SM.
In het blauwe vlak staat DB daar loodrecht op.
In het groene vlak staat  TC daar loodrecht op (want die staat loodrecht op AT en AT is evenwijdig aan SM)

Het gaat om de hoek tussen TC en DB.
Maar DB staat loodrecht op het hele groene vlak (want loodrecht op AC en op TS)
Dus ook loodrecht op TC
Dus de hoek is 90˚

       
4. a. De snijlijn is AC.
In het groene vlak staat BM daar loodrecht op
In het blauwe vlak staat EM daar loodrecht op (AEC is gelijkbenig)
Het gaat om de hoek tussen BM en EM.

BM2  =AB2 - AM2 = 62 - 32 = 27  dus  BM = √27
tanBME = BE/BM = 6/√27 = 1,155
∠BME = 49,1˚
 

       
  b.

       
    De snijlijn is FB.
In vlak AFB (blauw) tekenen we AP loodrecht op BF. Zie de middelste figuur.
De driehoeken MFB en PAB zijn gelijkvormig.
MB/BF = PB/BA  dus 3/62 = PB/6 en dat geeft  PB = 18/6√2 = 3/√2
FM2  = FB2 - MB2 = (6√2)2 - 9 = 72 - 9 = 63  dus  FM = √63
FM/FB = AP/AB  dus  √63/6√2 = AP/6  en dat geeft  AP = 6√63/6√2 = √63/√2
In vlak BEFC tekenen we vervolgens PQ loodrecht op FB. Zie de rechterfiguur
Omdat QBP = 45  (BEFC is een vierkant), is PQ = PB = 3/√2
BQ2 = (3/√2)2 + (3/√2)2 = 9  dus  BQ = 3

Het gaat nu om de hoek tussen AP en PQ.
AQ2 = 62 + 32 = 45  dus  AQ = √45
PQ = 3/√2,  en AP = √63/√2
cosinusregel:  45 = 4,5 + 31,5 - 2 √63/√2 3/√2 cosAPQ
cosAPQ = -0,3780
∠APQ = 112,2  dus de hoek tussen de vlakken is  180 - 112,2 = 67,8
       
  c. Loodrecht op het groene vlak staat DN (want loodrecht op FE en op BE)
Loodrecht op het blauwe vlak staat DB (want loodrecht op AE en op de lijn van M naar het midden van AE)

Het gaat om de hoek tussen DN en DB.
DN2 = 62 - 32 = 27 dus DN = √27
BN2 = 62 + 32 = 45  dus  BN = √45
DB2 = 62 + 62 = 72  dus  DB = √72

Cosinusregel:   45 = 27 + 72 - 2√27√72cosNDB
cosNDB = 0,6124
∠NDB = 52,2

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)