© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Teken de lijn door P evenwijdig aan DT:  geeft snijpunt S1 op DB.

QS1 doortrekken geeft S2

V = PS2Q

       
  b. Zie de figuur hiernaast.

Het lichaam is op te bouwen uit een prisma S1UP.QCR en een piramide P.SBUS1

QR is 2/3 van DT dus QR =  16/3


prisma:  1/2 • 4 • 16/3 • 2 = 211/3

piramide:  1/3 • 4 • 4 • 16/3 = 256

samen:  2771/3

       
  c. Ga van het middelpunt D loodrecht naar BCT.
Dat is de lijn DW in vlak DCT  (die staat ook loodrecht op BC want het hele achtervlak staat daar loodrecht op)

De driehoeken DWC en  TDC zijn gelijkvormig
TC  = 10 (pythagoras)
DW/DC = TD/TC
DW/6 = 8/10

DW = 4,8

De straal van de bol is 5. Stel de straal van de snijcirkel r:

r2 + 4,82 = 52
r = 1,4.

       
2. Het gaat erom of de kortste afstand tussen EH en FP groter op kleiner dan  √7 is.

Leg een vlak door PF evenwijdig aan EH
Dat is het blauwe vlak hiernaast.

De kortste afstand van EH tot het blauwe vlak is HS = √(22 + 22) = √8
Dat is groter dan √7, dus de cilinder snijdt FP NIET.
 
       
3. a. Teken het vlak EBCH.
Dat snijdt de grondcirkel in V en W en agaat door de top.

Dus WT en VT zijn beschrijvenden van de kegel.

Die snijden EC in  S1 en S2.

       
  b. De uitslag van de kegelmantel ziet er uit als hiernaast.
Het is een deel van een cirkel.
De hele cirkel heeft straal TR = √(42 + 22) = √20.
De omtrek is dus  2π√20

de omtrek van het getekende deel is de omtrek van de grondcirkel van de kegel en die is  2π • 2 = 4π
Het cirkeldeel is dus  4π/2π√20 = 0,447ste deel van de hele cirkel, dus de hoek  bij het middelpunt is 0,447 • 360º = 161º

   
TRQ is een gelijkbenige driehoek met tophoek 80,5º
Teken TM van T naar het midden S van RQ.
sin(40,25º) = TS/√20  dus  TS = 2,89
Dan is QR = 2 • 2,89 = 5,78 en dat is de kortste route van Q naar R over de kegelmantel (namelijk een rechte lijn)
       
4.  

       
    linkerfiguur:
Het middelpunt raakt het grondvlak, dus ligt op de lijn ST.
De afstand tot S moet gelijk zijn aan de afstand tot M, dus het middelpunt ligt op de middelloodlijn van SM.
K is het midden van MS.
KQ staat loodrecht op MS (want is evenwijdig aan NJ, waarbij N het midden van LP is)
Het middelpunt is dus punt Q.

rechterfiguur:
de rode hoeken zijn gelijk (Z-hoeken),  dus QU/UK = NP/PJ
dan is  QU = 1/2 • UK = 1
De straal van de bol is  SQ = 4 + 1 = 5
(controle dan is  MQ2 = 42 + 32 dus MQ = 5 dus dat klopt)
       
5 Het gaat om de afstand van M tot TBC.
Zie het vooraanzicht hiernaast.

Aan de hoeken zie je dat de driehoeken MCT en PCM gelijkvormig zijn .

Dus  PM/CM = MT/CT
CT = √(62 - 32) = √27

PM/3 = 6/√27  ⇒   PM = 18/√27 = 2√3

       
  De straal van de bol is MA = √(32 + 32) = √18 = 3√2
Dus voor de straal r van de snijcirkel geldt:   r2 + (2√3)2 = (3√2)2
r2 + 12 = 18  ⇒  r = √6
       
6. De bol gaat door A, B en C dus het middelpunt M ligt op de middelloodlijnen van die punten. Dat betekent dat M ergens op RS ligt.

De bol raakt vlak EFGH dan in R.
MR = MC = r = straal van de bol

SC = √(32 + 32) = √18
MS = 6 - r   (immers RS = 6)

in driehoek MSC:
(6 - r2) + 18 = r2
36 - 12r + r2 + 18 = r2
12r = 54
r = 41/2.

       
7.

       
  Het middelpunt van de ingeschreven bol is het middelpunt M van de kubus.
De straal van de ingeschreven bol is MA = √(22 + 22 + 22) = √12

Zie het vooraanzicht rechts.
MSP is gelijkvormig met PFC  (gelijke hoeken met kruisje en rondje)
Dus  MS/MP = PF/PC 
Omdat PC = √(22 + 42) = √20  geldt dus  MS/2 = 2/√20 ⇒  MS = 4/√20

De afstand van het middelpunt van de bol tot vlak BPQC is  4/√20
Dan geldt voor de straal van de snijcirkel:  r2 + (4/√20)2 = (√12)2
r2 + 0,8 = 12
r2 = 11,2
r = √11,2  = 3,35
       
8a. M ligt op de rode lijn van het midden van het rechtervlak naar het midden van het linkervlak, want E, A en D liggen op de bol.

M ligt op het m,iddelloodvlak van AP (want P ligt op de bol)
Omdat EK loodrecht op AP staat trek je de blauwe lijn in het voorvlak door het midden van AP evenwijdig aan EK.
Dat geeft het blauwe middelloodvlak.

Dat geeft middelpunt U van de bol.

       
  Noem de afstand van M tot het midden van AH afstand x, dan is de afstand van M tot het midden van
BG gelijk aan 8 - x
tweemaal Pythagoras:
x2 + 42 + 42 = MA2  dus  MA2 = 32 + x2
(8 - x)2 + 42 = MP2   dus  MP2 = 80 + x2 - 16x
Dat moet gelijk zijn (beiden de straal van de bol)  dus  32 + x2 = 80 + x2 - 16x
16x = 48
x = 3
De straal van de bol is dan  MA = √(8 + 32) = √17
       
8b.

       
  EGB staat loodrecht op DF.
Het gezochte vlak is het vlak door Q evenwijdig aan EGB.
Dat is het rode vlak in de linker tekening.
Rechts wordt een hulpvlak HFDB gebruikt om via de blauwe snijlijn het middelpunt M te vinden.
       
9.

       
  De bol gaat door A en S dus het middelpunt ligt op het middelloodvlak van A en S. Dat is het rode vlak hierboven.
(PQ is evenwijdig aan ED getekend want die staat loodrecht op AS)

De bol gaat door A en C dus het middelpunt ligt in het middelloodvlak van AC. Dat is het blauwe vlak hierboven.  Dat V op afstand 5 van A ligt kun je in de rechterfiguur zien. De driehoeken VZW en CBA zijn gelijkvormig als de blauwe lijn loodrecht op AC staat. WZ = 4, dus is VZ = 2.

Het middelpunt ligt dus op de snijlijn van het rode en het blauwe vlak, dus op lijn MX.
       
10.

       
  De bol snijdt AF en DG in de punten P en Q waarbij DP = AQ = √5  (Pythagoras)
Het rood gekleurde deel van vlak AFGD rechts ligt binnen de bol.
Dat bestaat uit een cirkeldeel en twee driehoeken.

cosa = 2/3 geeft  a = 48,2º
Dan is hoek PMQ  = 83,6º
Het cirkeldeel is  83,6/360-ste deel van de hele cirkel.
Dat is  83,6/360 • π • 32 = 6,6

een driehoek heeft oppervlakte  1/2 • 2 • √5  dus samen 2√5

De totale oppervlakte wordt dan 2√5 + 6,6 = 11,1
       
11. Als PD de kegelmantel raakt dan heeft PD één snijpunt met de kegelmantel.

Dus heeft de grondlijn van vlak PTD één snijpunt met de grondcirkel van de kegel.

Dat is dus lijn AD  (DC is onmogelijk)

Dus PT // AD dus P is het midden van EF.

 

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)