h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1.      
 

       
  Het rode vlak in de linkerfiguur is het gevraagde vlak, waarbij P, Q, R, S en T allemaal middens van ribben zijn.
Dat vlak staat rechts plat getekend.

MP = RS =  √(22 + 22) = √8
PQ = QR = ST = TM = √(32 + 22 ) = √13
PR = MS = √(22 + 62 + 2) = √44

QPS is een gelijkbenige driehoek. De hoogtelijn vanuit Q heeft lengte  h2 = (√13)2 - (1/2√44)2 = 13 - 11 = 2
Dus h = √2  en  de oppervlakte is  1/2 √44 √2 = √22
De totale oppervlakte wordt dan  √44 √8 + 2 √22
Dat is  2√11 2√2  +  2√22 = 6√22
       
2.

       
  Het gaat om het rode vlak in de linkerfiguur.
MP // AE  dus  P is het midden van  TE
Q ligt op 1/4 van DA, dus AQ = 3
De loodlijn van T op AD heeft lengte  √(102 - 22) = √96  dus  EQ = 1/2√96 = √24
AE = √(EQ2 + AQ2) = √(24 + 9) = √33
MP = 1/2AE = 1/2√33

Dat geeft de rechterfiguur.
h = √(MP2 - 0,52) = √(8,25 - 0,25) = √8
De oppervlakte van MNOP is dan   1/2 √8 (2 + 1) = 1,5√8 = 3√2
       
3. De doorsnede AQSPR staat hiernaast rood getekend.

PR // QA  dus  is  HR = 1  (AB/BQ = HP/HR)
AR//QS  dus is  FS = 32/7     (FS/FQ = AD/DR)   en SG = 24/7

PR = √(22 + 12) = √5
PS = √(62 + (24/7)2) ≈ 6,91
SQ = √(42 + (32/7)2) ≈  6,07
AQ = √(82 + 42) = √80
AR = √(82 + 72) = √113

AP = √(82 + 82 + 22) = √132
AS = √(82 + 82 + (32/7)2) ≈ 12,20

       
  De oppervlakte bestaat uit drie driehoeken, met de afmetingen als hiernaast.

ARP.
Neem de hoogtelijn vanuit R op AP
x2 + h2 = 113  en  (√132 - x)2 + h2 = 5
De tweede geeft  132 - 2x√132 + x2 + h2 = 5
Van de eerste aftrekken:  2x√132 - 132 = 108 geeft x ≈ 10,44
Dan is h = √(113 - x2) ≈ 1,98
De oppervlakte is  1/2 √132 1,98 ≈ 11,36

APS:
Neem de hoogtelijn vanuit A op PS.
h2 + x2 = 132  en   h2 + (6,91 - x)2 = 12,202
De tweede geeft  h2 + 47,75 - 13,82x + x2 = 148,84
Van de eerste aftrekken:  13,82x - 47,75 = -16,84 geeft  x ≈ 2,24
Dan is  h = √(132 - 2,242) ≈ 11,27
De oppervlakte is  1/2 6,91 11,37 ≈  38,94
       
  ASQ
Neem de hoogtelijn vanuit Q op AS
h2 + x2 = 6,072   en   h2 + (12,20 - x)2 = 80
De tweede geeft  h2 + 148,84 - 24,40x + x2 = 80
Van de eerste aftrekken:  24,40x - 148,84 = -43,16  geeft  x ≈ 4,33
Dan is  h = √(6,072 - 4,332) ≈ 4,25
De oppervlakte is  1/2 12,20 4,25 ≈ 25,94
       
  Samen geeft dat oppervlakte  11,36 + 38,94 + 25,94 ≈ 76,2
       
4.

       
  Vlak KLMN ligt op 1/4 deel van de hoogte

over de hele hoogte (van CF naar PQ) is er afname van 9 naar 3 dus afname 6
over 3/4 van de hoogte is de afname dan  3/4 6 = 4,5  dus  KL = 9 - 4,5 = 4,5

over de hele hoogte (van F naar QR)  is de toename van 0 naar 6 dus toename 6
over 3/4 van de hoogte is de toename dan 3/4 6 = 4,5.   Dus LM = 4,5

KLMN is een vierkant van 4,5 bij 4,5.  Teken het zelf maar, dat zal je wel lukken
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)